неравенства » решите неравенство
  • Решить неравенство: Log₁/₂(x²-5-6)≥-3


    Решение: Log₁/₂(x²-5-6)≥-3 
    -3=log₁/₂(1/2)⁻³=log₁/₂8
    log₁/₂(x²-5x-6)≥ log₁/₂8
    a=1/2, 0<1/2<1 знак неравенства меняем
    {x²-5x-6 ≤8 (1)
      x²-5x-6>0 (2)

    (1) x²-5x-6≤8, x²-5x-14≤0 (метод интервалов).
     x²-5x-14=0. x₁=-2, x₂=7
      + - +
    ---------[-2]----------[7]------------->x
    x∈[-2;7]

    (2) x²-5x-6>0 (метод интервалов)
    x²-5x-6=0. x₁=-1, x₂=6
      + - +
    --------(-1)-----------(6)--------------->x
    x∈(-∞;-10U(6;∞)
      / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
    ---------[-2]-----(-1)-----------(6)--------[7]------------->x
     \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
    x∈[-2;-1)U(6;7]

  • 1.Решите неравенство f’(x)>0

    a)f(x)=-8x^2-2x+1

    b)f(x)=1+x-6x^2

    c)f(x)=(x^3/3)-(x^2)+2

    d)f(x)=((-x^3)/3)- 1/2x^2+6/7


    Решение: a)f(x)=-8x^2-2x+1

    f’(x)=-8*2x-2*1=-16x-2

    -16x-2>0

    -16x>2

    x<-2/16

    x<-1/8

    b)f(x)=1+x-6x^2

    f’(x)=1-6*2x=1-12x

    1-12x>0

    -12x>-1

    12x<1

    x<1/12

    c)f(x)=(x^3/3)-(x^2)+2

    f’(x)=1/3 * 3x^2 -2*x=x^2 - 2x

    x^2 - 2x>0

    x^2 - 2x =0

    x(x-2)=0

    x=0 x=2

    Чертим координатную прямую и отмечаем точки, расставляем знаки.

    ___+______-______+_____

      0 2

    Решением неравенства является промежуток $$ (-\infty;0)\cup(2;+\infty) $$

    d)f(x)=((-x^3)/3)- 1/2x^2+6/7

    f’(x)=-1/3 * 3x^2 - 1/2 * (-2)* 1/x^3 =-x^2 +1/x^3

    -x^2 + 1/x^3 >0

    Домножим на x^3:

    -x^5 +1>0

    -x^5>-1

    x^5 < 1

    x<1

    Решением будет являться промежуток $$ (-\infty;1) $$

  • №3. (для каждой буквы составить двойное неравенство «дробь<дробь<дробь» , привести к общему знаменателю и проверить верно или невернонеравенство).
    1) Выберите дробь, большую 4/7 , но меньшую 8/9 .
    а) 4/9; б) 57/63; в) 34/63; г) 7/9;
    2) Выберите дробь, большую 1/3 , но меньшую 5/7 .
    а) 12/14 ; б) 6/7; в) 1/2; г) 3/2 .
    №4 Запишите все дроби, чтобы было верно неравенство х/у меньше 13/19 и сложите их числители.


    Решение: 1) Выберите дробь, большую 4/7 , но меньшую 8/9 .

    4/7<7/9<8/9
    28/63<49/63<56/63

    2) Выберите дробь, большую 1/3 , но меньшую 5/7  
    1/3<1/2<5/7
    14/42<24/42<30/42
    3)12/19<13/19
    11/19/13/19
    10/19<13/19
    9/19/<13/19
    8/19<13/19
    7/19<13/19
    6/19/<13/19
    5<19<13/19
    4/19<13/19
    3/19<13/19
    2/19<13/19
    1/19<13/19

    1+2+3=4+....12=(1+12)*6=13*6=78
    1+12=13
    2+11=13 и т д
    таких пар 6

  • Найди ошибку:
    Разделив неравенство второй степени на коэффициент при х2, мы приведем его к одному из видов
    х2 + рх + q < 0, (1)


    х2 +рх + q > 0. (2)


    Перенесем свободный член в правую часть и прибавим к обеим частям (p/2)^2. Получим соответственно
    (x+p/2)^2 < (p/2)^2 – q (1)


    (x+p/2)^2 >(p/2)^2 – q (2)


    Если обозначить х + p/2 через z, a (p/2)^2- q через т, то мы


    получим простейшие неравенства

    z2

    z2>m. (2")


    Решение:

    Посмотрите на левую часть: х2+рх + q. Выделите полный квадрат двучлена ((а+в)^2)   (х2+2*х*р/2+(р/2)^2) - (p/2)^2) + q = (x+p/2)^2 - (p/2)^2 + q
    т.е если к обеим частям неравенства  х2+рх+(р/2)^2 < (p/2)^2 - q , то левая часть свернется по формуле сокращенного умножения. Т.о. можно либо выделить полный квадрат двучлена, либо добавить слагаемое, позволяющее свернуть (применить) квадрат двучлена

  • фигурная скобка и там два неравенства -3-5х>-6; 4х+4>=2

    тоже фигурная скобка и там два неравенства: 8-2х>=-3; 4х-5>=-3
    тоже фигурная скобка и там два неравенства 5-3х>=-1; 3-4х>8
    и просто неравенство 2х /(4х+3) >= 1/2


    Решение: $$ \begin{cases} -3-5x>-6\\4x+4\geq2 \end{cases}\\\begin{cases} -5x>-3 \\ 4x\geq-2 \end{cases} \\\begin{cases} x<3/5\\x\geq-0,5 \end{cases}\\x\in[-0,5;3/5)\\\\\\\begin{cases} 8-2x\geq-3\\4x-5\geq-3 \end{cases}\\\begin{cases} -2x\geq-11\\4x\geq2 \end{cases}\\\begin{cases} x\leq5,5\\x\geq0,5 \end{cases}\\x\in [0,5;5,5]\\\\\\\begin{cases} 5-3x\geq-1\\3-4x>8 \end{cases}\\\begin{cases} -3x\geq-6\\-4x>5 \end{cases}\\\begin{cases} x\leq2\\x<-1,25 \end{cases}\\x\in(-\infty;-1,25) $$

    $$ \frac{2x}{4x+3}\geq\frac{1}{2}\\\\\frac{2x}{4x+3}-\frac{1}{2}\geq0\\\\\frac{2x*2-(4x+3)}{2(4x+3)}\geq0\\\\\frac{4x-4x-3}{8(x+3/4)}\geq0\\\\\\\frac{-3}{8(x+3/4)}\geq0\\x\in (-\infty;-3/4] $$

  • Иррациональное неравенство sqrt(3x - 2) =< -2

    =< (меньше или равно)


    Решение: Квадратный корень из любого числа больше либо равен нулю. Так как -2<0, то указанное неравенство не имеет решений.
    Ответ: нет решений

    $$ \sqrt{3x-2} \leq -2 $$

    По определению квадратного корня мы знаем ,что он имеет смысл если подкоренное больше или равно нулю и принимает только неотрицательные значения , поэтому данное уравнение не имеет корней
    Ответ : нет корней

  • Решите неравенство х^2 +6x +5 >0 методом параболы


    Решение: Берете значение например 0 это будет х на графике и подставляете его в свое уравнение и получится 5 , отмечаете эту точку(0;5) и так далее пока не получится парабола . Если не так, то можно с помощью дискриминанта Д=36-20=16
    Х1=-6-4/2=-10/2=-5
    Х2=-6+4/2=-2/2=-1
    Отметить эти точки а потом сделать симметрию...

  • Решение неравенство х^2+5х-14 больше или равно методом параболы


    Решение: Ветки параболы направлены вверх. Поэтому нам нужны значения, которые выше оси $$ (x) $$.

    1. Найдём нули функции:
    $$ x^2+5x-14=0 \\ D=25+14*4=25+56=81 \\ x_1=(-5+9):2=4:2=2\\x_2=-14:2=-7. $$

    Теперь делаем такую таблицу () и по ней чертим график — надеюсь, понятно, как это сделать. И теперь заштриховываем на графике ту область, которая выше оси $$ x $$, то есть промежуток: $$ (-\infty; -8) \cup (2; + \infty). $$.Ветки параболы направлены вверх. Поэтому нам нужны значения которые выше оси x . . Найд м нули функции x x- D x - x - - . Теперь делаем такую таблицу и по ней чертим график...
  • Решить неравенство методом парабол: $$ \frac{x^2 - 3x}{6} - \frac{x + 1}{9} > \frac{x - 14}{18} $$


    Решение: Всё просто - правую часть неравенства переносите в левую часть (меняя знак на противоположный), далее приводите к обычному квадратному уравнению (ax2+bx+c=0), это и будет функция у от х. y(x)=(ax2+bx+c=0)
    Всем известно, что графиком квадратичной функции является парабола.
    Находите х - это будут точки пересечения с осью Х.
    Теперь надо выяснить направление ветвей.
    Если а>0
     то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то вниз.
    Решением будут абсциссы (координаты х) точек графика, ординаты (координаты у) которых больше нуля, т.е. лежат в верхней полуплоскости.
  • Показательное неравенство. $$ 2^{x + 3} + 4^x - 9 < 0 $$


    Решение: Приравниваем неравенство к нулю
    $$ x^{x+3}+4^x-9=0 $$

    Путем подбора находим решение
    $$ x=0 $$

    Других решений нет, так как функция, соответствующая данному уравнению, является монотонной.
    На промежутке отмечаем
    _____
    (-)_____(0)______+______>

    Ответ: 
    $$ x \in (-\infty;0). $$

1 2 3 > >>