преобразуйте выражения, используя формулы сокращенного умножения
Пожалуйста, объясните поподробнее на любом примере 7-8 класса как раскрывать скобки (с помощью формул сокращенного умножения), приводить подобные слагаемые и упрощать выражение.
Решение: Формулы сокращенного умножения
1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2
2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2
3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2
4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3Задание на формулы сокращенного умножения для степеней с дробными показателями: \( (a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} - \frac{a\cdot b}{a + a^{\frac{1}{2}}} \cdot b^{\frac{1}{2}}):\frac{ab^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{2}}}{a-b} \)
Решение: $$ a-b=(a^{ \frac{1}{2}}-b^{ \frac{1}{2} })( a^{ \frac{1}{2}}+b^{ \frac{1}{2} }) \\ \ a^{ \frac{1}{2}}-b^{ \frac{1}{2} }=(a^{ \frac{1}{4}}-b^{ \frac{1}{4} })( a^{ \frac{1}{4}}+b^{ \frac{1}{4} }) $$
$$ a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{ab}{a+a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }}= \\ =a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{ab}{a^{ \frac{1}{2} }\cdot (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }- \frac{a^{ \frac{1}{2} }b}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =\frac{a^{ \frac{1}{2} }\cdot b^{ \frac{1}{2} }\cdot (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })-a^{ \frac{1}{2} }b}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}= \\ =\frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })} $$
$$ \frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}: \frac{a^{ \frac{1}{4} }b^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{2} }}{a-b} =\frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ (a^{ \frac{1}{2} }+ b^{ \frac{1}{2} })}\cdot \frac{(a-b)}{b^{ \frac{1}{4} }(a^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{4} })} = \\ \ = $$
$$ \frac{ab^{ \frac{1}{2} }}{ 1}\cdot \frac{(a^{ \frac{1}{2} }-b^{ \frac{1}{2} })}{b^{ \frac{1}{4} }(a^{ \frac{1}{4} }-b^{ \frac{1}{4} })} =ab^{ \frac{1}{4} }\cdot(a^{ \frac{1}{4} }+b^{ \frac{1}{4} }) $$
Формулы сокращенного умножения (^2 ’это степень т.е во 2 ст) 1.(a+12)^2 8. 1+y^2-2y 2.a^2+12a+36 9.(10x -7y)(10x+7y)
3.(8b+5a)(5a-8b) 10. y^2-0,09 4. a^2-25 11. y^3-1 5.125+a^3 6.(15-x)^2 13. 64-16b+b^2 7.(y-9)^2 14.(7x-2)(2+7x)
Решение:1.(a+12)² = а² + 24а + 144
2.a²+12a+36 = (а + 6)²
3.(8b+5a)(5a-8b) = (5a+8b)(5a-8b)= 25a² - 64b²
4. a² - 25 =(a - 5)(a+5)
5.125+a³ = a³ + 5³ = (a + 5)(a² - 5a + 25)
6.(15-x)² = 225 - 30x + x²
7.(y-9)² = y² - 18y + 81
8. 1+y²-2y = (y - 1)²
9.(10x-7y)(10x+7y)= 100x² - 49y²
10. y²-0,09 = (y - 0,3)(y+0,3)
11. y³-1 = (y - 1)(y² + y + 1)
13. 64-16b+b² = (b - 8)²
14.(7x-2)(2+7x) = (7x-2)(7x+2) = 49x² - 4
1) $$ (a+12)^{2}=(a+12)(a+12)=a^{2}+24a+144 $$
2) $$ a^{2}+12a+36=(a+6)(a+6)=(a+6)^{2} $$
3) $$ (8b+5a)(5a-8b)=(5a+8b)(5a-8b)=\\=25a^{2}-40ab+40ab-64b^{2}=25a^{2}-64b^{2} $$
4) $$ a^{2}-25=(a+5)(a-5) $$
5) $$ 125+a^{3}=5^{3}+a^{3}=(5+a)(25-5a+a^{2}) $$
6) $$ (15-x)^{2}=(15-x)(15-x)=\\=225-15x-15x+x^{2}=225-30x+x^{2} $$
7) $$ (y-9)^{2}=(y-9)(y-9)=\\=y^{2}-9y-9y+81=y^{2}-18y+81 $$
8) $$ 1+y^{2}-2y=y^{2}-2y+1=\\=(y-1)(y-1)=(y-1)^{2} $$
9) $$ (10x -7y)(10x+7y)=100x^{2}+70xy-70xy-49y^{2}=100x^{2}-49y^{2} $$
10) $$ y^{2}-0,09=(y+0,3)(y-0,3) $$
11) $$ y^{3}-1=(y-1)(y^{2}+y+1) $$
13) $$ 64-16b+b^{2}=(8-b)(8-b)=(8-b)^{2} $$
14) $$ (7x-2)(2+7x)=(7x-2)(7x+2)=49x^{2}+14x-14x-4=49x^{2}-4 $$
1) При каких значениях переменных верно равенство 6x^y( 2xy- 1 ) + 3x( 2xy - 5 ) = 2x(6x^y^ - 5 ) - 25 ? 2) Используя формулу сокращённого умножения,вычислите: a) 99^ ; б) 202^ 3) Решите уравнение (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 5)^ = 19
Решение:1) (число после буквы это степень)
12х3у2-6х2у+6х2у-15х=12х3у2-10х-25
-15х+10х=-25
-5х=-25
х=5
Ответ: равентсво верно при любом значении у и х=5
2)
^2 - это степень 2
99^2=(100-1)^2= 10000-200+1=9801
202^2 = (200+2)^2= 40000+800+4=40804
3)
^2 - это степень 2
(2x-1)(2x+1) - 4(x+5)^2=19
4x^2-1-4x^2-40x-100=19
-40x=101+19
-40x=120
x=-3
1).
6x²y( 2xy - 1 ) + 3x( 2xy - 5 ) = 2x(6x²y²- 5 ) - 25
12х³у² - 6х²у + 6х²у - 15х = 12х³у² - 10х - 25
после сокращений получаем:
-15х = -10х-25
5х=25
х=5
а т.к. выражение не зависит от переменной у, то его значение может быть любым.
Ответ: тождество верно, если х=5, у-любое число.
2).
99² = (100-1)² = 100² - 2*100 + 1² = 10 000 -200 +1 =9801
202² = (200 + 2)² = 200² + 2*200*2 + 2² = 40 000+800+4 = 40804
3).
(2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 5)² = 19
4х²-1 -4(х²+10х+25) =19
4х²-1-4х²-40х-100=19
-40х=19+100+1
-40х=120
х=-3
Отвте: х=-3
Проверка:
(2*(-3) -1)(2*(-3)+1) - 4(-3+5)² = (-7)(-5) -4(4)=35-16=19 - верно
Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы и квадрат разности. Выполните действие: 1. а)(11-х)во второй степени б)(2х+0,5)во второй степенив)(-2а+2b)во второй степени г)(а во второй степени+bв третей степени)в квадрате 2. Упростите выражение: а) х во второй степени + 49-14х б)25у во второй степени+20ху+4х в кубе 3.Раскройте скобки: а)(3а-b)в квадрате-(3а+b)в квадрате формулы: (a+b)в квадрате = а в квадрате + 2ab+b в квадрате (a-b)в квадрате = а в квадрате - 2ab+b в квадрате
Решение: Квадрат суммы и квадрат разности.(a+b)² =a²+2ab+b² (a-b)² =a²-2ab+b²а)(11-х)²=121-22х+х²
б)(2х+0,5)²=4х²+2х+0,25
в)(-2а+2b)²=4а²-16аb+4b²
г)(а²+bв³)²=a⁴=2а²bв³+b²в⁶
2. Упростите выражение:
а) х²+ 49-14х=(x-7)² либо (7-х)²
б)25у²+20ху+4х⁴=(5у+2х²)²
3.Раскройте скобки:
а)(3а-b)²-(3а+b)²=9а²-6аb+b²-9а²-6аb-b²=12аb
