решить логарифмическое неравенство - страница 3

Решите логарифмическое неравенство log9(x-1)-log9(5-x)>log9(2x-3)

Решение: ОДЗ
x-1>0⇒x>1
5-x>0⇒x<5
2x-3>0⇒x>1,5
x∈(1,5;5)
log(9)[(x-1)/(5-x)>log(9)(2x-3)
(x-1)/(5-x)>2x-3
(x-1)/(5-x) -(2x-3)>0
(x-1-10x+15+2x²-3x)/(5-x)>0
(2x²-12x+16)/(x-5)<0
2x²-12x+16=0
x²-6x+8=0
x1+x2=6 U x1*x2=8⇒x1=2 U x2=4
x-5=0⇒x=5
_ + _ +
-(2)-(4)-(5)-
x<2 U 4<x<5 U x∈(1,5;5)
x∈(1,5;2) U (4;5)
Решить логарифмическое неравенство $\frac{1+\log_3^2(8−x)}{\log_4(x+1)−log_2(2x−8)}\leq 0$

Решение: Числитель этой дроби при любых значениях аргумента > 0
сумма двух положительных чисел даже нулю никогда не равна.
поэтому неравенство равносильно условию
отрицательности знаменателя)))
Решите логарифмическое неравенство $\log_3(x^2-x-2)\leq 1 +\log_3(\frac{x+1}{x-2}) $

Решение: ОДЗ:
(x+1)/(x-2)>0
$$ \left \{ {{(x+1)/(x-2)\ > \ 0} \atop {x^2-x-2\ > \ 0}} \right. $$
x^2-x-2=0
D=1+4*2=9=3²
x1=(1+3)/2=2
x2=(1-3)/2=-1
+ - +
-¤-¤->
-1 2
x∈(-∞;-1) u (2;+∞)
РЕШЕНИЕ:
log3 (x²-x-2)-log3 (x+1)/(x-2)≤1
x²-x-2 можно расписать как (x+1)*(x-2)
разность логарифмов с одинаковым основанием равно логарифму частного
log3 (x+1)*(x-2)*(x-2)/(x+1)≤1
log3 (x-2)²≤1
log3 (x-2)²≤log3 (3)
(x-2)²≤3
x²-4x+4≤3
переносим все в левую часть
x²-4x+1≤0
решаем методом интервалов
x²-4x+1=0
D1=4-1=√3
x1=2+√3
x2=2-√3
///////// + - //-//////////+/////////
-¤-•-¤-•-⇒
-1 2-√3 2 2+√3
c учетом ОДЗ x∈(2;2+√3]
Ответ:(2;2+√3]
Решите логарифмическое неравенство $ \log_2(x^2-4) -3\log_2\frac{x+2}{x-2} > 2 $

Решение: ОДЗ (x-2)(x+2)>0⇒x<-2 U x>2
log(2)[(x-2)(x+2)*(x-2)³/(x+2)³]>2
log(2)[(x-2)^4/(x+2)²]>2
(x-2)^4/(x+2)²>4
(x-2)^4/(x+2)² -4>0
[(x-2)^4-4(x+2)²]/(x+2)²>0
[(x-2)²-2(x+2)]*[(x-2)²+2(x+2)]/(x+2)²>0
(x²-4x+4-2x-4)(x²-4x+4+2x+4)/(x+2)²>0
(x²-6x)(x²-2x+8)/(x+2)²>0
x(x-6)/(x+2)²>0, т. к.(x²-2x+8)>0 при любом х (D<0)
x=0 x=6 x=-2
+ + _ +
-
-2 0 6
x<-2 U x>-2 U x>6
x∈(-∞;-2) U (6;∞)
Решить логарифмическое неравенство:
$ \log_{x^2+4x+4} (x(x+1)(x+3)(x+4))>1. $

Решение: ОДЗ
1)x²+4x+4>0⇒(x+2)²>0⇒x<-2 U x>-2
2)x²+4x+4≠1⇒x²+4x+3≠0
x1+x2=-4 U x1*x2=3
x≠-3 U x≠-1
3)x(x+1)(x+3)(x+4)>0
x=0 x=-1 x=-3 x=-4
+ _ + _ +
-
-4 -3 -1 0
x<-4 U -30
x∈(-∞;-4) U (-3;-2) U (-2;-1) U (0;∞)
a)x²+4x+4>1 при x∈(-∞;-4) U (0;∞)
log(x²+4x+4)(x(x+1)(x+3)(x+4))>1
x(x+1)(x+3)(x+4)>x²+4x+4
(x²+4x)(x²+4x+3)-(x²+4x+4)>0
x²+4x+3=a
(a-3)a-(a+1)>0
a²-3a-a-1>0
a²-4a-1>0
D=16+4=20 √D=2√5
a1=(4-2√5)/2=2-√5
a2=2+√5
a<2-√5 U a>2+√5
x²+4x+3<2-√5 U x²+4x+3>2+√5
1)x²+4x+(1+√5)<0
D=16-4-4√5=12-4√5
x1=(-4-2√(3-√5))/2=-2-√(3-√5) U x2=-2+√(3-√5)
(-2-√(3-√5)) x∈(-∞;-4)/2) U (0;∞)
2)x²+4x+(1-√5)>0
D=16-4+4√5=12+4√5
x1=(-4-2√(3+√5))/2=-2-√(3+√5) U x2=-2+√(3+√5)
x<-2-√(3+√5) U x>-2+√(3+√5)
x∈(-∞;-2-√(3+√5)) U ((-2+√(3+√5);∞)
Общий x∈(-∞;-2-√(3+√5)) U ((-2+√(3+√5);∞)
б)x²+4x+4<1 при x∈(-3;-2) U (-2;-1)
log(x²+4x+4)(x(x+1)(x+3)(x+4))<1
a²-4a-1<0
2-√5x²+4x+3>2-√5 U x²+4x+3<2+√5
x<-2-√(3-√5) U x>-2+√(3-√5)
x∈(-3;-2-√(3-√5))U (-2+√(3-√5);-1)
Ответ x∈(-∞;-4)/2) U -3;-2-√(3-√5))U (-2+√(3-√5);-1) U (0;∞)
Решите логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x-3) -\log_{0,5}(x+3) -\log_{\frac{x+3}{x-3}}2 > 0 $

Решение: ОДЗ
x-3>0⇒x>3
x+3>0⇒x>-3
(x+3)/(x-3)>0⇒x<-3 U x>3
(x+3)/(x-3)≠1⇒(x+3-x+3)/(x-3)≠1⇒6/(x-3)≠1⇒x-3≠6⇒x≠9
x∈(3;9) U (9;∞)
-log(2)(x-3)+log(2)(x+3)-1/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
log(2)[(x+3)/(x-3)]- 1/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
(log²(2)[(x+3)/(x-3)] -1)/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
log(2)[(x+3)/(x-3)]=a
(a-1)(a+1)/a>0
_ + _ +
-
-1 0 1
-11
1)-1(x+3)/(x-3)>1/2
(x+3)/(x-3)-1/2>0
(2x+6-x+3)/2(x-3)>0
(x+9)/2(x-3)>0
x<-9 U x>3
(x+3)/(x-3)<1
(x+3-x+3)/(x-3)<0
6/(x-3)<0
x<3
x<-9
нет решения
2)log(2)[(x+3)/(x-3)]>1
(x+3)/(x-3)>2
(x+3-2x+6)/(x-3)>0
(x+3-2x+6)/(x-3)>0
(x-9)/(x-3)<0
3Ответ x∈(3;9)
Решить логарифмическое неравенство $ \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 $

Решение: $$ \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 $$
Отметим ОДЗ:

$$ \left \{ {{x>0} \atop {x-3>0}} \right. \to \left \{ {{x>0} \atop {x>3}} \right. \to x>3 $$
x ∈ (3;+∞)
$$ \log_2(x(x-2)) \leq \log_22^3 \\ x(x-2) \leq 2^3 \\ x^2-2x-8 \leq 0 $$
По т. Виете
$$ \left \{ {{x_1+x_2=2} \atop {x_1\cdot x_2=-8}} \right. \to \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=4}} \right. $$
Полученное решение отметим на рисунке
(3)___-____[4]___+____>

Ответ: x ∈ (3;4]
Решить логарифмическое неравенство loq15(x-3)+loq15(x-5) < 1

Решение: Loq15(x-3)+loq15(x-5)<1
ОДЗ: x-3>0        x>3
         x-5>0        x>5        x∈(5;+∞)
loq15(x-3)+loq15(x-5)log15(x-3)(x-5)(x-3)(x-5)<15
x²-8x+15<15
x²-8x<0
x(x-8)<0
            +                          -                    +
_____________0___________8________
x∈(0;8)
Учитываем, что ОДЗ x∈(5;+∞)
Ответ: x∈(5;8)
Решите логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x^2+x) > -1 $

Решение: Применены свойства логарифмов
$$ log_{ \frac{1}{2} }(x^2+x)\ > \ -1\\\\ x^2+x\ < \ (\frac{1}{2} )^{-1}\\\\ x^2+x\ < \ 2\\\\ x^2+x-2\ < \ 0\\ x^2+x-2=0\\ D=1+8=9=3^2\\\\ x_{1,2}= \frac{-1{\pm}3}{2} = \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=1}} \right. $$
+ - +
-o-o->x
-2 1
под логарифмом не может быть значение меньше 0, поэтому
x²+x>0
x(x+1)>0
+ - +
-o-o->x
-1 0
Объединив эти 2 значения, определяем пересечения
x∈(-2;-1)∪(0;1)

$Применены свойства логарифмов log frac x x - x x frac - x x x x- x x- D x frac - pm left x - atop x right. - -o-o- x - под логарифмом не может быть значение меньше поэтому...$
Решить логарифмическое неравенство $ log_{4}x > 1 $

Решение: $$ \log_4x\ > \ 1\\\log_4x-\log_44\ > \ 0\\\log_4(x/4)\ > \ 0 $$
Поскольку основание больше нуля, то:
$$ x/4\ > \ 1\\x\ > \ 4. $$

$$ log_{4} x\ > \ 1, 1= log_{4} 4^{1} \\ log_{4} x\ > \ log_{4} 4 $$
основание логарифма а =4, 4>1 знак неравенства не меняем
$$ \left \{ {{x\ > \ 4} \atop {x\ > \ 0}} \right. =\ > \ x\ > \ 4 $$
ответ: x∈(4;∞)

<< < 1 23 4 5 > >>

решить логарифмическое неравенство - страница 3

Решите логарифмическое неравенство log9(x-1)-log9(5-x)>log9(2x-3)

Решить логарифмическое неравенство \(\frac{1+\log_3^2(8−x)}{\log_4(x+1)−log_2(2x−8)}\leq 0\)

Решите логарифмическое неравенство \(\log_3(x^2-x-2)\leq 1 +\log_3(\frac{x+1}{x-2}) \)

Решите логарифмическое неравенство \( \log_2(x^2-4) -3\log_2\frac{x+2}{x-2} > 2 \)

Решить логарифмическое неравенство:
\( \log_{x^2+4x+4} (x(x+1)(x+3)(x+4))>1. \)

Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x-3) -\log_{0,5}(x+3) -\log_{\frac{x+3}{x-3}}2 > 0 \)

Решить логарифмическое неравенство \( \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 \)

Решить логарифмическое неравенство loq15(x-3)+loq15(x-5) < 1

Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x^2+x) > -1 \)

Решить логарифмическое неравенство \( log_{4}x > 1 \)

решить логарифмическое неравенство - страница 3

Решите логарифмическое неравенство log9(x-1)-log9(5-x)>log9(2x-3)

Решить логарифмическое неравенство \(\frac{1+\log_3^2(8−x)}{\log_4(x+1)−log_2(2x−8)}\leq 0\)

Решите логарифмическое неравенство \(\log_3(x^2-x-2)\leq 1 +\log_3(\frac{x+1}{x-2}) \)

Решите логарифмическое неравенство \( \log_2(x^2-4) -3\log_2\frac{x+2}{x-2} > 2 \)

Решить логарифмическое неравенство: \( \log_{x^2+4x+4} (x(x+1)(x+3)(x+4))>1. \)

Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x-3) -\log_{0,5}(x+3) -\log_{\frac{x+3}{x-3}}2 > 0 \)

Решить логарифмическое неравенство \( \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 \)

Решить логарифмическое неравенство loq15(x-3)+loq15(x-5) < 1

Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x^2+x) > -1 \)

Решить логарифмическое неравенство \( log_{4}x > 1 \)

Решить логарифмическое неравенство:
\( \log_{x^2+4x+4} (x(x+1)(x+3)(x+4))>1. \)