степени » степень корня - страница 2
  • Покажите, что: а) числа -7 и 5 являются корнями уравнения х (во второй степени) + 2х - 35 = 0, б) число 2/3 (два дробь 3) является корнем уравнения 3х (вовторой степени) + х - 2 = 0


    Решение: 1) x² + 2x - 35 = 0
     x₁ = - 7
    x₂ = 5
    x² + px + q = 0
    По теореме Виета
    x₁ + x₂ = - p, x₁ + x₂ = (-7 + 5) = - 2
    p = 2
    x₁*x₂ = q
    -7*5 = - 35
    Значит, x₁ = - 7 x₂ = 5 являются корнями данного квадратного уравнения.
    2) 3x² + x - 2 = 0
    Подставим в данное уравнение вместо х число 2/3.
    3*(2/3)² + (2/3) - 2 = 3*(4/3) + 2/3 - 2 = 4/3 + 2/3 - 2 = 2 - 2 = 0
    Значит, х = 2/3 являются корнем данного квадратного уравнения.

  • 1. Вынесите множитель из-под знака корня а)√72 ; б)√3.19/27 в)√18а г)√121b³с(в 4й степени)

    2.Внесите множитель под знак корня

    а)2√5; б)-3√7; в)2x√x; г)7а²√2а

    3.Сравните значения выражений M и N,если M = 2 √75 N= 3√45


    Решение: 2)а)√20 б)√63 в)√4х^3 г)√98а^5

    3)2√75=2*5√3 

    3√45=3*3√5

    =>10√3 > 9√5

    $$ 1) \sqrt{72} = \sqrt{9 * 8} =\\= 3\sqrt{8} \sqrt{3\frac{19}{27}} = \sqrt{\frac{100}{27}} =\\= \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \sqrt{18a} = \sqrt{9*2a} = 3\sqrt{2a} $$
    $$ 4)\sqrt{121b^3c^4}= 11bc\sqrt{bc^{2}} $$ 
    $$ 2)2\sqrt{5} = \sqrt{4*5}=\sqrt{20} $$
    $$ -3\sqrt{7}= -\sqrt{9*7}=-\sqrt{72} $$ 
    $$ 2x\sqrt{x} = \sqrt{4x^{3}} $$ 
    $$ 7a^{2}\sqrt{2a} = \sqrt{98a^{5}} $$ 
    $$ 3) M =2\sqrt{75} \\ N=3\sqrt{45} \\ M= \sqrt{300} \\ N=\sqrt{405} \\ 300 \lt 405 \\ M \lt N $$

  • 1. Вынесите множитель из-под знака

    1.Вынесите множитель из-под знака корня а)√72 ; б)√3.19/27 в)√18а г)√121b³с(в 4й степени)

    2.Внесите множитель под знак корня

    а)2√5; б)-3√7; в)2x√x; г)7а²√2а

    3.Сравните значения выражений M и N,если M = 2 √75 N= 3√45


    Решение: 1.а) 6√2
    б)
    в)3√2а
    г)11 bc²√b

    2. √20. √63. √4׳ √98a( в 5).
    3. √300. < √405

    Номер 1.А) 6корней из2; 2)10делить на 3 корня из 3х;3)3корня из 2а;4)11bс(в квадрате) корней из b
    Номер 2: 1)корень из 20;2) минус корень из 63;3) корень из 4х(в квадрате);4) корень из 98а(в кубе)
    Номер 3. М < N, т. к корень из 300(если внести коэффициент под корень - M) будет меньше чем корень из 405(если внести коэффициент под корень - N)

  • Решите уравнение(1-2) 27
    1.а) х3-64х=0 б) х3-3х2-3х+9=0 в) х4-3х2+ __
    16
    2. а) 2х 2 7 1 1 1 1
    ________ - ________ = ______ б) _____ - ____ = ____ - _____
    х2-2х+1 х3-2х2+х 3х2-3х х-5 х-7 х-1 х-3
    3.На двух станках отштамповали 1800 деталей за 12 ч. Известно, что 180 деталей на первом станке штампуют на 1 ч. быстрее, чем на втором. Сколько деталей в час штампуют на первом стонке?
    3
    4. Решите уравнение: х2-3х-1+ _______ = 0
    х2-3х+3
    5.Решите уравнение x3-x2+bx+24=0, если известно, что один из его корней равен 3.

    после х-степень.


    Решение: Х деталей в час -1производ 1 станка
    У дет в час производ 2 станка
    12*(х+у)=1800
    Х+у=150 
    у=150-х
    180:у=180:х+1( так как на 1 станке штамп уют больше
    180х=у(180+х)
    180х=180у+ху подставим значение х
    180х=180(150-х)+х(150-х)
    180х=27000-180х+150х-х^2
    Х^2+210х-27000=0
    Х1=-300. Х2=90
    Отриц производ быть не может
    У=150-90=60 вот и всё

  • Уравнение |х во второй степени - 4х-1|= а имеют четыре различных корня, если


    Решение: Уравнение |x²-4x-1|=a имеет четыре различных корня, если
    Решение:
    Уравнение имеет решение если значение параметра а больше нуля а>0, при а<0 уравнение не имеет смысла.
     
    Для правильного решения уравнения необходимо представить левую и правую часть уравнения на координатной плоскости.
    у = x²-4x-1 - уравнение параболы ветви которой направлены вверх
    D =4²+4=20>0 Следовательно парабола пересекает ось Ox в двух точках
    Для функции у =|x²-4x-1| часть параболы под осью Ох зеркально отобразится вверх над осью Ох.
    Уравнение y=a является прямой параллельной  оси Ох.
    Следовательно для пересечения этой прямой функции у =|x²-4x-1| необходимо
    , чтобы локальный максимум (вершина параболы) функции у =|x²-4x-1| был выше прямой y=a.
    Найдем координаты вершины параболы.
    Парабола у = x²-4x-1 имеет минимум в точке х =-b/(2a) = 4/2 = 2
    Подставим это значение в уравнение параболы
     y = 2² - 4*2 -1 =4-8-1 =-5
    Локальный максимум(вершина параболы) функции у =|x²-4x-1|  равен y=|-5| =5
    Следовательно уравнение имеет четыре решения если а∈(0;5)
    Ответ:(0;5)


    можно и так
    $$ |x^2-4x-1|=a $$  (1)
     
    во первых a>0  (2)
    Далее  уравнение (1) "распадается" на два
    $$ x^2-4x-1=a $$  (3)
    $$ x^2-4x-1=-a $$  (4)
    При этом должно быть выполнено (2)

    Рассмотрим уравнение (3).
    $$ x^2-4x-1=a $$ 
    $$ x^2-4x-1-a=0 $$ Если (обозначим 1+a=с) Получим
    $$ x^2-4x-c=0 $$  (5)
    (5) Обычное квадратное уравнение оно будет иметь два различных вещественных корня, если его дискриминант будет больше 0. Т.е.
    $$ 4^2-4*1*(-c)=16+4c > 0 $$
    $$ 16+4c > 0 \\ 4c > -16 \\ c > -16/4=-4 \\ a+1 > -4 $$

    $$ a > -5 $$    (6)

    Аналогично из уравнения 4 получаем:
    $$ x^2-4x-1=-a \\ x^2-4x-1+a=0 \\ c=a-1 \\ x^2-4x+c=0 \\ D=16-4c > 0 \\ 16-4c > 0 \\ -4c > -16 c < 4 \\ a-1 < 4 \\ a < 5 $$
    a<5  (7)
    Это еще два корня
    Итого 4 корня
    $$ x_{1,2}= \frac{4 \pm \sqrt{16+4(1+a)} }{2} =2\pm \frac{2 \cdot \sqrt{4+(1+a)} }{2} =2\pm \sqrt{5+a} \\ x_{3,4}= \frac{4 \pm \sqrt{16-4(a-1)} }{2} =2 \pm \frac{2\cdot \sqrt{4+1-a} }{2} =2\pm \sqrt{5-a} $$

    Находя пересечение интервалов (2), (6), (7), получаем 0Ответ a∈(0;5)

  • Вычислить ∛(5√2+7)+∛(5√2-7), выражения под корнем 3 степени ?


    Решение: $$ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } + \sqrt[3]{5 \sqrt{2} -7} = \\ = \sqrt[3]{( \sqrt{2}+1)^3 } + \sqrt[3]{ (\sqrt{2}-1)^3 } = \sqrt{2} +1+ \sqrt{2} -1=2 \sqrt{2} $$

    Ответ: $$ 2 \sqrt{2} $$

    Раскрытие кубов
    $$ ( \sqrt{2} +1)^3= \\ =\sqrt{2}^3+3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}+1= \\ =\sqrt{2}^3+3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}+1= \\ =\sqrt{2^3}+3*2+3\sqrt{2}+1 =\ =\sqrt{2^3}+3\sqrt{2}+7=5\sqrt{2}+7 $$

    $$ (\sqrt{2}-1)^3= \\ =\sqrt{2}^3-3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-1= \\ =\sqrt{2^3}-3*2+3\sqrt{2}-1= \\ =2\sqrt{2}-7+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}-7 $$

  • 0,04 (под корнем в шестой степени) и 1/26 (под корнем в шестой степени). Сравнить,


    Решение: Поскольку степени корней одинаковы, можно сравнить  только подкоренные выражения (основания степени). Чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень
    Сравниваем 0,04 и 1/26, то есть 4/100 и 1/26.
    Если строго, то надо привести к одному знаменателю и сравнить числители. Можно пойти другим путем: 4/100 = 1/25. Сравниваем 1/25 и 1/26. Чем больше знаменатель при одинаковых числителях, тем дробь меньше. 1/25 > 1/26. Значит, 4/100 > 1/26. Значит, 0,04 > 1/26. Значит, корень шестой степени из 0,04 больше, чем корень шестой же степени из 1/26.  

    Попробуем методом приведения к общему знаменателю 
    1/25 и 1/26 НОЗ = 25*26 = 650. Дополнительные множители 26 и 25. Получаем:
    26/625 и 25/625. Соответственно, 26/625 > 25/625, 1/25 > 1/26, 4/100 > 1/26, 0.04 > 1/26. Результат тот же.   

    Проверка.
    ₆√0,04 = 0,5848, ₆√(1/26) = 0,5810
      

  • Объясните почему уравнение не имеет корнейX во 2 степени = -1, IxI= -5. x в 6 степени +1 =0. IxI+ 10 = 0


    Решение:

     $$ x^2=-1 $$ не имеет решения, т.к. чётная степень переменной
    может быть только  неотрицательной. По этой же причине
    не имеет решений уравнение  $$ x^6+1=0 $$ , т.к. $$ x^6=-1 $$.
    Модули также не могут быть отрицательными,поэтому не имеют решений уравнения
                     $$ |x|=-5\; ;\\ |x|+10=0\; \; \to \; \; |x|=-10 $$

  • Решить: а) х в 3 степени=2-х; б) х в 3 степени=10-х; в) под корнем(х+1)=5-х; г) 3х=под корнем(10-х);


    Решение: а) х3=2-х

    х3 + х - 2 = 0

    х3 - х + 2х -2 = 0

    х(х2-1) + 2(х-1) =0

    х(х-1)(х+1) + 2(х-1)=0

    (х-1)(х2+х+2)=0

    х-1=0

    х=1

    во втором дискриминант отрицательный

    б) х3=10-х

    х3+х-10=0

    -10 делится на : +-1; +-2; +-5; +-10

    при х=2 выражение равно нулю

    делим на х-2 все выражение и получаем

    (х-2)(х2+2х+5)=0

    х-2=0

    х=2

    в)под корнем х+1=5-х

    возводим все во вторую степень

    х+1=х2-10х+25

    -х2+11х-24=0

    х2-11х+24=0

    D=121-96=25

    х=(11-5):2=3

    х=(11+5):2=8 (посторон. корень)

    г)3х= под корнем 10-х

    возводим во вторую степень

     9х2=10-х

    9х2+х-10=0

    D=1+360=361

    х=(-1+19):18=1

    х=(-1-19):18=-10:9 посторон.корень

    а) х3=2-х

    х3 + х - 2 = 0

    х3 - х + 2х -2 = 0

    х(х2-1) + 2(х-1) =0

    х(х-1)(х+1) + 2(х-1)=0

    (х-1)(х2+х+2)=0

    х-1=0

    х=1
    б) х3=10-х

    х3+х-10=0

    -10 делится на : +-1; +-2; +-5; +-10

    при х=2 выражение равно нулю

    делим на х-2 все выражение и получаем

    (х-2)(х2+2х+5)=0

    х-2=0

    х=2
    х+1=х2-10х+25

    -х2+11х-24=0

    х2-11х+24=0

    D=121-96=25

    х=(11-5):2=3

    х=(11+5):2=8 (посторон. корень)



    г)3х= под корнем 10-х

    9х2=10-х

    9х2+х-10=0

    D=1+360=361

    х=(-1+19):18=1

    х=(-1-19):18=-10

  • 129 во второй степени -8 во второй степени дробь 93 во второй степени-44 во второй степени и все это под корнем надо вычислить


    Решение: 129^=16641 корень из 16641=129

    -8^=64(минус убирается так как степень четная) корень из 64=8

    93^=8649 корень из 8649=93

    -44^=1936 корень из 1936=44

    решение:

    129 в квадрате минус 8 в квадрате/93 в квадрате-44 в квадрате

    16641-64/8649-1936

    16577/6713

    2,49 корень из 2,49 приблизительно 1,58 

    129^=16641 корень из 16641=129

    -8^=64(минус убирается так как степень четная) корень из 64=8

    93^=8649 корень из 8649=93

    -44^=1936 корень из 1936=44

    решение:

    129 в квадрате минус 8 в квадрате/93 в квадрате-44 в квадрате

    16641-64/8649-1936

    16577/6713

    2,49 корень из 2,49

<< < 1 2 3 > >>