корни »

при каких значениях уравнение не имеет корней - страница 4

  • При каких значениях А сумма кубов корней уравнения 3x^2+3(A+1)x+A^2=0 будет максимальной?


    Решение: По теореме Виета,
    x1+x2=-3(A+1)/3=-(A+1),
    x1*x2=A^2 / 3
    Выразим сумму кубов через сумму и произведение корней:
    x1^3+x2^3 = (x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
    (x1+x2)(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) =
    (x1+x2)((x1+x2)^2-3x1*x2) = 
    -(A+1)((-(A+1))^2-3*(A^2 / 3)) = 
    -(A+1)(A^2+2A+1-A^2) = 
    -(A+1)(2A+1) = -2A^2-3A-1
    Сумма кубов - функция от параметра A: f(A) = -2A^2-3A-1
    Найдем точку максимума функции:
    f’(A) = -4A-3
    При f’(A)=0: -4A-3 = 0 => A = -3/4.
    f’(A) > 0 при A < -3/4
    f’(A) < 0 при A > -3/4
    Это значит, что A=-3/4 - точка максимума функции, а значит, при A=-3/4 сумма кубов принимает наибольшее значение.

  • При каких значениях A сумма квадратов корней уравнения x^2+Ax+(A-2)=0 будет минимальна?


    Решение:

    x^2+Ax+(A-2)=0

    x1 + x2 = -A
    x1 * x2 = (A - 2)

    x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2*x1*x2


    x1^2 + x2^2 = A^2 - 2*(A - 2) = A^2 -2*A + 4


    A^2 -2*A + 4 = 0

    D = sqrt(4 - 4*4) <0 - корней нет.

    Взяв пробную точку, получаем, что значение выражения всегда больше нуля. Т.о. мы имеем параболу с ветвями вверх, находящуюся в  верхней полуплоскости, а, значит, минимальное ее значение будет в вершине.

    A = 2/2 = 1 - x-вая координата вершины (-b/2a)

    Итого, при A = 1 искомое значение будет минимальным.


  • При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x^2+2ax+2a^2+4a+3=0 является наибольшей? Чему равна этасумма.


    Решение: Коли речь идет о двух корнях, то дискриминант должен быть >=0.
    D= (2a)^2-4(2a^2+4a+3)=4a^2-8a^2-16a-12=-4a^2-16a-12 | :4
    -a^2-4a-3>=0
    a^2+4a+3<=0
    a^2+4a+3=0
    D=4^2-4*1*3=4
    a1=(-4-2)/2=-3
    a2=(-4+2)/2=-1
    -3<=a<=-1
    Воспользуемся теоремой Виета:
    x1+x2=-b/a=-2a
    x1*x2=c/a=2a^2+4a+3
    x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(-2a)^2-2(2a^2+4a+3)=4a^2-4a^2-8a-6=
    =-8a-6.
    Наибольшее значение это выражение примет при наименьшем значении "a", т.е. при а=-3.
    Проверим:
    1)a=-3
    -8*(-3)-6=18
    2)a=-2
    -8*(-2)-6=10
    3)a=-1
    (-8)*(-1)-6=2
    Ответ: 18

  • При каком значении параметра с уравнение x^2+3x=c-5x будет иметь два корня (два реальных решения)?
    Варианты ответов:
    A) – 16
    B) – 4
    C) – 1
    D) 4
    E) 16


    Решение: Х^2 + 3х = с - 5х
    Два Корня при D > 0
    X^2 + 3x + 5x - c > 0
    X^2 + 8x - c > 0
    D = 64 + 4c
    64 + 4c > 0
    4( 16 + c ) > 0
    16 + c > 0
    c > - 16
    Ответ ( - 16 ; + ∞ )

    Если необходимо два равных корня то дискриминант строго равен =0

    D=8^2 -4*( -c) = 64 + 4c

    D=0

    64 + 4c =0  4c = -64  c = - 16  вариант А)

  • При каких значениях k уравнение kx²-6x+k=0 имеет единственный корень?


    Решение: kx^2-6x+k=0

    D=36-4*k*k=36-4k^2=0

    (6-2k)(6+2k)=0

    6-2k=0

    k=3

     6+2k=0

     k=-3

     проверим 

    3x^2-6x+3=0

    D=36-4*3*3=0

    Правильно!

    -3x^2-6x-3=0

    D=36-4*3*3=0

    тоже!

<< < 234 5 6 > >>