неравенства »

решите неравенство - страница 16

  • Решите неравенство \(\log_{x+1}2 \leq \log_{3-x}2\)


    Решение: Log(x+1)2≤log(3-x)2 x+1>0 x>-1 3-x>0  x<3  x∈(-1;3)
    1/log₂(x+1)≤1/log₂(3-x)
    log₂(x+1)≥log₂(3-x)
    log₂(x+1)-log₂(3-x)≥0
    log₂((x+1)/(3-x))≥0
    (x+1)/(3-x)≥2⁰
    (x+1)/(3-x)-1≥0
    (x+1-3+x)/(3-x)≥0(2x-2)/(3-x)≥0
    -∞___-___1___+____3____-____+∞
    x∈[1;3).

    Надо воспользоваться тем, что под знаком логарифма справа и слева стоит одно и то же число (2). Если основания логарифмов больше единицы, то из сравнения логарифмов можно записать неравенство: 
    х+1≤3-х. При этом в систему нужно добавить неравенства х+1>1 и 3-х>1
    Упрощаем, получаем систему из трех неравенств х≤1, х>0, х<2.
    Этим условиям удовлетворяет отрезок 0< х≤1.
    Возможен случай, когда основания меньше 1. Тогда из сравнения логарифмов неравенство записывается с противоположным знаком х+1≥3-х. Неравенства, которые описывают, что основания меньше 1: х+1<1, 3-x<1.
    После упрощения получается система х≥1, х<0, x>2. Решение пустое.
    Окончательное решение 0

  • Логарифмическое неравенство \(\log_{\frac{25-x^2}{16}}(\frac{24-2x-x^2}{14}) > 1\)


    Решение: Log[(25-x²)/16][(24-2x-x²)/14]>1
    ОДЗ
    25-x²>0⇒-5(25-x²)/16≠1⇒(25-x²-16)/16≠0⇒9-x²≠0⇒x≠+-3
    x∈(-5;-3) U (-3;3) U (3;5)
    1)x∈(-5;-3) U (3;5) основание меньше 1
    (24-2x-x²)/14<(25-x²)/16
    8(24-2x-x²)-7(25-x²)<0
    192-16x-8x²-175+7x²<0
    x²+16x-17<0
    x1+x2=-16 u x1*x2=-17⇒x1=-17 u x2=1
    -17x∈(-5;-3)
    2)x∈(-3;3) основание больше 1
    x<-17 U x>1
    x∈(1;3)
    Ответ x∈(-5;-3) U (1;3)

  • Как лучше решать неравенство \(\log_2^4x-\log^2_{1/2}\frac{x^3}{8}+9\log_2\frac{32}{x^2}\ < \ 4\log^2_{1/2}x\)


    Решение: $$ \log_2^4x-\log^2_{1/2}\frac{x^3}{8}+9\log_2\frac{32}{x^2}\ < \ 4\log^2_{1/2}x\\ \log^4_2x-(\log_2x^3-\log_28)^2+9\log_232-18\log_2x\ < \ 4\log^2_2x\\ \log^4_2x-9\log^2_2x-9+18\log_2x+45-18\log_2x-4\log_2^2x\ < \ 0 \\ \log_2^4-13\log_2^2x+36\ < \ 0 \\ \log_2x=t\\ t^4-13t^2+36\ < \ 0 \\ t_1=-2, t_2=2, t_3=-3, t_4=3 \\ t \in (-3,2) \cup (2, 3) \\ 1) -3 \ < \ \log_2x \ < \ -2\\ 2) 2\ < \ \log_2x\ < \ 3 \\ \\ x \in (\frac{1}{8}, \frac{1}{4}) \cup (2, 8) $$

  • Решить неравенство логарифмическое \(\log_{\frac{1}{3}}^2(x-1)+3 \geq -\frac{4}{5}\log_{\frac{1}{3}}(x-1)^5\)


    Решение: Преобразуем -4/5логарифм по основанию 1/3 из (х-1)∧5=-4логарифм по основанию 1/3 из (х-1) и перенесём полученное выражение в левую часть.
    Сделаем замену логарифм по основанию 1/3 из (х-1)=у
    Получим квадратное неравенство
    у∧2+4у+3≥0 Решим уравнение у∧2+4у+3=0
    Д=16-12=4
    у1=(-4+2)/2=-1  у2=(-4-2)/2=-3
    у∧2+4у+3=(у+1)(у+3)
    ____+____-3____-_______-1_______+____
    Неравенство верно на интервале (-∞;-3] и [ -1;+∞)
    Сделаем обратную подстановку и учтём, что область определения функции логарифм от (х-1) (1;+∞) тогда логарифм по основанию 1/3 из (х-1) ≥1, х-1≤1/3, х≤1 1/3  Ответ  (1 : 1 1/3)
    Примечание знак поменяли потому, что 1/3 меньше 1

  • №1
    Записать какие-либо 2 числа (в порядке возрастания), находящихся на координатной прямой между числами:
    1) -1 и 0;
    2) -2 и -1;
    3) -5,6 и -5;
    №2
    Записать все целые числа, которые:
    1) больше -1, но не больше 3;
    2) меньше 5, но не меньше -2;
    3) не меньше -4, но не больше 4;
    4) не меньше -6, но не больше 0;
    №3
    Записать вместо x какие-либо два рациональных числа, для которых верно неравенство:
    1) 3,14 < x
    2) - 2\9 > x
    3) -1 1\2 < x
    4) x < 0,1
    5) x > -5,09
    6) x < - 5\2
    , ,


    Решение: №1 Записать какие-либо 2 числа (в порядке возрастания), находящихся на координатной прямой между числами:
    1) -1 и 0;  -0,9;-0, 56
    2) -2 и -1; -1,99; -1,5
    3) -5,6 и -5; -5,5; -5,1
    №2
    Записать все целые числа, которые:
    1) больше -1, но не больше 3;  0;1;2;3
    2) меньше 5, но не меньше -2;  -2;-1;0;1;2;3;4;
    3) не меньше -4, но не больше 4; -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4
    4) не меньше -6, но не больше 0;  -6;-5;-4;-3;-2;-1;0
    №3
    Записать вместо x какие-либо два рациональных числа, для которых верно неравенство:
    1) 3,14 < x  х=4; 5,7;
    2) - 2\9 > x, х=-7/9; -1
    3) -1 1\2 < x, х=-1; 1/20
    4) x < 0,1, х=0; -3
    5) x > -5,09, х= -4; -1 4/7
    6) x < - 5\2, х=-3; -20

<< < 141516 17 18 > >>