решение уравнений »

решить логарифмическое уравнение

  • Решить логарифмическое уравнение \( \log_{2x-1}(3x-2) = 3 - 2\log_{3x-2}(2x-1)\)


    Решение: Приведём логарифмы к одному основанию. Будем основание делать 2х -1
    log2x-1(3x-2) = 3 -2/log2x-1(3x -2)
    Обозначим log2x-1(3x -2) = t
    Уравнение примет вид :
    t = 3 - 2/t | * t
    t² = 3t -2
    t² -3t +2 = 0
    По т. Виета t1 = 1 и t2 = 2
    a) log2x -1 ( 3x -2) = 1 б) log2x -1 ( 3x -2) = 2
    ОДЗ
    2х-1 >0,⇒ 2x >1,⇒ x > 1/2
    2x -1 ≠ 1, ⇒ x ≠ 1/2   
    3x -2 >0, ⇒ 3x >2, ⇒ x > 2/3
    ОДЗ:  x > 2/3
    2х -1 = 3х -2 (2х -1)² = 3х -2
    х = 1     ( в ОДЗ входит)  4х² - 4х +1 = 3х -2 
      4х² -7х +3 = 0
      D = b² -4ac = 49 - 48 = 1
      x = 1 или х = 6/8 = 3/4 ( в ОДЗ входит)
    Ответ: 1 и 3/4  

  • Решить логарифмическое уравнение:
    log3(x^2-3x+2)=1


    Решение: X²-3x+2=3¹
    x²-3x-1=0
    D=9+4=13
    x₁=(3+√13)/2
    x₂=(3-√13)/2

    ОДЗ: х²-3х+2>0
       (x-1)(x-2)>0
    \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\  /////////////////
       -(1)-(2)-
    ОДЗ : (-∞;1)U(2;+∞)
    По определению логарифм - показатель (1) степени, в которую нужно возвести основание (3), чтобы получить выражение под знаком логарифма
    3=х²-3х+2
    или
    х²-3х-1=0
    D=(-3)²+4=13
    x=(3-√13)/2<1  или   x=(3+√13)/2>2
    Оба корня входят в ОДЗ
    Ответ. (3-√13)/2 ; (3+√13)/2

  • Решить логарифмическое уравнение:
    1) Выбрать метод решения каждого уравнения
    2) Записать алгоритм решения каждого логарифмического уравнения
    3) Решить и подробно оформить решение уравнений
    log1/7 (x^2-5x+6)=-1


    Решение: 1) Данное уравнение можно решить, используя определение логарифма. Логарифм числа по данному основанию - это показатель степени, в который нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
    3) a) ОДЗ  x^2 - 5x +6 больше нуля
      х∈ (- бесконечность; 2)∨(3; + бесконечность)
      б) (1/7)^-1 = x^2 - 5x +6,
      7 = x^2 -5x +6,
      x^2 - 5x - 1=0
    решаем это квадратное уравнение и смотрим: какой корень (или оба) попадут в ОДЗ

  • Решить логарифмическое уравнение \(\frac{\lg^2x^6}{6}=\lg1000x^{35}+28=0\)


    Решение: (lg²x⁶)/6-lg1000x³⁵+28=0
    x>0 - ОДЗ
    (36lg²|x|)/6 - lg1000x³⁵+28=0
    (36lg²x)/6-lg|x³⁵|+25=0
    (36lg²x)/6-35lgx+25=0
    Пусть lg x = t
    6a²-35a+25=0
    D=1225-600=625
    a1=5/6
    a2=5
    Обратная замена
    lg x= 5/6
    x=√$$ \sqrt[6]{100000} $$
    lg x = 5
    x=100000

    36(lgx)²/6 -lg1000-35lgx+28=0
    6(lgx)²-35lgx-3+28=0
    6(lgx)²-35lgx+25=0
    lgx=a
    6a²-35a+25=0
    D=1225-600=625
    a1=(35-25)/12=5/6⇒lgx=5/6⇒x=$$ \sqrt[6]{100000} $$
    a2=(35+25)/12=5⇒lgx=5⇒x=100000

  • решить логарифмическое уравнение \(\log_{5x-2}(2) + \frac{2}{\log_x(5x-2)}=\log_{5x-2}(x+1)\)


    Решение: Сначала надо написать ОДЗ: 5x-2>0, 5x-2<>1, x<>1, x>0, x+1>0

    Решив систему и получив интервалы мы приведем уравнение к одному основанию (5x-2)

    Теперь полученное уравнение о сумме логарифмов равна произведению подлогарифмического выражения получим уравнение.

    $$ log_{5x-2}(2x^2)=log_{5x-2}(x\oplus1) $$

    Опустим основанеи и получим квадратное уравнение. 2x^2-x-1=0. Решив его получим два корня 1 и -1/2/ Оба не удовлетворяют условиям. Поэтому корней нет. на теории же некоторые программы считают что корень есть и равен 1, но уравнение теряет смысл.

    Ответ: корней нет

  • Решить логарифмическое уравнение (профиль): \( lg^2(2x^3+x^2-13x+7) + log^2 _{5}(2x^2+5x-2)=0 \)


    Решение: Равенство суммы 2-х квадратов возможно только если каждый из них равен 0. Логарифм по любому основанию равен 0 если выражение под знаком логарифма равно 1.
    2x³+x²-13x+7-1=0 2x³+x²-13x+6=0 но сначала решим
    2x²+5x-2-1=0 2x²+5x-3=0 D=25+24=49 √D=7
    x1=1/4[-5-7]=-3 х2=1/4[-5+7]=1/2
    проверим теперь полученные корни на то что они корни и первого у-я
    х=-3 -2*27+9+39+6 = 0
    x=1/2 2*1/8+1/4-13/2+6=1/2-13/2+6=-6+6=0
    ответ х=1/2; -3

  • Решить логарифмическое уравнение
    1) log0.2(3x^2-3x+1)=0
    2) log7(2x-5)>1


    Решение: 1
    log(0,2)(3x²-3x+1)=0
    ОДЗ
    3x²-3x+1>0
    D=(-3)²-4*3*1=9-12=-<0⇒при любом х выражение стоящее под знаком логарифма больше 0
    x∈(-∞;∞)
    3x²-3x+1=(0,2)^0
    3x²-3x+1=1
    3x²-3x=0
    3x(x-1)=0
    x=0
    x-1=0⇒x=1
    Ответ х=0, х=1
    2
    log(4)(2x-5)>1
    {2x-5>0⇒2x>5⇒x>5:2⇒x>2,5
    {2x-5>7⇒2x>7+5⇒2x>12⇒x>12:2⇒x>6
    по правилу больше большего выбираем решение
    x∈(6;∞)

  • Решить логарифмическое уравнение
    LOG₀,₃(5+2*x) = 1


    Решение: $$ log_{0,3}(5+2x)=1\\\\5+2x\ > \ 0\to 2x\ > \ -5\to x\ > \ -2,5\\\\5+2x=0,3\\2x=-4,7\\x=-2,35\ > \ -2,5 $$

    log x x to x - to x - x x - x - -...

  • решить логарифмическое уравнение:log_{5}(x^2+8)-log_{5}(x+1)=3log_{5}2


    Решение: $$ log_{5}(x^2+8)=log_{5}(x+1)+3log_{5}2 \\ log_{5}(x^2+8)=log_{5}8(x+1) \\ \left \{ {{x^2+8=8(x+1)} \atop {x+1>0}} \right. \\ \left \{ {{x^2-8x=0} \atop {x+1>0}} \right. \\ \left \{ {{x(x-8)=0} \atop {x+1>0}} \right. \\ \left \{ {{x_1=0, x_2=8} \atop {x>-1}} \right. $$

    Отсюда х=0 или х=8. Ответ:0; 8.

  • Решить логарифмическое уравнение \( \log_{\frac{1}{7}}(3x+2) =1+\log_{\frac{1}{7}}(2x+3) \)


    Решение: Log(3x+2)=log1/7+log(2x+3) по основанию 1/7 впишите сами
      log(3x+2)=log(1/7*(2x+3)
      3x+2=1/7*(2x+3)
      7(3x+2)=7*1/7(2x+3)
      21x+14=2x+3
      19x=-11
      x=-11/19

    Log x log log x по основанию впишите сами  log x log x   x x   x x   x x   x -   x -...
1 2 3 > >>