неравенства »

решить логарифмическое неравенство - страница 8

  • Решить логарифмическое неравенство \(\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\geq -4\)


    Решение: $$ \log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4 $$
    Область определения неравенства: $$ 1) 5-x>0,\\x<5;\\\\2) 5-xe 1\\xe4;\\\\3) \frac{x+2}{(x-5)^4}>0,\\x+2>0,\\x>-2;$$ $$ 4) (x-5)^4e0, xe5. \\ \log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4 $$
    0 < 5-x < 1, 4 < x < 5
    $$ \left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}\le(5-x)^{-4}} \atop {\frac{x+2}{(x-5)^4}>0}} \right.$$ $$\\ \left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}-\frac{1}{(-(x-5))^4} \le 0} \atop {x+2>0}} \right. \left \{ {{x+2-1\le0} \atop {x>-2}} \right. -2 < x \le-1 $$ не удовлетворяет, нет корней. $$ 2)\ 5-x>1,\ x<4 (**),\\\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge (5-x)^{-4},\\x\ge-1 $$ C учётом $$ (**):\ \left \{ {{x<4} \atop {x\ge-1}} \right.\ -1\le x<4. $$
    Отбор корней согласно области определения:   $$ \left \{ {{x<5,\ xe4,\ x>-2,\ xe5} \atop {-1\le x<4}} \right.\ \ \  -1\le x<4. $$
    Ответ:  $$ x\in[-1;\ 4). $$

  • Решить логарифмическое неравенство:
    \( log_{4-x} \frac{(x-4)^8}{x+5} \geq 8 \)


    Решение: 4-x>0⇒x<4
    4-x≠1⇒x≠3
    (x-8)^8/(x+5)>0⇒x∈(-5;8)U(8;∞)
    x∈(-5;3) U (3;4)
    1)x∈(-5;3)
    (x-4)^8/(x+5)≥(4-x)^8
    (x-4)^8*(1-x-5)/(x+5)≥0
    (x-4)^8(-x-4)/(x+5)≥0
    (x-4)^8(x+4)/(x+5)≤0
    x=4  x=-4  x=-5
       +  _  +  +
    -
       -5  -4  4
    -5<x≤-4
    x∈(-5;-4]
    2)x∈(3;4)
    (x-4)^8/(x+5)≤(4-x)^8
    (x-4)^8(x+4)/(x+5)≥0
    x∈(3;4)
    Ответ x∈(-5;-4]U (3;4)

  • Решить логарифмическое неравенство. \(\log_{\frac{1}{49}}(26-5x) \cdot \log_{6-x}\frac{1}{7} \geq 1\)


    Решение: $$ \log_{\frac{1}{49}}(26-5x)=\log_{7^{-2}}(26-5x)==-\frac{1}{2}\log_7(26-5x),\\\\\log_{6-x}\frac{1}{7}=-\log_{6-x}7=-\frac{1}{\log_7(6-x)} \\ OOF:\; 26-5x>0,\; 6-x>0,\; 6-xe 1\\\\x<5,2,\; x<6,\; xe 5\\\\x\in (-\infty;5)U(5;\; 5,2)\\\\\frac{\frac{1}{2}\log_7(26-5x)}{\log_7(6-x)} \geq 1\\\\\log_7\sqrt{26-5x} \geq \log_7(6-x)\\\\\sqrt{26-5x} \geq 6-x\\\\26-5x \geq (6-x)^2\\\\x^2-7x+10 \leq 0\\\\x_1=2,x_2=5\\\\+ + + + +[2]-[5]+ + + + + + +\\\\x\in [2,5]\\\\Otvet;\; x\in [2,5). $$
    В ответе учли, что  в ООФ не входит х=5.

  • решить логарифмическое неравенство \(\frac{\log_2(3\cdot 2^{x-1} -1}{x}\geq 1\)


    Решение: Log2(3*2^(x-1)-1)/x ≥1
     ОДЗ: x≠0  3*2^(x-1)-1 > 0 или x>log2(2/3) = 1-log2(3) ≈ -0,585
     
     log2(3*2^(x-1)-1)/log2(2^x)  - 1 ≥ 0
     (log2(3*2^(x-1)-1) - log2(2^x))/log2(2^x) ≥ 0
     Данное неравенство распадается на две системы неравенств
     {log2(3*2^(x-1) - 1) - log2(2^x)≥0 {log2(3*2^(x-1)-1)-log2(2^x)≤0
     {x > 0                          {x<0
     
     {log2(3*2^(x-1)-1) ≥ log2(2^x) {log2(3*2^(x-1)-1) ≤ log2(2^x)
     {x > 0                         {x<0
     
     {3*2^(x-1)-1 ≥ 2^x               {3*2^(x-1)-1 ≤ 2^x
     {x > 0                            {x<0
     
     {1,5*2^x -1 - 2^x ≥ 0 {1,5*2^x -1 -2^x ≤ 0
     {x > 0                            {x<0
     
     {0,5*2^x -1 ≥ 0 {0,5*2^x -1 ≤ 0
     {x > 0                        {x<0
     
     {2^x ≥ 2 {2^x ≤ 2
     {x > 0                            {x<0
     
     {x ≥ 1 {x ≤ 1
     {x > 0                            {x<0
     
    Первое неравенство имеет решение x∈[1;+oo)
    Второе неравенство учитывая ОДЗ имеет решение x∈(log2(2/3);0)
    Поэтому исходное неравенство имеет решения для всех значений
    x ∈ (log2(2/3);0)U[1;+oo)
    Ответ (log2(2/3);0)U[1;+oo)

  • Как решить логарифмическое неравенство \(7log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\)


    Решение: $$ 7log_{9}(x^2-x-6)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ 7log_{9}(x-3)(x+2)\leq 8+log_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ log_{9}((x-3)(x+2))^7\leq 8+lo_{9}\frac{(x+2)^7}{x-3}\\ log_{9}\frac{(x-3)^7*(x+2)^7*(x-3)}{(x+2)^7}\leq 8\\ log_{9}(x-3)^8\leq 8\\ 8log_{9}(x-3)\leq 8\\ log_{9}(x-3)\leq 1\\ x-3 \leq 9\\ x \leq 12 $$ 
     Учитывая ОДЗ которое вы написали
    $$ [-6;-2)\ U \ (3;12] $$

<< < 678 9 10 > >>