степени »

возведение степени в степень

  • Возведите в степень: \( (a^{2}x \sqrt[3]{3 a^{2}x})^{4} \)


    Решение: Арифметические корни рассматриваются только для корней чётной степени (квадратных, например). Они должны иметь неотрицательное значение и  подкоренное выражение может быть только неотрицательным. А корни нечётных степеней могут извлекаться и из отрицательных выражений и сами могут принимать отрицательные значения. Поэтому в вашем примере никаких модулей писать не надо, т.к. корень 3 степени.

    $$ \sqrt[3]{x^3}=x\\|x|x^4= \left \{ {{x^5,\; esli\; x \geq 0,} \atop {-x^5,\; esli\; x<0.}} \right. \\(a^2x\sqrt[3]{3a^2x})^4=a^8x^4\sqrt[3]{3^4a^8x^4}=a^8x^4\sqrt[3]{3^3\cdot 3\cdot a^6\cdot a^2\cdot x^3\cdot x}=\\=a^8x^4\cdot 3\cdot a^2\cdot x\sqrt[3]{3a^2x}=3a^{10}x^5\sqrt[3]{3a^2x} $$

    $$ \sqrt[2n]{a^{2n}}=|a| $$

    $$ \sqrt[3]{-8}=-2 $$

  • Возведите в степень произведение:(-4а) в 3 степени
    (-0,1у) в 4 степени
    (-5ху) во 2 степени
    (-3/4 авс ) в 3 степени
    Выполните возведение в степень, представив предварительно основание степени в виде произведения множителей -1 и а :
    (-а) ^2
    (-а) ^3
    (-а) ^6
    (-а) ^5
    (-а) ^200
    (-а) ^23
    (-а) ^2n
    (-а) ^2n+1


    Решение: (-4а)³ = - 64a³ ;
    (-0.1y)    ⁴ = 0.0001 y⁴ ;
     (-5ху)    ²= 25 x² y² ;
     (-3/4 авс)^3 = - 27/64 a    ³ в³ c³
    (-а)²=а²
    (-а)³= - а³
    (-а)⁶=а⁶
    (-а)⁵= -а⁵
    (-а)²°° = а²°°
    (-а)²³= -а²³
    (-а) ^2n = a^2n, ⇒ 2n - четная степень переменной (-а)
    (-a) ^ (2n+1) = - а ^(2n+1) , ⇒. (2n+1) - нечетная степень переменной (-а)

  • Выполните действие 8х*(-1 дробная черта 2 у)=???

    3 дробная черта 4а *(-2 дробная черта 3 х)=???

    Выполните возведение в степень :

    (4m в 3 степени) во 2 степени=???

    (-3у во 2 степени)в 4 степени


    Решение: $$ 8x(-\frac{1}{2} y)=-4xy \\ \frac{3}{4a} (- \frac{2}{3} x)=- \frac{x}{2a} \\ (4m ^3)^2=16m^6 \\ (-3y^2)^4=81y^8 $$

     8х*(-1 дробная черта 2 у)=???
    8x*(-1/2y)=8(-1/2)xy=-4xy
    8x*(-1/(2y))=8(-1/(2y))x=-4x/y
    3 дробная черта 4а *(-2 дробная черта 3 х)=???
    3/4a*(-2/3x)=3/4*(-2/3)ax=-1/2ax
    3/(4a)*(-2/3x)=3/4*(-2/3)ax=-1/(2a)*xвыполните возведение в степень :
      
    (4m в 3 степени)во 2 степени=???
    (4m^3)^2=(4m^3)(4m^3)=16m^6
    (-3у во 2 степени)в 4 степени
    (-3y^2)^4=(-3^4)(y^2)^4=81y^8


  • Разложите на множители:1) m^2-81
    2) b^2-121c^2
    3) 169m^2-16n^2
    4) 36m^4-k^2p^2
    5) (a+3)^2-144
    6) p^3-t^3
    7) 27-p^3
    8) 8t^3+1
    9) 8p^3+125t^3
    10) c^2-2cm+m^2
    11) 9+6c+c^2
    12) 81c^2-36cm+4m^2
    13) 25c^2+10cm^2+m^4
    ( ^ - знак возведения в степень)


    Решение: 1. m^2-81=(m+9)*(m-9)
    2. b^2-121c^2= (b-11с)*(b+11с)
    3. 169m^2-16n^2= (13m-4n)*(13m+4n)
    4. 36m^4-k^2p^2=(6m^2-kp)*(6m^2+kp)
    5. (a+3)^2-144=(а+3-12)*(а+3+12)
    6.     p^3-t^3=(p-t)*(p^2+рt+t^2)
    7. 27-p^3=(3-р)*(9+3р+р^2)
    8.     8t^3+1=(2t+1)*(4t^2-2t+1)
    9.     8p^3+125t^3=(2p+5t)*(4p^2-10pt+25t^2)
    10.     c^2-2cm+m^2= (c-m)^2
    11.     9+6c+c^2= (3+c)^2
    12.     81c^2-36cm+4m^2= (9c-2m)^2
    13.     25c^2+10cm^2+m^4= (5c+m^2)^2

  • Отличие возведения в степень (-2^3) и (-2)^3


    Решение: В данном случае никакой разницы нет, ибо степень отрицательная...Если же степень положительная, то во втором случае знак меняется на плюс.

    В данном случае разницы в результате нет, но разница в понимании выражения есть. В первом случае в куб возводится только 2, и в результате ставится минус перед этим выражением - получится -8.

    Во втором случае в куб возводится (-2), получится тоже -8.

    Но! Важно понимать! если бы показатель степени был чётный, то результат был бы противоположным!

  • Число 3 возвели в 23ю степень. Полученное число вновь возвели в 23ю степень и так далее. Возведение повторено 2015 раз. Определите последнюю цифру полученного числа.


    Решение: 3^1=3
    3^2=9
    З^3=27
    3^4=81
    3^5=243
    3^6=729
    3^7=2187
    3^8=6561
    Видно, что при возведении в степень числа 3 последняя цифра в результате чередуется в следующей последовательности:
    3, 9, 7, 1.
    Далее можно не записывать первые цифры результата, а учитывать только последние цифры, посколько именно они влияют на последнюю цифру итогового числа.
    3^9=...3
    3^10=...9
    3^11=...7
    3^12=...1
    3^13=...3
    3^13=...9
    3^14=...7
    3^15=...1
    3^16=...3
    3^17=...9
    3^18=...7
    З^19=...1
    3^20=...3
    3^21=...9
    3^22=...7
    3^23=...1
    То есть 3^23 заканчивается цифрой 1.

    В какую бы степень не возводили это число, заканчивающееся цифрой 1, в результате всегда будет число, также оканчивающееся на 1.

    Ответ: последняя цифра полученного числа является 1.


  • Выведите формулу суммы ряда степеней числа. Например 1+2^1+2^2+2^3+..+2^n, нужно найти сумму, предположим, 1+2^1+2^2+2^3+...+2^25. И вывод, если можно. (знак " ^ " - означает возведение в степень).


    Решение: Тема называется "Сумма геометрической прогрессии". Вывод очень простой: раскрываем скобки в выражении:
    $$ (1-n)(1+n+n^2+\ldots+n^{k-1})=\\=(1-n)+(n-n^2)+(n^2-n^3)+\ldots+(n^{k-1}-n^k)=\\=1-n^k $$.
    Видим, что все слагаемые кроме первого и последнего сокращаются. Поэтому
    $$ 1+n+n^2+n^3+\ldots+n^{k-1}=\frac{1-n^k}{1-n} $$. В таком виде и рекомендую запоминать. У вас сумма там до k, но, надеюсь понятно, как изменится ответ.
    P.S. Все это верно, если конечно $$ neq1 $$, и k - натуральное. Если n=1, то такую сумму посчитать тоже нет проблем.

  • Найдите остаток при делении разности 43^43 - 17^17 на 10. ^ - знак возведения в степеньОтветы
    А.5
    Б.2
    В.1
    Г.0
    Е.7
    по подробнее о нахождении остатков от делении чисел в степенях


    Решение:

    43*43 -на конце 9, еще раз на 43 - на конце 7,еще раз ...1, еще раз...3, еще....9. Период 4. Так что
    43^43 число заканчивающееся на 1 (43 при делении на 4 дает остаток 3, поэтому на конце произведения 3-е число из периода)
    17*17 - на конце 9, еще раз ...3, еще раз ...1, еще раз... 7 еще...9
    период тоже 4. На конце 9 ( первое из периода)
    Разность заканчивается на 2.
    Итак  
    43^43 - 17^17 заканчивается на 2
    Следовательно искомый остаток от деления на 10 равен 2

  • Сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5.По этому правилу найдите значение степеней:15^2, 35^2, 55^2,85^2, 105^2


    Решение: 15^2=225

    35^2=1225

    55^2=3025

    85^2=7225

    105^2=11025

    Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

    35^2=3*4=12 и риписываем 25

    Для возведения в квадрат число оканчивающиеся на пять,нужно умножить число,полученное после отбрасывания последней пятёрки на следующее в ряду натуральных чисел и крезультату приписать 25

    15^2=1х2=2 и приписываем 25=225 

    35^2=3х4=12 и приписываем 25=1225

    55^2=5х6=30 и приписываем 25=3025

    85^2=8х9=72 и приписываем 25=7225

    105^2=10х11=110 и приписываем 25=11025 

  • Формула для предела от 0 до n с выполнением операции соложения или вычитания а так же возведения в степень каждого шага доn


    Решение: $$ \lim_{x\rightarrow 0}{\sum{y_i}} $$ сумма по i от 0 до n,
    $$ \lim_{x\rightarrow 0}{\sum{y^i}} $$ сумма по i от 0 до n

    в первом случае i - индекс, а во втором - степень, в которую возводим

1 2 > >>