решить логарифмическое неравенство - страница 4

Решить логарифмическое неравенство
((log2(x))^2-2log2(x))^2+36log2(x)+45<18(log2(x))^2

Решение: ОДЗ x>0
(log²(2)x-2log(2)x)²+36log(2)x+45-18log²(2)x<0
(log²(2)x-2log(2)x)²-18(log²(2)x-2log(2)x)+45<0
log²(2)x-2log(2)x=a
a²-18a+45<0
a1+a2=18 U a1*a2=45⇒a1=3 U a2=15
3<log²(2)x-2log(2)x<15
log(2)x=b
3<b²-2b<15
{b²-2b>3⇒b²-2b-3>0
{b²-2b<15⇒b²-2b-15<0
b1+b2=2 U b1*b2=-3⇒b1=-1 U b2=3
b<-1 U b>3
b3+b4=2 U b3*b4=-15⇒b3=-3 U b4=5
-3<b<5
-3<b<-1 U 3<b<5
-3<b<-1⇒-3<log(2)x<-1⇒1/8<x<1/2
3<b<5⇒3<log(2)x<5⇒8<x<32
Ответ x∈(1/8;1/2) U (8;32)
Как решить логарифмическое неравенство? $\frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1$

Решение: $\frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1\;,\; \; \; ODZ:\; log_6xe 2\; \to \; xe 36\;,x\ > \ 0\\\\ \frac{log_63,6-2+log_6x}{2-log_6x} \leq 0\\\\\frac{log_6x+log_63,6-2}{log_6x-2} \geq 0\\\\t=log_6x\;,\; \; \frac{t-(2-log_63,6)}{t-2} \geq 0\\\\2-log_63,6\approx 2-0,72=1,28\\\\Znaki\; \; t:\; \; +++(1,28)-(2)+++\; \; \left [{{t\ > \ 2} \atop {t \leq 2-log_63,6}} \right. \\\\a)\; log_6x\ > \ 2\; \; \to \; \; x\ > \ 36\\\\b)\; log_6x \leq 2-log_63,6 \leq \; \; \to \; \; x \leq 6^{2-log_63,6}\\\\x \leq \frac{36}{3,6} \\ x \leq 10\\\\x\in (0,10\, ]\cup (36,+\infty )$
Решить логарифмическое неравенство $x\log_{x+3}(7-2x) \geq 0$

Решение: x* log(x+3)(7-2x) >=0
Неравенство, состоящее из двух множителей >=0 тогда, когда оба множителя либо >=0, либо <=0.
Рассмотрим эти два случая. Сначала определим ОДЗ:
{x+3>0
{x+3 не равно 1
{7-2x>0
{x>-3
{x не равен -2
{x<3,5
И решением этой системы будут промежутки:(-3;-2)U(-2;3,5)
Рассмотрим две ситуации, когда оба множителя либо >=0, либо <=0.
1){x>=0
   {log(x+3)(7-2x)>=0
Решим 2-е неравенство системы. Решать будем методом рационализации:
log(x+3)(7-2x)>=log(x+3)1
(x+3-1)(7-2x-1)>=0
(x+2)(6-2x)>=0
Найдем точки, которые обнуляют скобки неравенства, и отметим их на числовой прямой:
______-______(-2)_______+_____[3]_____-____
   ////////////////////////////////
_____________________[0]_________________
   ////////////////////////////////////
Решением системы является промежуток [0;3]
Рассмотрим вторую ситуацию:
2){x<=0
   {log(x+3)(7-2x)<=0
log(x+3)(7-2x) <= log(x+3)1
(x+3-1)(7-2x-1)<=0
(x+2)(6-2x)<=0
______-________(-2)______+_____[3]____-______
//////////////////////////////// ////////////////////////
______________________[0]___________________
//////////////////////////////////////////////
Решением системы является промежуток (-беск.2)
А теперь объединим решения систем неравенств, рассмотренные в двух ситуациях, и учтем ОДЗ: x принадлежит (-3;-2) U [0;3].
решить логарифмическое неравенство
1) ㏒₀,₅ (2 - x) ≥ - 1
2) ㏒₉ (4 - 3x) ≥ 0,5
3) ㏒₂ (2x + 1) ≥ 4

Решение: 0,5^(-1)=2
1) log₀,₅(2-x)≥log₀,₅2, 0<0.5<1, то функция убывает то знак неравенства меняется на противоположный
2-x>0, x<2, х∈(-∞;2) - это ОДЗ
2-x≤2
2-2≤x
x≥0
учитывая ОДЗ и полученное решение получаем ответ: х∈[0;2)
2) 0.5=log₉9^0.5=log₉3
основание 9>1, то функция возрастает и получаем
4-3х≥3 и 4-3х>0 из двух неравенств получаем неравенство: 4-3х≥3
4-3≥3х
3х≤1
х≤1/3
Ответ: х∈(-∞;1/3]
3) 4=log₂2^4=log₂16
a=2>0, то функция возрастает и ОДЗ: 2х+1>0, 2x>-1, x>-0.5, (-0.5;+∞)
2x+1≥16
2x≥15
x≥7.5, x∈[7.5;+∞)
ответ:[7.5;+∞)
Решить логарифмическое неравенство.
$log_2x-log_2(x+2)+log_{ \frac{x+2}{x} } 2 > 0$
Ответ: x>2

Решение: Log2(x)-log2(x+2)=-log2 ((x+2)/x)
ОДЗ х больше 0
Пользуясь свойством логарифма, можно написать
-log2 ((x+2)/x)+1/log2 ((x+2)/x)>0
(log2 ((x+2)/x))^2<1
(x+2)/x<2 или (x+2)/x)>1/2
2x>x+2
x>2
или
x+2/x<1/2. Пусть х больше 0.
2x+4x<-4, что противоречит условию.
Ответ: х>2
Решить логарифмическое неравенство $\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\geq -4$

Решение: $\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4$
Область определения неравенства: $1) 5-x>0,\\x<5;\\\\2) 5-xe 1\\xe4;\\\\3) \frac{x+2}{(x-5)^4}>0,\\x+2>0,\\x>-2;$ $4) (x-5)^4e0, xe5. \\ \log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4$ 0 < 5-x < 1, 4 < x < 5 $\left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}\le(5-x)^{-4}} \atop {\frac{x+2}{(x-5)^4}>0}} \right.$ $\\ \left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}-\frac{1}{(-(x-5))^4} \le 0} \atop {x+2>0}} \right. \left \{ {{x+2-1\le0} \atop {x>-2}} \right. -2 < x \le-1$ не удовлетворяет, нет корней. $2)\ 5-x>1,\ x<4 (**),\\\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge (5-x)^{-4},\\x\ge-1$ C учётом $(**):\ \left \{ {{x<4} \atop {x\ge-1}} \right.\ -1\le x<4.$
Отбор корней согласно области определения: $\left \{ {{x<5,\ xe4,\ x>-2,\ xe5} \atop {-1\le x<4}} \right.\ \ \ -1\le x<4.$
Ответ: $x\in[-1;\ 4).$
Решить логарифмическое неравенство:
$log_{4-x} \frac{(x-4)^8}{x+5} \geq 8$

Решение: 4-x>0⇒x<4
4-x≠1⇒x≠3
(x-8)^8/(x+5)>0⇒x∈(-5;8)U(8;∞)
x∈(-5;3) U (3;4)
1)x∈(-5;3)
(x-4)^8/(x+5)≥(4-x)^8
(x-4)^8*(1-x-5)/(x+5)≥0
(x-4)^8(-x-4)/(x+5)≥0
(x-4)^8(x+4)/(x+5)≤0
x=4 x=-4 x=-5
+ _ + +
-
-5 -4 4
-5<x≤-4
x∈(-5;-4]
2)x∈(3;4)
(x-4)^8/(x+5)≤(4-x)^8
(x-4)^8(x+4)/(x+5)≥0
x∈(3;4)
Ответ x∈(-5;-4]U (3;4)
Решить логарифмическое неравенство. $\log_{\frac{1}{49}}(26-5x) \cdot \log_{6-x}\frac{1}{7} \geq 1$

Решение: $\log_{\frac{1}{49}}(26-5x)=\log_{7^{-2}}(26-5x)==-\frac{1}{2}\log_7(26-5x),\\\\\log_{6-x}\frac{1}{7}=-\log_{6-x}7=-\frac{1}{\log_7(6-x)} \\ OOF:\; 26-5x>0,\; 6-x>0,\; 6-xe 1\\\\x<5,2,\; x<6,\; xe 5\\\\x\in (-\infty;5)U(5;\; 5,2)\\\\\frac{\frac{1}{2}\log_7(26-5x)}{\log_7(6-x)} \geq 1\\\\\log_7\sqrt{26-5x} \geq \log_7(6-x)\\\\\sqrt{26-5x} \geq 6-x\\\\26-5x \geq (6-x)^2\\\\x^2-7x+10 \leq 0\\\\x_1=2,x_2=5\\\\+ + + + +[2]-[5]+ + + + + + +\\\\x\in [2,5]\\\\Otvet;\; x\in [2,5).$
В ответе учли, что в ООФ не входит х=5.
решить логарифмическое неравенство $\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1}{x}\geq 1$

Решение: Log2(3*2^(x-1)-1)/x ≥1
ОДЗ: x≠0 3*2^(x-1)-1 > 0 или x>log2(2/3) = 1-log2(3) ≈ -0,585

log2(3*2^(x-1)-1)/log2(2^x) - 1 ≥ 0
(log2(3*2^(x-1)-1) - log2(2^x))/log2(2^x) ≥ 0
Данное неравенство распадается на две системы неравенств
{log2(3*2^(x-1) - 1) - log2(2^x)≥0 {log2(3*2^(x-1)-1)-log2(2^x)≤0
{x > 0                          {x<0

{log2(3*2^(x-1)-1) ≥ log2(2^x) {log2(3*2^(x-1)-1) ≤ log2(2^x)
{x > 0                         {x<0

{3*2^(x-1)-1 ≥ 2^x               {3*2^(x-1)-1 ≤ 2^x
{x > 0                            {x<0

{1,5*2^x -1 - 2^x ≥ 0 {1,5*2^x -1 -2^x ≤ 0
{x > 0                            {x<0

{0,5*2^x -1 ≥ 0 {0,5*2^x -1 ≤ 0
{x > 0                        {x<0

{2^x ≥ 2 {2^x ≤ 2
{x > 0                            {x<0

{x ≥ 1 {x ≤ 1
{x > 0                            {x<0

Первое неравенство имеет решение x∈[1;+oo)
Второе неравенство учитывая ОДЗ имеет решение x∈(log2(2/3);0)
Поэтому исходное неравенство имеет решения для всех значений
x ∈ (log2(2/3);0)U[1;+oo)
Ответ (log2(2/3);0)U[1;+oo)
Как решить логарифмическое неравенство $7log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}$

Решение: $7log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ 7log_{9}(x-3)(x+2)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ log_{9}((x-3)(x+2))^7\leq 8+lo_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ log_{9}\frac{(x-3)^7*(x+2)^7*(x-3)}{(x+2)^7}\leq 8\\ log_{9}(x-3)^8\leq 8\\ 8log_{9}(x-3)\leq 8\\ log_{9}(x-3)\leq 1\\ x-3 \leq 9\\ x \leq 12$
Учитывая ОДЗ которое вы написали
$[-6;-2)\ U \ (3;12]$

<< < 2 34 5 > >>

решить логарифмическое неравенство - страница 4

Решить логарифмическое неравенство ((log2(x))^2-2log2(x))^2+36log2(x)+45<18(log2(x))^2

Как решить логарифмическое неравенство? log63,62−log6x≤1\frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1

Решить логарифмическое неравенство xlogx+3(7−2x)≥0x\log_{x+3}(7-2x) \geq 0

решить логарифмическое неравенство 1) ㏒₀,₅ (2 - x) ≥ - 1 2) ㏒₉ (4 - 3x) ≥ 0,5 3) ㏒₂ (2x + 1) ≥ 4

Решить логарифмическое неравенство. log2x−log2(x+2)+logx+2x2>0 log_2x-log_2(x+2)+log_{ \frac{x+2}{x} } 2 > 0 Ответ: x>2

Решить логарифмическое неравенство log5−xx+2(x−5)4≥−4\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\geq -4

Решить логарифмическое неравенство: log4−x(x−4)8x+5≥8 log_{4-x} \frac{(x-4)^8}{x+5} \geq 8

Решить логарифмическое неравенство. log149(26−5x)⋅log6−x17≥1\log_{\frac{1}{49}}(26-5x) \cdot \log_{6-x}\frac{1}{7} \geq 1

решить логарифмическое неравенство log2(3⋅2x−1−1x≥1\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1}{x}\geq 1

Как решить логарифмическое неравенство 7log9(x2−x−6)≤8+log9(x+2)7x−37log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}

Решить логарифмическое неравенство
((log2(x))^2-2log2(x))^2+36log2(x)+45<18(log2(x))^2

Как решить логарифмическое неравенство? $\frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1$

Решить логарифмическое неравенство $x\log_{x+3}(7-2x) \geq 0$

решить логарифмическое неравенство
1) ㏒₀,₅ (2 - x) ≥ - 1
2) ㏒₉ (4 - 3x) ≥ 0,5
3) ㏒₂ (2x + 1) ≥ 4

Решить логарифмическое неравенство.
$log_2x-log_2(x+2)+log_{ \frac{x+2}{x} } 2 > 0$
Ответ: x>2

Решить логарифмическое неравенство $\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\geq -4$

Решить логарифмическое неравенство:
$log_{4-x} \frac{(x-4)^8}{x+5} \geq 8$

Решить логарифмическое неравенство. $\log_{\frac{1}{49}}(26-5x) \cdot \log_{6-x}\frac{1}{7} \geq 1$

решить логарифмическое неравенство $\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1}{x}\geq 1$

Как решить логарифмическое неравенство $7log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}$