неравенства »

решить логарифмическое неравенство - страница 6

  • Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x-3) -\log_{0,5}(x+3) -\log_{\frac{x+3}{x-3}}2 > 0 \)


    Решение: ОДЗ
    x-3>0⇒x>3
    x+3>0⇒x>-3
    (x+3)/(x-3)>0⇒x<-3 U x>3
    (x+3)/(x-3)≠1⇒(x+3-x+3)/(x-3)≠1⇒6/(x-3)≠1⇒x-3≠6⇒x≠9
    x∈(3;9) U (9;∞)
    -log(2)(x-3)+log(2)(x+3)-1/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
    log(2)[(x+3)/(x-3)]- 1/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
    (log²(2)[(x+3)/(x-3)] -1)/log(2)[(x+3)/(x-3)]>0
    log(2)[(x+3)/(x-3)]=a
    (a-1)(a+1)/a>0
       _  +  _  +
    -
       -1  0  1
    -11
    1)-1(x+3)/(x-3)>1/2
    (x+3)/(x-3)-1/2>0
    (2x+6-x+3)/2(x-3)>0
    (x+9)/2(x-3)>0
    x<-9 U x>3
    (x+3)/(x-3)<1
    (x+3-x+3)/(x-3)<0
    6/(x-3)<0
    x<3
    x<-9
    нет решения
    2)log(2)[(x+3)/(x-3)]>1
    (x+3)/(x-3)>2
    (x+3-2x+6)/(x-3)>0
    (x+3-2x+6)/(x-3)>0
    (x-9)/(x-3)<0
    3Ответ x∈(3;9)

  • Решить логарифмическое неравенство \( \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 \)


    Решение: $$ \log_2x+\log_2(x-3) \leq 3 $$
    Отметим ОДЗ:

    $$ \left \{ {{x>0} \atop {x-3>0}} \right. \to \left \{ {{x>0} \atop {x>3}} \right. \to x>3 $$
    x ∈ (3;+∞)
    $$ \log_2(x(x-2)) \leq \log_22^3 \\ x(x-2) \leq 2^3 \\ x^2-2x-8 \leq 0 $$
    По т. Виете 
    $$ \left \{ {{x_1+x_2=2} \atop {x_1\cdot x_2=-8}} \right. \to \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=4}} \right. $$
    Полученное решение отметим на рисунке
    (3)___-____[4]___+____>

    Ответ: x ∈ (3;4]

  • Решить логарифмическое неравенство loq15(x-3)+loq15(x-5) < 1


    Решение: Loq15(x-3)+loq15(x-5)<1
    ОДЗ: x-3>0        x>3
             x-5>0        x>5        x∈(5;+∞)
    loq15(x-3)+loq15(x-5)log15(x-3)(x-5)(x-3)(x-5)<15
    x²-8x+15<15
    x²-8x<0
    x(x-8)<0
                +                          -                    +
    _____________0___________8________
    x∈(0;8)
    Учитываем, что ОДЗ  x∈(5;+∞)
    Ответ: x∈(5;8)

  • Решите логарифмическое неравенство \(\log_{0,5}(x^2+x) > -1 \)


    Решение: Применены свойства логарифмов

    $$ log_{ \frac{1}{2} }(x^2+x)\ > \ -1\\\\ x^2+x\ < \ (\frac{1}{2} )^{-1}\\\\ x^2+x\ < \ 2\\\\ x^2+x-2\ < \ 0\\ x^2+x-2=0\\ D=1+8=9=3^2\\\\ x_{1,2}= \frac{-1{\pm}3}{2} = \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=1}} \right. $$
      + - +
    -o-o->x
      -2 1
    под логарифмом не может быть значение меньше 0, поэтому
    x²+x>0
    x(x+1)>0
      + - +
    -o-o->x
      -1 0
    Объединив эти 2 значения, определяем пересечения
    x∈(-2;-1)∪(0;1)

    Применены свойства логарифмов log frac x x - x x frac - x x x x- x x- D x frac - pm left x - atop x right.   - -o-o- x  - под логарифмом не может быть значение меньше поэтому...

  • Решить логарифмическое неравенство \( log_{4}x > 1 \)


    Решение: $$ \log_4x\ > \ 1\\\log_4x-\log_44\ > \ 0\\\log_4(x/4)\ > \ 0 $$
    Поскольку основание больше нуля, то:
    $$ x/4\ > \ 1\\x\ > \ 4. $$

    $$ log_{4} x\ > \ 1, 1= log_{4} 4^{1} \\ log_{4} x\ > \ log_{4} 4 $$
    основание логарифма а =4, 4>1 знак неравенства не меняем
    $$ \left \{ {{x\ > \ 4} \atop {x\ > \ 0}} \right. =\ > \ x\ > \ 4 $$
    ответ: x∈(4;∞)

<< < 456 7 8 > >>