неравенства »

решить логарифмическое неравенство - страница 5

  • Решите логарифмическое неравенство \(\log_{3-x}(x+4) \geq 0\)


    Решение:

    Сразу ОДЗ:$$ \begin{cases} 3-x>0\\3-xeq1\\x+4>0 \end{cases}\\\begin{cases} x<3\\xeq2\\x>-4 \end{cases} $$ 

    Теперь напишем очень важный переход: $$ log_{h(x)}(f(x))\geq log_{h(x)}({g(x)}\Longrightarrow(f(x)-g(x))(h(x)-1)\geq0 $$

    Приведём данное уравнение к такому виду.

    $$ log_{3-x}(x+4)\geq0\\log_{3-x}(x+4)\geq0*log_{3-x}(3-x)\\log_{3-x}(x+4)\geq log_{3-x}(3-x)^0\\log_{3-x}(x+4)\geq log_{3-x}1 $$

    Воспользуемся переходом.

    $$ ((x+4)-(1))((3-x)-1)\geq0\\(x+3)(2-x)\geq0 $$

    Это неравенство решается методом интервалов. Промежуток:$$ x\in [-3;2] $$ 

    Решением логарифмического неравенства(с учётом ОДЗ)

    $$ x\in [-3;2) $$

  • решить логарифмическое неравенство \(\frac{\log_{2^{(x+1)^2}-1}(\log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x))}{\log_{2^{(x+1)^2}-1}(x^2+6x+10)} \geq 0\)


    Решение: Найдем ОДЗ. Сначала заметим что 2x²+2x+3>1, при любых x. Значит и x²-2x должно быть больше единицы.
    x²-2x-1>0
    x∈(-oo; 1-√2)∪(1+√2;+oo)
    Теперь запишем ограничения на основание логарифмов 2^(x+1)²-1
    {x≠-1
    {x≠0
    {x≠-2
    x²+6x+1 всегда больше нуля, поэтому следующее ограничение x²+6x+10≠1 => x≠-3
    Пересечем все полученное и получим наконец ОДЗ:
    x∈(-oo; -3)∪(-3; -2)∪(-2; -1)∪(-1; 1-√2)∪(1+√2; +oo)
    Далее:
    $$ log_{x^2+6x+10}(log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x)) \geq 0 \\ \frac{lg(log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x))}{lg(x^2+6x+10)} \geq 0 \\ \frac{log_{2x^2+2x+3}(x^2-2x)-1}{(x+3)^2} \geq 0 \\ \frac{lg(x^2-2x)}{lg(2x^2+2x+3)} -1 \geq 0 \\ \frac{lg(x^2-2x)-lg(2x^2+2x+3)}{lg(2x^2+2x+3)} \geq 0 \\ -x^2-4x-3 \geq 0 \\ x^2+4x+3 \leq 0 \\ -3 \leq x \leq 1 $$
    Пересекаем полученный промежуток с ОДЗ и получаем ответ:
    x∈(-3; -2)∪(-2; -1)

  • решить логарифмическое неравенство \((log_2^2x-2log_2x)^2+36log_2x+45 < 18log_2^2x\)


    Решение: $$ (log_2^2x-2log_2x)^2+36log_2x+45\ < \ 18log_2^2x\;,\; \; ODZ:\; x\ > \ 0\\\\t=log_2x\;,\; \; \; (t^2-2t)^2+36t-18t^2+45\ < \ 0\\\\t^4-4t^3+4t^2+36t-18t^2+45\ < \ 0\\\\t^4-4t^3-14t^2+36t+45\ < \ 0\\\\Pri\; t=5:\; \; 5^4-4\cdot 5^3-14\cdot 5^2+36\cdot 5+45=0\ \; \to \\\\t^4-4t^3-14t^2+36t+45=(t-5)(t^3+t^2-9t-9)=\\\\=(t-5)(t^2(t+1)-9(t+1))=(t-5)(t+1)(t-3)(t+3)\ < \ 0\\\\+++(-3)-(-1)+++(3)-(5)+++\\\\ \left [ {{-3\ < \ t\ < \ -1} \atop {3\ < \ t\ < \ 5}} \right. \\ \left [ {{-3\ < \ log_2x\ < \ -1} \atop {3\ < \ log_2x\ < \ 5}} \right. \; \left [ {{2^{-3}\ < \ x\ < \ 2^{-1}} \atop {2^3\ < \ x\ < \ 2^5}} \right. \; \left [ {{\frac{1}{8}\ < \ x\ < \ \frac{1}{2}} \atop {8\ < \ x\ < \ 32}} \right. \\\\x\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2})\cup (8;32) $$

  • Решите логарифмическое неравенство
    1) (5x+1)lg(4-x) ≤ 0


    Решение: 1) (5x+1)lg(4-x) ≤ 0  ОДЗ: 4-x > 0 -> x < 4
    Рассмотрим два случая
    (5x+1) ≤ 0  (5x+1) ≥ 0
     lg(4-x) ≥ 0  lg(4-x) ≤ 0
       х ≤ -0,2  х ≥ -0,2  
    4-x ≥ 1  -> x ≤ 3  4-x ≤ 1  -> x ≥ 3
       x < 4  x < 4
    Решение 1-е х ≤ -0,2  Решение 2-е 3 ≤ х < 4
    Ответ: х∈ (-∞; -0,2] U [3; 4)

  • РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО log1/2 (3)+log1/2 (6)<-2


    Решение: тут нет х и основание 1/2?

    log1/2 (3)+log1/2 (6)<-2

    log1/2(3*6)<log1/2(1/2)^-2

    log1/2 (18)<log1/2 (4) т. к 1/2 <1 функция (1/2)^x убывает знак неравенства меняется

    18>4 истинно

  • 2log2(x)<2-log2(x+3) решите логарифмическое неравенство


    Решение: 2*log₂x<2-log₂(x+3)
    log₂x²+log₂(x+3)<2
    log₂(x² *(x+3))<2. 2=log₂2²=log₂4
    log₂(x³+3x²)<log₂4
    a=4, a>1 знак неравенства не меняем
    ОДЗ:
    $$ \left \{ {{x\ > \ 0} \atop {x+3\ > \ 0}} \right. \left \{ {{x\ > \ 0} \atop {x\ > \ -3}} \right. $$
    x∈(0;∞)
    x³+3x²<4
    x³+3x²-4<0
    x=1, x=-2 корни уравнения x³+3x²-4=0
    (x-1)*(x+2)*(x+2)<0
    метод интервалов:
      - +
    -(-2)-(0)->x
    x∈(-∞;-2)∪(-2;0)
    учитывая ОДЗ (x>0), получим: решений нет

  • Решить логарифмическое неравенство \(\frac{1}{5-\lg x} + \frac{2}{1+\lg x} < 1\)


    Решение: Там вроде 1/5-lgx+2/1+lgx=1, т. е =1.
    x>0;x≠10^5;x≠0,1
    (1+lgx)+2(5-lgx)=(5-lgx)(1+lgx)
    1+lgx+10-2lgx-5-5lgx+lgx+lg²x=0
    lg²x-5lgx+6=0
    lgx=a
    a²-5a+6=0
    a1+a2=5 U a1*a2=6
    a1=2⇒lgx=2⇒x=100
    a2=3⇒lgx=3⇒x=1000

    Там вроде  -lgx lgx т. е .x x x lgx -lgx -lgx lgx lgx - lgx- - lgx lgx lg x lg x- lgx lgx aa - a a a U a a a lgx x a lgx x...
<< < 345