упрощение выражений » Формулы сокращенного умножения
  • Пожалуйста, объясните поподробнее на любом примере 7-8 класса как раскрывать скобки (с помощью формул сокращенного умножения), приводить подобные слагаемые и упрощать выражение.


    Решение: Формулы сокращенного умножения
    1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
    (a+b)2=a2+2ab+b2

    2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
    (a-b)2=a2-2ab+b2

    3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
    (a+b)(a-b)=a2-b2

    4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

    5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
    6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
    (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

    7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
    (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

  • Задание на формулы сокращенного умножения для степеней с дробными показателями: \( (a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} - \frac{a\cdot b}{a + a^{\frac{1}{2}}} \cdot b^{\frac{1}{2}}):\frac{ab^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{2}}}{a-b} \)


    Решение: $$ a-b=(a^{ \frac{1}{2}}-b^{ \frac{1}{2} })( a^{ \frac{1}{2}}+b^{ \frac{1}{2} }) \\ \ a^{ \frac{1}{2}}-b^{ \frac{1}{2} }=(a^{ \frac{1}{4}}-b^{ \frac{1}{4} })( a^{ \frac{1}{4}}+b^{ \frac{1}{4} }) $$

    $$ a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{ab}{a+a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }}= \\ =a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{ab}{a^{ \frac{1}{2} }\cdot (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{a^{ \frac{1}{2} }b}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =\frac{a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }\cdot (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })-a^{ \frac{1}{2} }b}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =\frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })} $$
    $$ \frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}: \frac{a^{ \frac{1}{4} }b^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{2} }}{a-b} =\frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}\cdot \frac{(a-b)}{b^{ \frac{1}{4} }(a^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{4} })} = \\ \ = $$

    $$ \frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ 1}\cdot \frac{(a^{ \frac{1}{2} }-b^{ \frac{1}{2} })}{b^{ \frac{1}{4} }(a^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{4} })} =ab^{ \frac{1}{4} }\cdot(a^{ \frac{1}{4} }+b^{ \frac{1}{4} }) $$

  • Формулы сокращенного умножения (^2 ’это степень т.е во 2 ст) 1.(a+12)^2 8. 1+y^2-2y 2.a^2+12a+36 9.(10x -7y)(10x+7y)

    3.(8b+5a)(5a-8b) 10. y^2-0,09 4. a^2-25 11. y^3-1 5.125+a^3 6.(15-x)^2 13. 64-16b+b^2 7.(y-9)^2 14.(7x-2)(2+7x)


    Решение:

    1.(a+12)² = а² + 24а + 144

    2.a²+12a+36 = (а + 6)²

    3.(8b+5a)(5a-8b) = (5a+8b)(5a-8b)= 25a² - 64b²

    4. a² - 25 =(a - 5)(a+5)

    5.125+a³ = a³ + 5³ = (a + 5)(a² - 5a + 25)

    6.(15-x)² = 225 - 30x + x²

    7.(y-9)² = y² - 18y + 81

    8. 1+y²-2y = (y - 1)²

    9.(10x-7y)(10x+7y)= 100x² - 49y²

    10. y²-0,09 = (y - 0,3)(y+0,3)

    11. y³-1 = (y - 1)(y² + y + 1)

    13. 64-16b+b² = (b - 8)²

    14.(7x-2)(2+7x) = (7x-2)(7x+2) = 49x² - 4

    1) $$ (a+12)^{2}=(a+12)(a+12)=a^{2}+24a+144 $$

    2) $$ a^{2}+12a+36=(a+6)(a+6)=(a+6)^{2} $$

    3) $$ (8b+5a)(5a-8b)=(5a+8b)(5a-8b)=\\=25a^{2}-40ab+40ab-64b^{2}=25a^{2}-64b^{2} $$

    4) $$ a^{2}-25=(a+5)(a-5) $$

    5) $$ 125+a^{3}=5^{3}+a^{3}=(5+a)(25-5a+a^{2}) $$

    6) $$ (15-x)^{2}=(15-x)(15-x)=\\=225-15x-15x+x^{2}=225-30x+x^{2} $$

    7) $$ (y-9)^{2}=(y-9)(y-9)=\\=y^{2}-9y-9y+81=y^{2}-18y+81 $$

    8) $$ 1+y^{2}-2y=y^{2}-2y+1=\\=(y-1)(y-1)=(y-1)^{2} $$

    9) $$ (10x -7y)(10x+7y)=100x^{2}+70xy-70xy-49y^{2}=100x^{2}-49y^{2} $$

    10) $$ y^{2}-0,09=(y+0,3)(y-0,3) $$

    11) $$ y^{3}-1=(y-1)(y^{2}+y+1) $$

    13) $$ 64-16b+b^{2}=(8-b)(8-b)=(8-b)^{2} $$

    14) $$ (7x-2)(2+7x)=(7x-2)(7x+2)=49x^{2}+14x-14x-4=49x^{2}-4 $$

  • 1) При каких значениях переменных верно равенство 6x^y( 2xy- 1 ) + 3x( 2xy - 5 ) = 2x(6x^y^ - 5 ) - 25 ? 2) Используя формулу сокращённого умножения,вычислите: a) 99^ ; б) 202^ 3) Решите уравнение (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 5)^ = 19


    Решение:

    1)  (число после буквы это степень)

    12х3у2-6х2у+6х2у-15х=12х3у2-10х-25

        -15х+10х=-25

         -5х=-25

             х=5

    Ответ: равентсво верно при любом значении у и х=5

    2)

    ^2 - это степень  2

    99^2=(100-1)^2= 10000-200+1=9801

    202^2 = (200+2)^2= 40000+800+4=40804

    3) 

    ^2 - это степень  2

    (2x-1)(2x+1) - 4(x+5)^2=19

    4x^2-1-4x^2-40x-100=19

    -40x=101+19

    -40x=120

    x=-3

    1).

     6x²y( 2xy - 1 ) + 3x( 2xy - 5 ) = 2x(6x²y²- 5 ) - 25

     12х³у² - 6х²у + 6х²у - 15х = 12х³у² - 10х - 25

    после сокращений получаем:

    -15х = -10х-25

    5х=25

    х=5

    а т.к. выражение не зависит от переменной у, то его значение может быть любым.

    Ответ: тождество верно, если х=5, у-любое число.

    2).

    99² = (100-1)² = 100² - 2*100 + 1² = 10 000 -200 +1 =9801

    202² = (200 + 2)² = 200² + 2*200*2 + 2² = 40 000+800+4 = 40804

    3).

    (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 5)² = 19

    4х²-1 -4(х²+10х+25) =19

    4х²-1-4х²-40х-100=19

    -40х=19+100+1

    -40х=120

    х=-3

    Отвте: х=-3

    Проверка:

    (2*(-3) -1)(2*(-3)+1) - 4(-3+5)² = (-7)(-5) -4(4)=35-16=19 - верно

  • Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы и квадрат разности. Выполните действие: 1. а)(11-х)во второй степени б)(2х+0,5)во второй степенив)(-2а+2b)во второй степени г)(а во второй степени+bв третей степени)в квадрате 2. Упростите выражение: а) х во второй степени + 49-14х б)25у во второй степени+20ху+4х в кубе 3.Раскройте скобки: а)(3а-b)в квадрате-(3а+b)в квадрате формулы: (a+b)в квадрате = а в квадрате + 2ab+b в квадрате (a-b)в квадрате = а в квадрате - 2ab+b в квадрате


    Решение: Квадрат суммы и квадрат разности.(a+b)² =a²+2ab+b² (a-b)² =a²-2ab+b²

    а)(11-х)²=121-22х+х²

    б)(2х+0,5)²=4х²+2х+0,25

    в)(-2а+2b)²=4а²-16аb+4b²

    г)(а²+bв³)²=a⁴=2а²bв³+b²в⁶

    2. Упростите выражение:

    а) х²+ 49-14х=(x-7)² либо (7-х)²

    б)25у²+20ху+4х⁴=(5у+2х²)²

    3.Раскройте скобки:

    а)(3а-b)²-(3а+b)²=9а²-6аb+b²-9а²-6аb-b²=12аb

  • представьте второе слагаемое трёхчлена в виде алгебраической суммы подобных слагаемых и разложите трёхчлен на множители применив способ группировки:

    х в 2 степени - 6х +8= разложите многочлен на множители используя приём выделения квадрата двучлена: х в 2 степени -2х-24= разложите многочлен на множители используя соответствующую формулу сокращённого умножения: у в 6 степени/125(дробь)+0,064= разложите многочлен на множители: 5а+аb в 2 степени - a в 2 степени b - 5b=


    Решение: $$ 1)\ x^2-6x+8=x^2-2x-4x+8=x(x-2)-4(x-2)= \\ =(x-2)(x-4) \\ \ 2)\ x^2-2x-24=x^2-2x+1-25=(x-1)^2-5^2= \\ =(x-1+5)(x-1-5)=(x+4)(x-6) \\ \ 3)\ \frac{y^6}{125}+0,064=(\frac{y^2}{5}+0,4)(\frac{y^4}{25}-2y^2+0,16) \\ \ 4)\ 5a+ab^2-a^2b-5b=5(a-b)-ab(a-b)=(a-b)(5-ab) $$

    1) x^2 - (4x+2x)+8= x^2 - 4x - 2x+8=(x^2 - 4x) - (2x - 8)=x(x - 4) -2()x - 4)=(x - 4)(x - 2)

    2) x^2 - 2x - (16+8)= (x^2 - 16) - (2x - 8)= (x - 4)(x+4) - 2(x - 4)=(x - 4)(x+4 -2)=(x - 4)(x+2)

    3) y^6  +0,4^3=( (0,2y)^2+0,4)( (0,2y)^4 - 0,016y^2 + 0,16) =

      5^6

    4) 5а+аb^2 - a^2b - 5b=(5а- 5b)+(аb^2 - a^2b)=5(а- b)- ab(a - b)=(5 - ab)(a - b)

  • Составьте многочлен p (x)=2p1(x)+p2(x)-p3(x) и запишите его в стандартном виде,если: 1. p1(x)=-3x(-3x во 2-ой степени) p2(x)=1-x

    p3(x)=x^2(во 2-ой степени)-4x
    2. a)(2m+1)(4-m) б)25m^2-30mn^2):(-5mn)
    3. Упростите используя формулы сокращённого умножения: (3x+4)(4-3x)-(2x+1)^2
    4. Докажите что выражения не зависит от переменной: 3*(1-2y)(1+2y+4y^2)+4*(6y^3-1)


    Решение: составьте многочлен p (x)=2p1(x)+p2(x)-p3(x) и запишите его в стандартном виде,если:

    1. p1(x)=-3x²

    p2(x)=1-x

    p3(x)=x²-4x

    p (x)=2*(-3x²)+1-x-(x²-4x)=-6x²+1-x-x²+4x=-7x²+3x+1

    2. a)(2m+1)(4-m)=8m-2m²+4-m=-2m²+7m+4

    б)25m^2-30mn^2):(-5mn)=25m²:(-5mn)-30mn²:(-5mn)=-5m/n+6n

    3. упростите используя формулы окращённого умножения:

    (3x+4)(4-3x)-(2x+1)²=16-9x²-(4x²+4x+1)=16-9x²-4x²-4x-1=-13x²-4x+15

    4. докажите что выражения не зависит от переменной:

    3*(1-2y)(1+2y+4y²)+4*(6y³-1)=3*(1-8y³)+24y³-4=3-24y³+24y³-4=-1 значит не зависит от переменной

  • Упростите выражение а) 2√3 - √27 + 2√48
    б) √8 + 2√18 - √72
    в) 2√20 - √35 - 2√12
    г) 2√28 - 0,5√24 + 2√7

    Преобразуйте выражение, используя формулы сокращенного умножения
    а) (2 + √3)(2 - √3)
    б) (√6 - 1)(√6 + 1)
    в) (√7 - √5)(√7 + 5)
    г) (1-√5)^2
    д) (√3 - √5)^2
    е) (5 - √5)^2 + 5√5


    Решение:

    а) 2√3 - √27 + 2√48
    $$ 2 \sqrt{3}- \sqrt{27}+2 \sqrt{48}= 2\sqrt{3}- \sqrt{3^23}+2 \sqrt{4^23}= \sqrt{3}(2-3+8)= 7 \sqrt{3} $$
    б) 
    √8 + 2√18 - √72
    $$ \sqrt{2^22}+2 \sqrt{3^22} - \sqrt{6^22}= \sqrt{2} (2+6-6)=2 \sqrt{2} $$
    в) 2√20 - √35 -  2√12
    $$ 2 \sqrt{2^25}- \sqrt{5*7}-2 \sqrt{2^23}=4 \sqrt{5}- \sqrt{5*7}-4 \sqrt{3} $$
    г) 2√28 - 0,5√24 + 2√7
    $$ 2 \sqrt{2^2*7}-0.5 \sqrt{2^2*6}+2 \sqrt{7} =6 \sqrt{7}- \sqrt{6} $$

    Преобразуйте выражение, используя формулы сокращенного умножения 
    а) (2 + √3)(2 - √3)=4-3=1
    б) (√6 - 1)(√6 + 1)=6-1=5
    в) (√7 - √5)(√7 + 5)=7-5=2
    г) $$ (1 - √5)^2= 1-2 \sqrt{5}+5=6-2 \sqrt{5} $$
    д) (√3 - √5)^2=$$ 3-2 \sqrt{3*5}+5=8-2 \sqrt{15} $$
    е) (5 - √5)^2 + 5√5
    =$$ (25-10 \sqrt{5} +5)+5 \sqrt{5} = 30-5 \sqrt{5} $$

  • 1) Разложите на множители с помощью формул сокращенного умножения выражение:
    а) 49-k² а)64-с²
    б)t²+2tx+x² б)а²-2ay+y²
    в)m²-2m+1 в)z²+2z+1
    2)Представьте в виде произведения выражения
    а)25x²-10x+1 а)100k²-20²+1
    б)64m²+16my+y² б)4х²+4xt+t²
    3)Решите уравнение:
    а) x²-10x+25=0 a)x²-18x+81=0
    б)144x²-81=0 б)225x²-64=0
    4)Разложите на множители многочлен
    x³-y³+3x²+3xy+3y² x³+y³+2x²-2xy+2y²


    Решение: 1. а) (7-k)(7+k) а) (8-с)(8+с)
    б) (t+x)^2 б) (a-y)^2
    в) (m-1)^2 в) (z+1)^2
    2. а) (5x-1)^2 а) (10k-1)^2
    б) (8m+y)^2 б) (2x+t)^2
    3. Тут через дискриминант решать. Даны уравнения вида аx^2+bx+c=0
    . а -k k а -с с б t x б a-y в m- в z . а x- а k- б m y б x t . Тут через дискриминант решать. Даны уравнения вида аx bx c...