решить логарифмическое уравнение
Решить логарифмическое уравнение \( \log_{2x-1}(3x-2) = 3 - 2\log_{3x-2}(2x-1)\)
Решение: Приведём логарифмы к одному основанию. Будем основание делать 2х -1
log2x-1(3x-2) = 3 -2/log2x-1(3x -2)
Обозначим log2x-1(3x -2) = t
Уравнение примет вид :
t = 3 - 2/t | * t
t² = 3t -2
t² -3t +2 = 0
По т. Виета t1 = 1 и t2 = 2
a) log2x -1 ( 3x -2) = 1 б) log2x -1 ( 3x -2) = 2
ОДЗ
2х-1 >0,⇒ 2x >1,⇒ x > 1/2
2x -1 ≠ 1, ⇒ x ≠ 1/2
3x -2 >0, ⇒ 3x >2, ⇒ x > 2/3
ОДЗ: x > 2/3
2х -1 = 3х -2 (2х -1)² = 3х -2
х = 1 ( в ОДЗ входит) 4х² - 4х +1 = 3х -2
4х² -7х +3 = 0
D = b² -4ac = 49 - 48 = 1
x = 1 или х = 6/8 = 3/4 ( в ОДЗ входит)
Ответ: 1 и 3/4Логарифмическое выражение. \(15\log_{\frac{1}{7}}(\sqrt[5]{7}\cdot\frac{1}{49}\cdot 5^{\log_{\sqrt5}\sqrt[3]{49}})\)
Решение: Преобразуя все показатели в степень получим:
15 log (7^-1,7^1/5 *7^-2* 5 ^log (5^ 1/2,7^2/3))
Тогда по свойству логарифма это выражение равносильно:
15 *log(7^-1,7^-9/5 *5^log (5,7) *5^4/3)=-15 log(7,7^-4/5 *5^4/3)=
-15 *(-4/5) -15*4/3 *log(7,5)=12-20*log(7,5)=4(3-5log(7,5))
Решить логарифмическое уравнение:
log3(x^2-3x+2)=1
Решение: X²-3x+2=3¹
x²-3x-1=0
D=9+4=13
x₁=(3+√13)/2
x₂=(3-√13)/2ОДЗ: х²-3х+2>0
(x-1)(x-2)>0
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ /////////////////
-(1)-(2)-
ОДЗ : (-∞;1)U(2;+∞)
По определению логарифм - показатель (1) степени, в которую нужно возвести основание (3), чтобы получить выражение под знаком логарифма
3=х²-3х+2
или
х²-3х-1=0
D=(-3)²+4=13
x=(3-√13)/2<1 или x=(3+√13)/2>2
Оба корня входят в ОДЗ
Ответ. (3-√13)/2 ; (3+√13)/2Решить логарифмическое уравнение:
1) Выбрать метод решения каждого уравнения
2) Записать алгоритм решения каждого логарифмического уравнения
3) Решить и подробно оформить решение уравнений
log1/7 (x^2-5x+6)=-1
Решение: 1) Данное уравнение можно решить, используя определение логарифма. Логарифм числа по данному основанию - это показатель степени, в который нужно возвести основание, чтобы получить данное число.
3) a) ОДЗ x^2 - 5x +6 больше нуля
х∈ (- ∞; 2)∨(3; + ∞)
б) (1/7)^-1 = x^2 - 5x +6,
7 = x^2 -5x +6,
x^2 - 5x - 1=0
решаем это квадратное уравнение и смотрим: какой корень (или оба) попадут в ОДЗРешить логарифмическое уравнение \(\frac{\lg^2x^6}{6}=\lg1000x^{35}+28=0\)
Решение: (lg²x⁶)/6-lg1000x³⁵+28=0
x>0 - ОДЗ
(36lg²|x|)/6 - lg1000x³⁵+28=0
(36lg²x)/6-lg|x³⁵|+25=0
(36lg²x)/6-35lgx+25=0
Пусть lg x = t
6a²-35a+25=0
D=1225-600=625
a1=5/6
a2=5
Обратная замена
lg x= 5/6
x=√$$ \sqrt[6]{100000} $$
lg x = 5
x=10000036(lgx)²/6 -lg1000-35lgx+28=0
6(lgx)²-35lgx-3+28=0
6(lgx)²-35lgx+25=0
lgx=a
6a²-35a+25=0
D=1225-600=625
a1=(35-25)/12=5/6⇒lgx=5/6⇒x=$$ \sqrt[6]{100000} $$
a2=(35+25)/12=5⇒lgx=5⇒x=100000
Решить логарифмическое выражение
1) log 5 2* log 2 25
2) \( log_{2,5}9 * log_{9} 4 \)
Решение: Используя формулу перехода логарифма к другому основанию,
$$ log_a b=\frac{log_c b}{log_c a} \\ log_c a*log_a b=log_c b \\ a>0;a = 1;c>0; c = 1; b>0 $$
формулу логарифма степени
$$ log_a b^c=c*log_a b $$
и логарифма за одинаковым основанием
$$ log_a a=1; \\ a>0;a = 1 $$
-
$$ log_5 2*log_2 25=log_5 25=\\\\log_5 5^2=2*log_5 5=5*1=5 $$
-
$$ log_{2.5} 9*log_9 4=log_{2.5} 4 $$
и дальше красиво разложить нету возможности
-
$$ log_{0.5} 9*log_9 4=log_{0.5} 4=\\\\log_{2^{-1}} 2^2=\frac{2}{-1}log_2 2=-2*1=-2 $$
-
$$ log_{0.25} 9*log_9 4=log_{0.25} 4=\\\\log_{2^{-2}} 2^2=\frac{2}{-2}log_2 2=-1*1=-1 $$
решите логарифмическое выражение:
Lg(2внизу) 3-lg(2внизу)(2-3х)=2-lg(2внизу)(4-3х)
Решение: сначала ОДЗ 2-3х>0, 4-3x>0. x<2/3. тепер упрощаем левую часть: Lg(2внизу) 3-lg(2внизу)(2-3х)=lg(2внизу)(3/(2-3x)). Переносим логарифм с правой части в лево :lg(2внизу)(3/(2-3x)) + lg(2внизу)(4-3х) = 2
Опять упрощаем левую часть lg(2внизу)(3/(2-3x)) + lg(2внизу)(4-3х) = lg(2внизу)(3*(4-3х)/(2-3х)) = 2
теперь за основным свойством логарифма 2^2 = 3*(4-3х)/(2-3х).
отсюдова 8-12х = 12 - 9х
х = -4/3
решить логарифмическое уравнение \(\log_{5x-2}(2) + \frac{2}{\log_x(5x-2)}=\log_{5x-2}(x+1)\)
Решение: Сначала надо написать ОДЗ: 5x-2>0, 5x-2<>1, x<>1, x>0, x+1>0Решив систему и получив интервалы мы приведем уравнение к одному основанию (5x-2)
Теперь полученное уравнение о сумме логарифмов равна произведению подлогарифмического выражения получим уравнение.
$$ log_{5x-2}(2x^2)=log_{5x-2}(x\oplus1) $$
Опустим основанеи и получим квадратное уравнение. 2x^2-x-1=0. Решив его получим два корня 1 и -1/2/ Оба не удовлетворяют условиям. Поэтому корней нет. на теории же некоторые программы считают что корень есть и равен 1, но уравнение теряет смысл.
Ответ: корней нет
Решить логарифмическое уравнение (профиль): \( lg^2(2x^3+x^2-13x+7) + log^2 _{5}(2x^2+5x-2)=0 \)
Решение: Равенство суммы 2-х квадратов возможно только если каждый из них равен 0. Логарифм по любому основанию равен 0 если выражение под знаком логарифма равно 1.
2x³+x²-13x+7-1=0 2x³+x²-13x+6=0 но сначала решим
2x²+5x-2-1=0 2x²+5x-3=0 D=25+24=49 √D=7
x1=1/4[-5-7]=-3 х2=1/4[-5+7]=1/2
проверим теперь полученные корни на то что они корни и первого у-я
х=-3 -2*27+9+39+6 = 0
x=1/2 2*1/8+1/4-13/2+6=1/2-13/2+6=-6+6=0
ответ х=1/2; -3Решить логарифмическое уравнение
1) log0.2(3x^2-3x+1)=0
2) log7(2x-5)>1
Решение: 1
log(0,2)(3x²-3x+1)=0
ОДЗ
3x²-3x+1>0
D=(-3)²-4*3*1=9-12=-<0⇒при любом х выражение стоящее под знаком логарифма больше 0
x∈(-∞;∞)
3x²-3x+1=(0,2)^0
3x²-3x+1=1
3x²-3x=0
3x(x-1)=0
x=0
x-1=0⇒x=1
Ответ х=0, х=1
2
log(4)(2x-5)>1
{2x-5>0⇒2x>5⇒x>5:2⇒x>2,5
{2x-5>7⇒2x>7+5⇒2x>12⇒x>12:2⇒x>6
по правилу больше большего выбираем решение
x∈(6;∞)
