при каких значениях уравнение не имеет корней - страница 3
При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня.
ax^2-(2a^2+5)x+10a=0
1. если а=0,то 0*x^2-(2*0+5)x+10*0=0. -5x=0 x=0, при а=0 уравнение имеет 1 корень, не удов решению задачи. Если а не равно 0, то уравнение квадратное имеет 2 корня, если d>0 D=(2а^2+5)^2-4*a*10а=4a^2+25-2а^2
Решение: Чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть больше нуля:
$$ D=(2a^2+5)^2-4*10a*a=4a^4+20a^2+25-40a^2 = 4a^4-20a^2+25 $$ $$ = (2a^2-5)^2 $$. И вот эта вот штука должна быть строго больше нуля. Но так как это квадрат какого то числа, то она всегда будет положительна или равна нулю. А когда дискриминант равен нулю, уравнение будет иметь одно решение. Значит:
$$ 2a^2-5 eq 0, a^2 eq \frac{5}{2}, a eq \frac{+}{-} \sqrt{ \frac{5}{2} } $$
Ну и плюс, что а не равно нулю.
То есть подходят все числа кроме 0 и $$ \frac{+}{-} \sqrt[]{ \frac{5}{2} } $$При каких значениях параметра a уравнение 4/3*x^3-4x+3=a имеет более одного корня?
Решение: Конечно такие задачи имеют какой-то определенный алгоритм через экстремум, но4x^3/3-4x=0
4x^3=12x
4x^2=12
x^2=3
x=+-V3
то есть при а=3 имеет уже 2 корня, посмотрим что будет при а=1
4/3*x^3-4x+3=1
4x^3-12x+9=3
4x^3-12x+6=0
2x^3-6x+3=0
имеет 3 корня
а при а =0 не имеет решений вообще
Сделаем вывод: при a>0
Какие будут значения х1 и х2 в уравнениях: х^-6х+1=0, х^-6х-1, х^-6х+2, х^-6х+4.
Возможные ответы: х1,2=3+-√5; 3+-√10, 3+-2√2 ; 3+-√11 ;3+-√7
Решение: X² - 6x + 1 = 0
D = b² -4ac = 36 - 4 × 1 = 32
x1,2 = 6+/-√32/ 2
x² - 6x + 2 = 0
D = 36 - 4 × 2 = 36 - 8 = 28
x1,2 = 6+/-√28/2
x² - 6x + 4 = 0
D = 36 - 4×4 = 36 - 16 = 20
x1,2 = 6+/-√20/2
X²-6x+1=0
D= 6²-4*1*1= 36-4=32
х= (6 +- √32) /2= 3 +- √ 8= 3+-2√2
x²-6x-1=0
D= 36+4= 40
х=(6+- √40) /2 = 3 +-√10
х²-6х+2=0
D= 36-8= 28
x= (6+-√28)/2= 3+-√7
x²-6x+4=0
D= 36-16= 20
x= (6 +-√20)/2 = 3 +- √5
При каких значениях k уравнение 3xво 2 степени +kx+1=0 не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.
Решение: Корней нет, когда дискриминант отрицательный (хотя там корни есть, но только они комплексные)Это обычное квадратное уравнение, оно не имеет корней, когда дискриминант строго меньше нуля, следовательно 3х^2+кх+1=0 Д=k^2-12 K^2-12<0 k^2<12 k<(12) ( ( ) - корень ) При К < корня из 12 уравнение не имеет корней. Тут получается любое отрицательное число, например -1
При каких значениях k уравнение 3x^2 +kx+1=0 не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.
Решение: Это обычное квадратное уравнение, оно не имеет корней, когда дискриминант строго меньше нуля, следовательно3х^2+кх+1=0
Д=k^2-12
K^2-12<0
k^2<12
k<(12) ( ( ) - корень )
При К < корня из 12 уравнение не имеет корней.
Тут получается любое отрицательное число, например -1
1. Решите уравнения:а) корень(x^2-4x) = корень (6-3x)
b)корень(3x+1)=x-1
c)2 корень (x) - корень в 4 степени (x) = 1
d)корень (x) + корень (x-3) = 3
2. Определите, при каких значениях x:
функция y=корень в 3 степени (x^2-1) принимает значение, равное 2.
Решение: 1.
а)√(x²-4x)=√(6-3x)
ОДЗ: х²-4х≥0
х(х-4)≥0
х=0 х=4
+ - +
--------- 0 ---------- 4 ----------
\\\\\\\\ \\\\\\\\\
x∈(-∞; 0]U[4; +∞)
6-3x≥0
-3x≥ -6
x≤ 2
В итоге: х∈(-∞; 0]
(√(x²-4x))² = (√(6-3x))²
x²-4x=6-3x
x²-4x+3x-6=0
x²-x-6=0
D=1+24=25
x₁=1-5 = -2 ∈(-∞; 0] - корень уравнения
2
x₂=1+5 = 3 ∉(-∞; 0] - не корень уравнения
2
Ответ: -2
b) √(3x+1)=x-1
ОДЗ: 3х+1≥0
3х≥ -1
х≥ -1/3
х-1≥0
х≥1
В итоге: х≥1
x∈[1; +∞)
(√(3х+1))² = (x-1)²
3x+1=x²-2x+1
-x²+3x+2x+1-1=0
-x²+5x=0
x²-5x=0
x(x-5)=0
x=0∉[1; +∞) - не корень уравнения
х-5=0
х=5∈[1; +∞) - корень уравнения
Ответ: 5
c) 2√x - ⁴√x =1
ОДЗ: х≥0
(2√x -1)² =(⁴√x)²
4x-4√x+1=√x
4x+1=√x + 4√x
(4x+1)²=(5√x)²
16x²+8x+1=25x
16x²+8x-25x+1=0
16x²-17x+1=0
D=289-64=225
x₁= 17-15 = 2/32 = 1/16
32
x₂= 17+15 =1
32
Проверка корня:
х=1/16 2√(1/16) - ⁴√(1/16) =1
2*(1/4) - 1/2 =1
1/2 - 1/2 =1
0≠1
х=1/16 - не корень уравнения
х=1 2√1 - ⁴√1 =1
2-1 =1
1=1
х=1 - корень уравнения
Ответ: 1.
d) √x + √(x-3) =3
ОДЗ: х≥0
х≥3
В итоге: х≥3
(√х +√(х-3))² =3²
х+2√(х(х-3))+х-3=9
2√(х²-3х)=9+3-2х
2√(х²-3х)=2(6-х)
(√(х²-3х))² =(6-х)²
х²-3х=36-12х+х²
х²-х²-3х+12х=36
9х=36
х=4
Ответ: 4
2.
у=∛(х² -1)
у=2
∛(х² -1)=2
(∛(х²-1))³=2³
х²-1=8
х²=8+1
х²=9
х₁=3
х₂= -3
Ответ: -3; 3.Решите уравнения с помощью разложения на множители. (x-3)(2x+9)=0; 9y^2-1=0; t^2+6t+9=0; z^4=4z^2
При каких значениях a равны значения выражения 3*a²-12 и a(a+2)?
Решение: A. x-3=0, 2x+9=0;
x=3, 2x=-9;
x=3, x=-4,5
б.(3у-1)(3у+1)=0
3у-1=0, 3у+1=0
у=1/3, у=-1/3
в.(t+3)^2=0
t+3=0
t=-3
г. z^4-4z^2=0
(z^2-2z)(z^2+2z)=0
z^2-2z=0, z^2+2z=0;
z(z-2)=0, z(z+2)=0
z=0. z=0
z=2. z=-2 2. 3a^2-12=a^2+2a; 3a^2-12-a^2-2a=0; 2a^2-2a-12=0 (поделить на 2); а^2-a-6=0; D=1-4×1×(-6)=25; a1=(1+5)/2=3; a2=(1-5)/2=-2 При значениях 3 и -2№ 1.
а) (x-3)(2x+9)=0 - это уравнение уже разложено на множители. Отсюда x-3=0 или 2x+9=0, тогда x1=3, x2=-9/2=-4,5.
б) 9y²-1=(3y+1)(3y-1)=0, откуда 3y+1=0 либо 3y-1=0. Тогда у1=-1/3, у2=1/3
в) t²+6t+9=(t+3)(t+3)=0, откуда t+3=0. Тогда t1=t2=-3
г) z⁴-4*z²=z²(z²-4)=0, откуда z²=0 либо z²-4=(z+2)(z-2)=0. Тогда z1=z2=0, z3=-2,z4=2.
№ 2.
3*a²-12=a(a+2), 3*a²-12=a²+2*a, 2*a²-2*a-12=0, дискриминант D=(-2)²-4*2*(-12)=100=10², a1=(2+10)/4=3, a2=(2-10)/4=-2. Ответ: при а=3 и при а=-2.При каких значениях параметра а уравнение (модуль х +2а) -ах = 0 имеет решение х<=1 ?
Решение: Раскрываем модуль-(х+2a)-ax=0 х+2а-ах=0
-х-2а-ах=0 х(1-а)+2а=0
-х(1+а)-2а=0 х=-2а/(1-а)=2а/(а-1)
х=-2а/(1+а) х≤1
х≤1 2а/(а-1)≤1 [a≠1]
-2а/(1+а)≤1[a≠-1] 2a≤a-1
-2a≤1+a a≤-1
-3a≤1 a∈(-∞;-1), т. к. а≠-1
a≥-1/3
a∈[-1/3;∞)
Ответ: а∈(-∞;-1)ü[-1/3;∞)
При каких значениях а уравнение не будет иметь корней?
модуль х-1 + модуль х+1=а
Решение: При а меньше нуля. а имеет смысл при а больше или равно нулюЗадание удобно решать графически. Надо начертить график ф-ции у=|x-1|+|x+1| и у=а.
Знаки |x-1| - (-1) - (1) + + +
Знаки |x+1| - (-1) + + + (1) + + +
Рассматриваем три интервала.
-∞< х≤ -1 ⇒ у=-х+1-х-1=-2х Строим эту прямую y=-2x при х∈(-∞,1].
-1<x≤1 ⇒ y=-x+1+x+1=2 ⇒Прямую у=2 строим при х∈(-1,1]
1< х<∞ ⇒у=х-1+х+1=2х. Строим прямую у=2х при х∈(1,∞)
Прямые строят только в тех пределах изменения переменной х, в которой это указано. Остальные части прямых стирают.
По графику будет видно, что прямая у= а, которая параллельна оси ОХ не будет перес екать график ф-ции у=|x-1|+|x+1| при а<2. А значит, при а<2 уравнение не имеет корней
При каких значениях "a" уравнение |1-|6-х||=а имеет три решения?
Решение: рассмотрим функцию y=|1-|6-x||она соответствует функции
y=|1-(6-x)|=|x-5| при x<6
y=|1+x-5|=|-x+7| при x>6
расскроем дальше модуль
y=x-5 при 5
y=-x+5 при x<5
y=-x+7 при 6
y=x-7 при x>7
Строим графики этих функций и видим, что только при a=1 уравнение имеет три решения
