неравенства »

решите неравенство методом интервалов - страница 4

  • Опишите применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенств


    Решение: Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.
    Метод интервалов позволяет решить его за пару минут. В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль. Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции. Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида. Рисуем ось  и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль. Эти точки разбивают ось  на  N промежутков. Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

  • Решить неравенство \( \frac{x^2}{3}\geq \frac{3x+3}{4}\)


    Решение: x²/3 >= (3x+3)/4

    Неравенство второй степени. Такие наравенства удобно решать переносом всех слагаемых в левую часть неравенства и использования метода интервалов.

    x²/3 - (3x + 3)/4 >= 0

    Для удобства умножим левую и правую часть неравенства на 12. Число 12 положительное, значит, знак неравенства сохраняется.

    4x² - 3*(3x + 3) >= 0 (1)

    4x² - 9x - 9 >= 0

    Найдем нули квадратичного трехчлена 4x² - 9x - 9 и разложим его на множители

    по известной формуле ax²+bx+c) = a*(x-x₁)*(x-x₂).

    4x² - 9x - 9 = 0

    D = (-9)² - 4*4*(-9) = 225

    x₁ = (9 + 15)/(2*4) = 3

    x₂ = (9 - 15)/(2*4)  = -3/4

    Т. е. 4x² - 9x - 9 = 4*(x-3)*(x+3/4)

    Или можно записать (x-3)*(x+3/4) >= 0 (2)

    Рисуем числовую прямую, обозначаем на ней нули x₁ и x₂ и исследуем знак квадратичного трехчлена на полученных промежутках (-∞;-3/4); (-3/4;3); (3;+∞)

    Берем любое число из каждого промежутка и подставляем в (1) или (2) и смотрим какой знак получается.

    ____+__._____-_______.___+____>

      -3/4 3 x

    Нам нужны промежутки, где квадратичный трехчлен >= 0, т. е. (-∞;-3/4] и [3;+∞)

    Ответ: (-∞;-3/4]∨[3;+∞)

<< < 234