неравенства »

решить логарифмическое неравенство - страница 7

  • Решить логарифмическое неравенство
    ((log2(x))^2-2log2(x))^2+36log2(x)+45<18(log2(x))^2


    Решение: ОДЗ x>0
    (log²(2)x-2log(2)x)²+36log(2)x+45-18log²(2)x<0
    (log²(2)x-2log(2)x)²-18(log²(2)x-2log(2)x)+45<0
    log²(2)x-2log(2)x=a
    a²-18a+45<0
    a1+a2=18 U a1*a2=45⇒a1=3 U a2=15
    3<log²(2)x-2log(2)x<15
    log(2)x=b
    3<b²-2b<15
    {b²-2b>3⇒b²-2b-3>0
    {b²-2b<15⇒b²-2b-15<0
    b1+b2=2 U b1*b2=-3⇒b1=-1 U b2=3
    b<-1 U b>3
    b3+b4=2 U b3*b4=-15⇒b3=-3 U b4=5
    -3<b<5
    -3<b<-1 U 3<b<5
    -3<b<-1⇒-3<log(2)x<-1⇒1/8<x<1/2
    3<b<5⇒3<log(2)x<5⇒8<x<32
    Ответ x∈(1/8;1/2) U (8;32)

  • Как решить логарифмическое неравенство? \(\frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1\)


    Решение: $$ \frac{log_63,6}{2-log_6x} \leq 1\;,\; \; \; ODZ:\; log_6xe 2\; \to \; xe 36\;,x\ > \ 0\\\\ \frac{log_63,6-2+log_6x}{2-log_6x} \leq 0\\\\\frac{log_6x+log_63,6-2}{log_6x-2} \geq 0\\\\t=log_6x\;,\; \; \frac{t-(2-log_63,6)}{t-2} \geq 0\\\\2-log_63,6\approx 2-0,72=1,28\\\\Znaki\; \; t:\; \; +++(1,28)-(2)+++\; \; \left [{{t\ > \ 2} \atop {t \leq 2-log_63,6}} \right. \\\\a)\; log_6x\ > \ 2\; \; \to \; \; x\ > \ 36\\\\b)\; log_6x \leq 2-log_63,6 \leq \; \; \to \; \; x \leq 6^{2-log_63,6}\\\\x \leq \frac{36}{3,6} \\ x \leq 10\\\\x\in (0,10\, ]\cup (36,+\infty ) $$

  • Решить логарифмическое неравенство \(x\log_{x+3}(7-2x) \geq 0\)


    Решение: x* log(x+3)(7-2x) >=0
    Неравенство, состоящее из двух множителей >=0 тогда, когда оба множителя либо >=0, либо <=0.
    Рассмотрим эти два случая. Сначала определим ОДЗ:
    {x+3>0
    {x+3 не равно 1
    {7-2x>0
    {x>-3
    {x не равен -2
    {x<3,5
    И решением этой системы будут промежутки:(-3;-2)U(-2;3,5)
    Рассмотрим две ситуации, когда оба множителя либо >=0, либо <=0.
    1){x>=0
       {log(x+3)(7-2x)>=0
    Решим 2-е неравенство системы. Решать будем методом рационализации:
    log(x+3)(7-2x)>=log(x+3)1
    (x+3-1)(7-2x-1)>=0
    (x+2)(6-2x)>=0
    Найдем точки, которые обнуляют скобки неравенства, и отметим их на числовой прямой:
    ______-______(-2)_______+_____[3]_____-____
       ////////////////////////////////
    _____________________[0]_________________
       ////////////////////////////////////
    Решением системы является промежуток [0;3]
    Рассмотрим вторую ситуацию:
    2){x<=0
       {log(x+3)(7-2x)<=0
    log(x+3)(7-2x) <= log(x+3)1
    (x+3-1)(7-2x-1)<=0
    (x+2)(6-2x)<=0
    ______-________(-2)______+_____[3]____-______
    ////////////////////////////////  ////////////////////////
    ______________________[0]___________________
    //////////////////////////////////////////////
    Решением системы является промежуток (-беск.2)
    А теперь объединим решения систем неравенств, рассмотренные в двух ситуациях, и учтем ОДЗ: x принадлежит (-3;-2) U [0;3].

  • решить логарифмическое неравенство
    1) ㏒₀,₅ (2 - x) ≥ - 1
    2) ㏒₉ (4 - 3x) ≥ 0,5
    3) ㏒₂ (2x + 1) ≥ 4


    Решение: 0,5^(-1)=2
    1) log₀,₅(2-x)≥log₀,₅2, 0<0.5<1, то функция убывает то знак неравенства меняется на противоположный
    2-x>0, x<2, х∈(-∞;2) - это ОДЗ 
    2-x≤2
    2-2≤x
    x≥0
    учитывая ОДЗ и полученное решение получаем ответ: х∈[0;2)
    2) 0.5=log₉9^0.5=log₉3
    основание 9>1, то функция возрастает и получаем 
    4-3х≥3 и 4-3х>0 из двух неравенств получаем неравенство: 4-3х≥3
    4-3≥3х
    3х≤1
    х≤1/3
    Ответ: х∈(-∞;1/3]
    3) 4=log₂2^4=log₂16
    a=2>0, то функция возрастает и ОДЗ: 2х+1>0, 2x>-1, x>-0.5, (-0.5;+∞)
    2x+1≥16
    2x≥15
    x≥7.5, x∈[7.5;+∞)
    ответ:[7.5;+∞)

  • Решить логарифмическое неравенство.
    \( log_2x-log_2(x+2)+log_{ \frac{x+2}{x} } 2 > 0 \)
    Ответ: x>2


    Решение: Log2(x)-log2(x+2)=-log2 ((x+2)/x)
    ОДЗ х больше 0
    Пользуясь свойством логарифма, можно написать
    -log2 ((x+2)/x)+1/log2 ((x+2)/x)>0
    (log2 ((x+2)/x))^2<1
    (x+2)/x<2  или (x+2)/x)>1/2
    2x>x+2
    x>2
    или  
    x+2/x<1/2.  Пусть х больше 0.
    2x+4x<-4, что противоречит условию.
    Ответ: х>2

<< < 567 8 9 > >>