решить логарифмическое неравенство

Неравенство с логарифмом: \( 3^{^{log}2^{x^{2}}}+2 \cdot |x|^{^{log}2^{9}} \leq 3 \cdot (\frac{1}{3})^{^{log}0,5^{(2x+3)}} \)

Решить логарифмическое неравенство: \( \log_{0,5}(3x-4) > \log_{0,5}(5x+4)\)

Решить логарифмическое неравенство \(\log_3(2x^2-9x+4) \leq 2\log_3(x+2)\)

Неравенство с логарифмами, у которых одинаковое основание.
Т. к. основание равно 3>1, то подлогарифмические выражения сравниваются с тем же знаком.
$$ 2log_{3}(x+2)=log_{3}(x+2)^{2} \\ 2x^{2}-9x+4 \leq (x+2)^{2} \\ 2x^{2}-9x+4 \leq x^{2}+4x+4 \\ x^{2}-13x \leq 0 \\ x*(x-13) \leq 0 \\ 0 \leq x \leq 13 $$
ОДЗ логарифмов:
1) $$ 2x^{2}-9x+4>0 \\ 2x^{2}-9x+4=0, D=81-4*2*4=49 \\ x_{1}= \frac{9-7}{4}=0.5 \\ x_{2}= \frac{9+7}{4}=4 \\ x<0.5 \\ x>4 $$
2) $$ x+2>0 \\ x>-2 $$
Объединим решения ОДЗ: 
$$ -24 $$
Наложим условие ОДЗ на наше решение:
$$ 0 \leq x<0.5 \\ 4Ответ: x∈[0; 0.5) U (4; 13]

Решите логарифмическое неравенство \(2\log_5^2x^2+5\log_525x -8 \geq 0\)

$$ 2\log_5^2x^2+5\log_525x-8\geq0 $$
1. Рассмотрим функцию
 $$ y=2\log_5^2x^2+5\log_525x-8 \\ x>0 \\ D(y)=(0;+\infty) $$
2. Нули функции
$$ 2\log_5^2x^2+5\log_525x-8=0 $$
Воспользуемся свойством логарифмов $$ \log_5x^2=2\log_5|x| \\ 2(2\log_5^2x)^2+5\log_525x-8=0 \\ 8\log_5^2x+5\log_525x-8=0 $$
Логарифм произведения равен сумме логарифмов
$$ 8\log_5^2x+10+5\log_5x-8=0 $$
Сделаем замену переменных
Пусть  $$ \log_5x=a $$, тогда
$$ 8a^2+5a+10-8=0 \\ 8a^2+5a+2=0 \\ D=b^2-4ac=-39 $$
Дискриминант отрицателен, значит уравнение корней не имеет.
(0)_______+______>
Ответ: $$ x \in (0;+\infty) \\ \log_2^2x^2-15\log_22x+11 \leq 0 $$
Рассмотрим функцию
$$ y=\log_2^2x^2-15\log_22x+11 $$
Область определения функции $$ (0;+\infty) $$
Нули функции
$$ \log_2^2x^2-15\log_22x+11=0 \\ (2\log_2x)^2-15\log_22x+11=0 \\ 4\log_2^2x-15(1+\log_2x)+11=0 $$
Пусть $$ \log_2x=a $$, тогда получаем что
$$ 4a^2-15(1+a)+11=0 \\ 4a^2-15a-4=0 $$
Как обычно через дискриминант
 $$ D=b^2-4ac=289; \sqrt{D} =17 \\ a_1=- \frac{1}{4} \\ a_2=4 $$
Возвращаемся к замене
$$ \left[\begin{array}{ccc}\log_2x=- \frac{1}{4}\\\log_2x=4 \end{array}\right. \to \left[\begin{array}{ccc}x_1= \frac{ \sqrt[4]{8} }{2}\\ x_2=16 \end{array}\right. $$
Полученное решение отметим на промежутке
(0)____-____$$ [\frac{ \sqrt[4]{8} }{2}] $$___+___[16]___+____>
Ответ: $$ [\frac{ \sqrt[4]{8} }{2};16] $$

Решите логарифмическое неравенство \(\log_2\frac{4-x}{x-2}\leq \log_2\frac{1}{x-2}\)

Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,2}^2x \geq 6-\log_{0,2}x\)

$$ \log_{0,2}^2 x \geq 6-\log_{0,2} x, \\ \log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x -6 \geq 0, \\ \log_{0,2} x=a, \\ a^2+a-6 \geq 0, \\ a^2+a-6 = 0, \\ a_1=-3, a_2=2, \\ (a+3)(a-2) \geq 0, \\ \left [ {{a \leq -3} \atop {a \geq 2}} \right. \left [ {{\log_{0,2} x \leq -3,} \atop {\log_{0,2} x \geq 2}} \right. \left [ {{x \geq 0,2^{-3}} \atop {x \leq 0,2^{2}}} \right. \left [ {{x \geq 125} \atop {x \leq 0,04}} \right. \\ x\in(-\infty;0,04]\cup[125;+\infty). $$

Решить логарифмическое неравенство :
Lgx > 1-Lg4

Решите логарифмическое неравенство log1\7(5x+3)≥-1\2

Решить логарифмическое неравенство \(\log_x(\log_3 x +\log_{27}x +2) \geq \frac{1}{\log_3 x}\)

решите логарифмическое неравенство log2(8-x)<1

8-х<2                x<8

x>8-2

x>6

Ответ: (6;8)

*В прикреплении решение вчерашней контрольной

log2(8-x)<1

log2(8-x)<log2(2)

8-x<2

x>6

C другой стороны

 8-x>0

x<8

Объединяя два условия, получим

   6<x<8