степень корня - страница 2
Покажите, что: а) числа -7 и 5 являются корнями уравнения х (во второй степени) + 2х - 35 = 0, б) число 2/3 (два дробь 3) является корнем уравнения 3х (вовторой степени) + х - 2 = 0
Решение: 1) x² + 2x - 35 = 0
x₁ = - 7
x₂ = 5
x² + px + q = 0
По теореме Виета
x₁ + x₂ = - p, x₁ + x₂ = (-7 + 5) = - 2
p = 2
x₁*x₂ = q
-7*5 = - 35
Значит, x₁ = - 7 x₂ = 5 являются корнями данного квадратного уравнения.
2) 3x² + x - 2 = 0
Подставим в данное уравнение вместо х число 2/3.
3*(2/3)² + (2/3) - 2 = 3*(4/3) + 2/3 - 2 = 4/3 + 2/3 - 2 = 2 - 2 = 0
Значит, х = 2/3 являются корнем данного квадратного уравнения.1. Вынесите множитель из-под знака корня а)√72 ; б)√3.19/27 в)√18а г)√121b³с(в 4й степени)
2.Внесите множитель под знак корня
а)2√5; б)-3√7; в)2x√x; г)7а²√2а
3.Сравните значения выражений M и N,если M = 2 √75 N= 3√45
Решение: 2)а)√20 б)√63 в)√4х^3 г)√98а^53)2√75=2*5√3
3√45=3*3√5
=>10√3 > 9√5
$$ 1) \sqrt{72} = \sqrt{9 * 8} =\\= 3\sqrt{8} \sqrt{3\frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{100}{27}} =\\= \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \sqrt{18a} = \sqrt{9*2a} = 3\sqrt{2a} $$
$$ 4)\sqrt{121b^3c^4}= 11bc\sqrt{bc^{2}} $$
$$ 2)2\sqrt{5} = \sqrt{4*5}=\sqrt{20} $$
$$ -3\sqrt{7}= -\sqrt{9*7}=-\sqrt{72} $$
$$ 2x\sqrt{x} = \sqrt{4x^{3}} $$
$$ 7a^{2}\sqrt{2a} = \sqrt{98a^{5}} $$
$$ 3) M =2\sqrt{75} \\ N=3\sqrt{45} \\ M= \sqrt{300} \\ N=\sqrt{405} \\ 300 \lt 405 \\ M \lt N $$1. Вынесите множитель из-под знака
1.Вынесите множитель из-под знака корня а)√72 ; б)√3.19/27 в)√18а г)√121b³с(в 4й степени)
2.Внесите множитель под знак корня
а)2√5; б)-3√7; в)2x√x; г)7а²√2а
3.Сравните значения выражений M и N,если M = 2 √75 N= 3√45
Решение: 1.а) 6√2
б)
в)3√2а
г)11 bc²√b
2. √20. √63. √4׳ √98a( в 5).
3. √300. < √405Номер 1.А) 6корней из2; 2)10делить на 3 корня из 3х;3)3корня из 2а;4)11bс(в квадрате) корней из b
Номер 2: 1)корень из 20;2) минус корень из 63;3) корень из 4х(в квадрате);4) корень из 98а(в кубе)
Номер 3. М < N, т. к корень из 300(если внести коэффициент под корень - M) будет меньше чем корень из 405(если внести коэффициент под корень - N)Решите уравнение(1-2) 27
1.а) х3-64х=0 б) х3-3х2-3х+9=0 в) х4-3х2+ __
16
2. а) 2х 2 7 1 1 1 1
________ - ________ = ______ б) _____ - ____ = ____ - _____
х2-2х+1 х3-2х2+х 3х2-3х х-5 х-7 х-1 х-3
3.На двух станках отштамповали 1800 деталей за 12 ч. Известно, что 180 деталей на первом станке штампуют на 1 ч. быстрее, чем на втором. Сколько деталей в час штампуют на первом стонке?
3
4. Решите уравнение: х2-3х-1+ _______ = 0
х2-3х+3
5.Решите уравнение x3-x2+bx+24=0, если известно, что один из его корней равен 3.
после х-степень.
Решение: Х деталей в час -1производ 1 станка
У дет в час производ 2 станка
12*(х+у)=1800
Х+у=150
у=150-х
180:у=180:х+1( так как на 1 станке штамп уют больше
180х=у(180+х)
180х=180у+ху подставим значение х
180х=180(150-х)+х(150-х)
180х=27000-180х+150х-х^2
Х^2+210х-27000=0
Х1=-300. Х2=90
Отриц производ быть не может
У=150-90=60 вот и всёУравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если
Решение: Уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если
Решение:
Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости.
у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх
D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках
Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох.
Уравнение y=a является прямой параллельной оси Ох.
Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо
, чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a.
Найдем координаты вершины параболы.
Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2
Подставим это значение в уравнение параболы
y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5
Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| равен y=|-5| =5
Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5)
Ответ:(0;5)
можно и так
$$ |x^2-4x-1|=a $$ (1)
во первых a>0 (2)
Далее уравнение (1) "распадается" на два
$$ x^2-4x-1=a $$ (3)
$$ x^2-4x-1=-a $$ (4)
При этом должно быть выполнено (2)
Рассмотрим уравнение (3).
$$ x^2-4x-1=a $$
$$ x^2-4x-1-a=0 $$ Если (обозначим 1+a=с) Получим
$$ x^2-4x-c=0 $$ (5)
(5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
$$ 4^2-4*1*(-c)=16+4c > 0 $$
$$ 16+4c > 0 \\ 4c > -16 \\ c > -16/4=-4 \\ a+1 > -4 $$
$$ a > -5 $$ (6)
Аналогично из уравнения 4 получаем:
$$ x^2-4x-1=-a \\ x^2-4x-1+a=0 \\ c=a-1 \\ x^2-4x+c=0 \\ D=16-4c > 0 \\ 16-4c > 0 \\ -4c > -16 c < 4 \\ a-1 < 4 \\ a < 5 $$
a<5 (7)
Это еще два корня
Итого 4 корня
$$ x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16+4(1+a)} }{2} =2\pm \frac{2 \cdot \sqrt{4+(1+a)} }{2} =2\pm \sqrt{5+a} \\ x_{3,4}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4(a-1)} }{2} =2 \pm \frac{2\cdot \sqrt{4+1-a} }{2} =2\pm \sqrt{5-a} $$
Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0Вычислить ∛(5√2+7)+∛(5√2-7), выражения под корнем 3 степени ?
Решение: $$ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } + \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7} = \\ = \sqrt[3]{( \sqrt{2}+1)^3 } + \sqrt[3]{ (\sqrt{2}-1)^3 } = \sqrt{2} +1+ \sqrt{2} -1=2 \sqrt{2} $$
Ответ: $$ 2 \sqrt{2} $$
Раскрытие кубов
$$ ( \sqrt{2} +1)^3= \\ =\sqrt{2}^3+3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}+1= \\ =\sqrt{2}^3+3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}+1= \\ =\sqrt{2^3}+3*2+3\sqrt{2}+1 =\ =\sqrt{2^3}+3\sqrt{2}+7=5\sqrt{2}+7 $$
$$ (\sqrt{2}-1)^3= \\ =\sqrt{2}^3-3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-1= \\ =\sqrt{2^3}-3*2+3\sqrt{2}-1= \\ =2\sqrt{2}-7+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}-7 $$0,04 (под корнем в шестой степени) и 1/26 (под корнем в шестой степени). Сравнить,
Решение: Поскольку степени корней одинаковы, можно сравнить только подкоренные выражения (основания степени). Чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень
Сравниваем 0,04 и 1/26, то есть 4/100 и 1/26.
Если строго, то надо привести к одному знаменателю и сравнить числители. Можно пойти другим путем: 4/100 = 1/25. Сравниваем 1/25 и 1/26. Чем больше знаменатель при одинаковых числителях, тем дробь меньше. 1/25 > 1/26. Значит, 4/100 > 1/26. Значит, 0,04 > 1/26. Значит, корень шестой степени из 0,04 больше, чем корень шестой же степени из 1/26.
Попробуем методом приведения к общему знаменателю
1/25 и 1/26 НОЗ = 25*26 = 650. Дополнительные множители 26 и 25. Получаем:
26/625 и 25/625. Соответственно, 26/625 > 25/625, 1/25 > 1/26, 4/100 > 1/26, 0.04 > 1/26. Результат тот же.
Проверка.
₆√0,04 = 0,5848, ₆√(1/26) = 0,5810
Объясните почему уравнение не имеет корнейX во 2 степени = -1, IxI= -5. x в 6 степени +1 =0. IxI+ 10 = 0
Решение:$$ x^2=-1 $$ не имеет решения, т.к. чётная степень переменной
может быть только неотрицательной. По этой же причине
не имеет решений уравнение $$ x^6+1=0 $$ , т.к. $$ x^6=-1 $$.
Модули также не могут быть отрицательными,поэтому не имеют решений уравнения
$$ |x|=-5\; ;\\ |x|+10=0\; \; \to \; \; |x|=-10 $$Решить: а) х в 3 степени=2-х; б) х в 3 степени=10-х; в) под корнем(х+1)=5-х; г) 3х=под корнем(10-х);
Решение: а) х3=2-хх3 + х - 2 = 0
х3 - х + 2х -2 = 0
х(х2-1) + 2(х-1) =0
х(х-1)(х+1) + 2(х-1)=0
(х-1)(х2+х+2)=0
х-1=0
х=1
во втором дискриминант отрицательный
б) х3=10-х
х3+х-10=0
-10 делится на : +-1; +-2; +-5; +-10
при х=2 выражение равно нулю
делим на х-2 все выражение и получаем
(х-2)(х2+2х+5)=0
х-2=0
х=2
в)под корнем х+1=5-х
возводим все во вторую степень
х+1=х2-10х+25
-х2+11х-24=0
х2-11х+24=0
D=121-96=25
х=(11-5):2=3
х=(11+5):2=8 (посторон. корень)
г)3х= под корнем 10-х
возводим во вторую степень
9х2=10-х
9х2+х-10=0
D=1+360=361
х=(-1+19):18=1
х=(-1-19):18=-10:9 посторон.корень
а) х3=2-х
х3 + х - 2 = 0
х3 - х + 2х -2 = 0
х(х2-1) + 2(х-1) =0
х(х-1)(х+1) + 2(х-1)=0
(х-1)(х2+х+2)=0
х-1=0
х=1
б) х3=10-х
х3+х-10=0
-10 делится на : +-1; +-2; +-5; +-10
при х=2 выражение равно нулю
делим на х-2 все выражение и получаем
(х-2)(х2+2х+5)=0
х-2=0
х=2
х+1=х2-10х+25
-х2+11х-24=0
х2-11х+24=0
D=121-96=25
х=(11-5):2=3
х=(11+5):2=8 (посторон. корень)
г)3х= под корнем 10-х9х2=10-х
9х2+х-10=0
D=1+360=361
х=(-1+19):18=1
х=(-1-19):18=-10129 во второй степени -8 во второй степени дробь 93 во второй степени-44 во второй степени и все это под корнем надо вычислить
Решение: 129^=16641 корень из 16641=129-8^=64(минус убирается так как степень четная) корень из 64=8
93^=8649 корень из 8649=93
-44^=1936 корень из 1936=44
решение:
129 в квадрате минус 8 в квадрате/93 в квадрате-44 в квадрате
16641-64/8649-1936
16577/6713
2,49 корень из 2,49 приблизительно 1,58
129^=16641 корень из 16641=129
-8^=64(минус убирается так как степень четная) корень из 64=8
93^=8649 корень из 8649=93
-44^=1936 корень из 1936=44
решение:
129 в квадрате минус 8 в квадрате/93 в квадрате-44 в квадрате
16641-64/8649-1936
16577/6713
2,49 корень из 2,49
