решение уравнений »

решить логарифмическое уравнение - страница 3

  • Нужно решить логарифмическое уравнение \(\log^2_2 z - \log_2 z^{-7} +12=0 \)


    Решение: Log^2_2 z -Log_2 z^-7 +12=0
    Log2 z=t
    t^2 +7t+12=0
    t1= -4. t2= -3
    Log2 z= -4. Z=2^-4
    Z= 1/2^4=1/16
    -
    Log2 z= -3. Z=2^-3
    Z=1/2^3=1/8
    -
    Применены свойства логарифмов, замена переменной. Так ОДЗ: z> 0, то подходят оба корня.

    Log z -Log z - Log z tt t t - . t - Log z - . Z - Z -Log z - . Z - Z -Применены свойства логарифмов замена переменной. Так ОДЗ z то подходят оба корня....

  • Решить логарифмическое уравнение \(\log_2(2x-1) +\log_2(x+5)=\log_2 13\)


    Решение: 1. Обязательно находите ОДЗ. Значение в логарифме всегда больше нуля. Другими словами 2x-1>0=> x>1/2, x+5>0=> x>-5. По свойству сложения логарифмов log2((2x-1)(x+5))=log2 13. Убираем логарифмы и получаем (2x-1)(x+5)=13. Раскрываете скобки, решаете квадратное уравнение, получаете ответ, сверяете с ОДЗ, все. Это лучше сделать самостоятельно.

    Log2(2x-1) +log2(x+5)=log2 13;
    найдём область допустимых значений:
    2х-1 >0, х>1/2, х>0,5;
    х+5>0, х>-5;
    одз: х>0,5
    log2 (2x-1)(x+5)=log2 13;
    (2х-1)(х+5)=13;
    2х^2-х+10х-5-13=0;
    2х^2+9х-18=0; делим на 2;
    х^2+9/2х-9=0;
    х^2+2*9/4х+81/16-81/16-9=0;
    (х+9/4)^2=81/16+144/16;
    (х+9/4)^2=225/16; извлекаем корень ;
    х+9/4=+-15/4;
    х1=-9/4-15/4=-24/4=-6; х2=-9/4+15/4=6/4=1,5;
    х1 не входит в Одз;
    Ответ: х=1,5.

  • Решить логарифмическое уравнение log_2(x-5)+log_2(x+2)=3


    Решение: ОДЗ:
    $$ \left \{ {{x-5\ > \ 0} \atop {x+2\ > \ 0}} \right. \ \ \ < \ =\ > \ \ \ \left \{ {{x\ > \ 5} \atop {x\ > \ -2}} \right. \ \ \ < \ =\ > \ \ \ x\ > \ 5 \\ log_2(x-5)+log_2(x+2)=3 \\ \\ log_2((x-5)(x+2))=3 \\ \\ (x-5)(x+2)=2^3 \\ \\ x^2+2x-5x-10=8 \\ \\ x^2-3x-18=0 \\ \\ x=6 \\ \\ x=-3 $$ - не удовлетворяет ОДЗ
    ОТВЕТ: 6

    Log2((x-5)*(x+2))=log2(8)
    (x-5)*(x+2)=8
    x^2-3x-10=8
    x^2-3x+2,25=20,25
    (x-1,5)^2=4,5^2
    x=6,  второе решение  x=-3 не годится, так как аргументы  логарифмов станут  отрицательны.
    Ответ: х=6

  • Решить логарифмическое уравнение \(\log_3\sqrt{x-5} +\log_3\sqrt{2x-3}=1\)


    Решение: Cумма логарифмов равна логарифму произведения, поэтому уравнение превращается в систему из уравнения и двух неравенств -ОДЗ:
    корень из (х-5)(2х-3)=3
    х-5>0
    2х-3>0
    возводим в квадрат обе части уравнения: (х-5)(2х-3)=9
    2х²-3х-10х+15-9=0
    2х²-13х+6=0
    D=169-4*2*6=169-48=121
    первый ворень: х1=(13+11)/4=6 - удовлетворяет неравенствам ОДЗ, поэтому является корнем исходного уравнения
    второй корень: х2=(13-11)/4=1/2 - не принадлежит ОДЗ
    Ответ: 6

  • Решить неравенство \(\log_{x+1}(\frac{x}{3}-1)\cdot \log_{x+1}(x+2) < 0\)


    Решение: Давайте решим методом рационализации.
    log_h(f)×log_p(g) v 0 <=> (h-1)(f-1)(p-1)(g-1) v 0
    Очевидно, что по этой формуле наше неравенство равносильно следующему:
    х²(х/3 - 2)(х + 1) < 0
    Домножим на 3:
    х²(х - 6)(х + 1) < 0
    Корни каждой скобки: 0, 6 и -1 (0 - кратный корень)
    Отметим на числовой прямой и решим методом интервалов.
    - + -(-1)-(0)-(6)- + -> х
    Получили промежуток (-1; 0)∪(0; 6)
    Теперь учтем ОДЗ логарифмов.
    х + 1 > 0
    х + 1 ≠ 1
    х/3 - 1 > 0
    х + 2 > 0
    х > -1
    х ≠ 0
    х > 3
    х > -2
    В итоге: х ∈ (3; 6)
    Ответ: х ∈ (3; 6)

  • Решить логарифмическое уравнение
    log0.8 ( 3x^2 + x + 4 ) = log0.8 ( 17x+1 )
    log4 ( x-4 ) +log4 ( x+4 ) = log4 ( 3x+2)
    log3 (3x+5) + log3 (2x-5) = log3 ( 10x -16)


    Решение: Log0.8 ( 3x^2 + x + 4 ) = log0.8 ( 17x+1 )
    {17x+1>0⇒x>-1/17
    {3x²+x+4>0⇒x∈R,
    D=1-48=-47<0
    x∈(-1/17;∞)
    3x²+x+4=17x+1
    3x²-16x+3=0
    D=256-36=220
    x1=(16-2√55)/6 U x2=(16+2√55(/2
    log4 ( x-4 ) +log4 ( x+4 ) = log4 ( 3x+2)
    {x-4>0⇒x>4
    x+4>0⇒x>-4
    {3x+2>0⇒x>-2/3
    x∈(4;∞)
    log(3)(x²-16)=log(4)(3x+2)
    x²-16=3x+2
    x²-3x-18=0
    x1+x2=3 u x1*x2=-18
    x1=-3 не удов усл
    х2=6
    log3 (3x+5) + log3 (2x-5) = log3 ( 10x -16)
    {3x+5>0⇒x>-5/3
    {2x-5>0⇒x>2,5
    {10x-16>0⇒x>1,6
    x∈(2,5;∞)
    log(3)[(3x+5)(2x-5)]=log(3)(10x-16)
    6x²-15x+10x-25=10x-16
    6x²-15x-9=0
    2x²-5x-3=0
    D=25+24=49
    x1=(5-7)/4=-0,5 не удов усл
    х2=(5+7)/4=3

  • Решить логарифмическое уравнение. \(\log_{x+20}(2x-\sqrt{x+20})=\frac{1}{2}\)


    Решение: 2x-√(x+20)=√(x+20), x=√(x+20), x²=x+20, x²-x-20=0, D=(-1)²-4*1*(-20)=81=9²,
    x1=(1+9)/2=5, x2=(1-9)/2=-4.
    Корень x=-4 не подходит, так как при этом выражение под знаком логарифма отрицательно (равно -12). А по определению логарифма, выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
    Ответ: x=5

  • Решить логарифмическое уравнение, :
    lg\( \frac{3x-2}{3-4x} =0 \)


    Решение: ОДЗ:
    $$ \frac{3x-2}{3-4x}\ > \ 0 \\ \\ (3x-2)(3-4x)\ > \ 0 \\ 3(x- \frac{2}{3} )*(-4)(x- \frac{3}{4} )\ > \ 0 \\ (x- \frac{2}{3} )(x- \frac{3}{4} )\ < \ 0 \\ x= \frac{2}{3};x= \frac{3}{4} $$
      + - +
    - 2/3 - 3/4 -
      \\\\\\\\\\\\\
    x∈(2/3; 3/4)
    $$ \frac{3x-2}{3-4x}=10^0 \\ \\ \frac{3x-2}{3-4x}=1 \\ \\ 3x-2=3-4x \\ \\ 3x+4x=3+2 \\ 7x=5 \\ x= \frac{5}{7} $$
    5/7∈ОДЗ.
    Ответ: 5/7.

  • Решить логарифмическое уравнение \(x^{\log_6x^2} +6^{\log_6^2x}=42\)


    Решение: Все сведется к квадратному уравнению, которое решается по т. Виета)))
    и потом можно записать решение по определению логарифма.
    а можно прологарифмировать обе части равенства по основанию 6.

    X^(Log6 x²) +6^(Log6 x)² =42 ;
    ОДЗ : x >0
    x^(2Log6 x) +(6^Log6 x)^ (Log6 x) =42 ;
    (x^(Log6 x))² +x^(Log6 x) -42 =0 ; * * * t =x^(Log6 x) >0 * * *
    [x^ Log6 x = -7 ; x^ Log6 x  =6.
    x^ Log6 x  =6
    (Log6 x)² =1 ⇔[ Log6 x= -1 ; Log6 x =1⇔ [ x =1/6, x=6.

    Все сведется к квадратному уравнению которое решается по т. Виета и потом можно записать решение по определению логарифма.а можно прологарифмировать обе части равенства по ос...
<< < 123