степени » запишите в виде степени
  • Запишите корни в виде степени с рациональным показателем: \( \frac{1}{8}\sqrt[7]{2^{15}\cdot ax^8} \), \( \sqrt[3]{a^7\sqrt[4]{a}} \), \( \sqrt[9]{b^8}\cdot \sqrt[3]{b} \), \( \frac{1}{3}\sqrt[3]{27\sqrt[3]{x}} \)


    Решение: $$ \frac{1}{8}\sqrt[7]{2^{15}\cdot ax^8}=\\=\frac{1}{8}\cdot(2^{15})^\frac{1}{7}\cdot (ax^8)^\frac{1}{7}=\\=\frac{1}{8}\cdot2^\frac{15}{7}\cdot a^\frac{1}{7}x^\frac{8}{7}=\\ =2^{2\frac{1}{7}-3}\cdot a^\frac{1}{7}x^\frac{8}{7}=\\=2^{-\frac{6}{7}}\cdot a^\frac{1}{7}x^\frac{8}{7} $$

    $$ \sqrt[3]{a^7\sqrt[4]{a}}=a^\frac{7}{3}\cdot(a^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}=a^\frac{7}{3}\cdot a^\frac{1}{12}=a^\frac{29}{12} $$

    $$ \sqrt[9]{b^8}\cdot \sqrt[3]{b}=b^\frac{8}{9}\cdot b^\frac{1}{3}=b^\frac{11}{9} $$

    $$ \frac{1}{3}\sqrt[3]{27\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{3}\cdot(3^3)^\frac{1}{3}\cdot (x^\frac{1}{3})^\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot3\cdot x^\frac{1}{9}=x^\frac{1}{9} $$

  • 1. Сформулируйте основное свойство степени
    2.
    1) Как можно возвести в степень произведение чисел, степень числа?
    2) Запишите результат вычислений в виде \( а*10^{n} \), где \( 1^{\leq } a < 10 \) a)\( (5*10^{4})^{3} \)
    б) \( (7*10^{5} )^{3} * (2*10^{6})^{2} \)
    3. Замените выражение \( (p^{2})^{5}*(p^{4})^{3} \) степенью с основанием p, указывая, какие свойства степени вы применяете.
    4. Вычислите \( \frac{( (2^{5}) ^{2} * 3^{8} )}{ 6^{6} } \)


    Решение: Основное свойство степени:
    1. Каким бы ни было число а и натуральные показатели степеней m и n, всегда 
    (a^m) * (a^n) = a^(m + n)
    Например: a³ * a⁶ = a³⁺⁶ = a⁹
    2. 
    1) Как можно возвести в степень произведение чисел, степень числа?
    а) n-я степень произведения равна произведению n-ых степеней множителей.
    Например: (2*3)⁴ =(2⁴) * (3⁴)
    б) При возведении степени в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основание оставить прежним.
    Например: (2³)⁴ = 2¹²; 
    2) Запишите результат вычислений в виде а*(10^n), где 1 ≤ a < 10:
    a) (5*10⁴)³ =5³ * 10¹² = 125*10¹²
    б) (7*10⁵)³*(2*10⁶)² = 7³ * 10¹⁵ 2² * 10¹² = 343 * 4*10²⁷ = 1372*10²⁷
    3. Замените выражение (p²)⁵*(p⁴)³ = p²*⁵ * p⁴*³ = p¹⁰*p¹² =
     = p¹⁰⁺¹² = p²² степенью с основанием p, указывая, какие свойства степени вы применяете.
    4. Вычислите 
    [(2⁵)² * 3⁸)] / (6⁶) = [(2⁵*² * 3⁸] / (2⁶*3⁶) = (2¹⁰ * 3⁸) / (2⁶ * 3⁶) = 2¹⁰⁻⁶ * 3⁸⁻⁶ = 2⁴ * 3² = 16*9 = 144
  • Запишите произведение одночленов в виде одночлена стандартного вида. Определите степень этого одночлена. (- 6/7 a³b⁵)² * (1 1/6 a²b)³ * (- 2/3 ab)³


    Решение: (- 6/7 a³b⁵)² * (1 1/6 a²b)³ * (- 2/3 ab)³ = 36/49 a⁶b¹⁰ * (7/6 a²b)³ * (- 8/27 a³b³) = 36/49 a⁶b¹⁰ * 343/216 a⁶b³ * (- 8/27 a³b³) = 36 * 343 * (-8) / 49 * 216 * 27 a¹⁵b¹⁶ = - 28/81 a¹⁵b¹⁶. Степень одночлена 31.
  • 1. \( \frac{2^21*27^3+15*4^10*9^4}{6^9*2^10+12^10} \) вычислить
    2. Найти частное от деления 16⁵+2¹⁵ на 33 в виде степени числа 2. В ответ записать показатель степени.
    3.Выполнить деление многочлена 2x³-3x²-11x+6 на двучлен x-3 и найти значение полученного частного, если x=-2
    4. Какой цифрой оканчивается значение выражения 15⁹+26⁹+39⁹?
    5. Какой цифрой оканчивается число 99⁹⁹^⁹?
    6.Найти, при каких значениях а и b многочлен x⁴+6x³+3x²+ax+b делится без остатка на многочлен x²+4x+3. В ответ запишите сумму a₀+b₀ найденных значений a и b.


    Решение: 1
    $$ (2 ^{21} *3^9+5*2 ^{20} *3^8)/(2 ^{19} *3^9+2 ^{20} *3 ^{10} )= \ 2 ^{20} *3^9(2+5)/(2 ^{19} *3^9(1+2*3))=2 $$
    2
    $$ (2 ^{20} +2 ^{15} )/33^2=2 ^{15} (32+1)/33^2=2 ^{15} /33 $$
    3
    2x³-3x²-11x+6 |x-3
    2x³-6x² 2x^2+3x-2
    ---------------
      3x²-11x
      3x²-9x
      -----------------
      -2x+6
      -2x+6
      ---------------
      0
    x=-2 2*4+3*(-2)-2=8-6-2=0
    4
    15^9 оканчивается на 5
    26^9 оканчивается на 6
    39^9
    в 1 оканчивается на 9
    во 2 оканчивается на 1
    в 3 оканчивается на 9
    .............................................
    в 9 оканчивается на 9 (в нечетной степени)
    5+6+9=20,значит оканчивается на 0
    5
    99^9 оканчивается на 9, значит (99^99)^9 оканчивается на 9 (см 4)
    6
    x^4+6x³+3x²+ax+b |x²+4x+3
    x^4+4x³+3x² x²+2x-8
    ----------------------
      2x³+ +ax
      2x²+8x²+6x
      ----------------------------
      -8x²+(a-6)x+b
      -8x²-32x-24
      -----------------------------
      0
    a-6=-32⇒a=-32+6=-26
    b=-24

  • Составьте квадрат суммы двух одночленов.Ответ запишите в виде степени и в видемногочлена.
    2x и 5
    x и 3y
    6a и 7b
    2k и 3

    Пользуясь формулой квадрата суммы,вычислите значение выражения:10,2=(10+0,2)
    104=(100+4)
    32
    51
    ПРИМЕЧАНИЕ:все числа во второй степени.

    Представьте многочлен в виде квадрата суммы:4a+4ab+b
    k+2kb+b
    1+2m+m
    одна четвертая+p+p
    ПРИМЕЧАНИЕ:4a,b k,b m p во второй степени




    Решение: Составьте квадрат суммы двух одночленов.Ответ запишите в виде степени и в виде многочлена.(2x + 5)² = 4x² + 20x + 25
    (x + 3)
    ² = x² + 6x + 9
    (6a + 7b)
    ² = 36a² + 84ab + 49b²
    (2k + 3)
    ² = 4k² + 12k + 9

    Пользуясь формулой квадрата суммы,вычислите значение выражения:10,2
    ² = (10+0,2)² = 100 + 4 + 0,04 = 104,04
    104
    ²=(100+4)² = 10000 + 800 + 16 = 10816
    32
    ² = (30 + 2)² = 900 + 120 + 4 = 1024
    51
    ² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601
    ПРИМЕЧАНИЕ:все числа во второй степени.

    Представьте многочлен в виде квадрата суммы:4a
    ²+4ab+b² = (2a + b)²
    k
    ²+2kb+b² = (k + b)²
    1+2m+m
    ² = (1 + m)²
    1/4+p+p
    ² = (1/2 + p)²
    ПРИМЕЧАНИЕ:4a,b k,b m p во второй степени


  • Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида(2а-7)*(3-а)
    (3а-b)*(5b-a)
    4a*(a-b)-(a+b)*(4a-b)
    (3a-2)*(a+3)+(a-4)*(1-3a)
    (2a-3) во второй степени
    3(x-1)(x+2)
    (3x-7)*(2-x)
    (2x-y)*(3y-x)
    3x*(x-y)-(x+y)*(3x-y)
    (5x-1)*(x+2)+(x-1)*(2-5x)
    (3x-2) во второй степени
    2(х-3)(x+1)


    Решение: (2a-7)(3-a)=6a-2a^2-21+7a=-2a^2+13a-21
    (3a-b)(5b-a)=15ab-3a^2-5b^2+ab=16ab-3a^2-5b^2
    4a(a-b)-(a+b)(4a-b)=4a^2-4ab-4a^2+ab-4ab+b^2=b^2-7ab
    (3a-2)(a+3)+(a-4)(1-3a)=3a^2+9a-2a-6+a-3a^2-4+12a=20a-10
    (2a-3)^2=4a^2-12a+9
    3(x-1)(x+2)=(3x-3)(x+2)=3x^2+6x-3x-6=3x^2-3x-6
    (3x-7)(2-x)=6x-3x^2-14+7x=-3x^2-7x-14
    3x(x-y)-(x-y)(3x-y)=3x^2-3xy-3x^2+xy+3xy-y^2=xy-y^2
    (5x-1)(x+2)+(x-1)(2-5x)=5x^2+10x-x-2+2x-5x^2-2+10x=21x-4
    (3x-2)^2=9x^2-12x+4
    2(x-3)(x+1)=(2x-6)(x+1)=2x^2+2x-6x-6=2x^2-4x-6

  • Задание 1) Представьте \( 2^{60} \) в виде степени с основанием:
    1)4 2)8 3)16 4)32
    Задние 2) даны числа: \( 1^{50}; 2^{40}; 3^{30}; 4^{20}; 5^{10} \) какое из них самое большое и почему?
    Задание 2) Запишите выражение в виде степени с показателем 2:
    1) \( 49 x^{8} y^{6} \) 2)\( 100 a^{10} b^{10} \)
    3) \( \frac{16}{25} m^{12} n^{4} \) 4) \(0.125 a^{14} b^{16} \)


    Решение:

    1) 2⁶⁰=(2²)³⁰=4³⁰
      2⁶⁰=(2³)²⁰=8²⁰
      2⁶⁰= (2⁴)¹⁵=16¹⁵
       2⁶⁰=(2⁵)¹²=32¹²
    2)1⁵⁰=1
    2⁴⁰=(2⁴)¹⁰=16¹⁰
    3³⁰=(3³)¹⁰=27¹⁰
    4²⁰=(4²)¹⁰=16¹⁰
    Самое большее 3³⁰=27¹⁰
    потому что 27 больше 16 и больше 5
    ---------------------------------
    1) 49х⁸у⁶=(7х⁴у³)²
    2) 100х¹⁰у¹⁰=(10х⁵у⁵)²
    3)(16/25)m¹²n⁴=((4/5)m⁶n²)²
    4)0,25a¹⁴b¹⁶=(0,5a⁷b⁸)²
    0,125 a¹⁴b¹⁶=(∛(0,125)a⁷b⁸)²


  • Запишите в виде степени выражение.8 в 8 степени умножить на 8 в 2 степени решение.


    Решение: 8 в 8 степени умножить на 8 в 2 степени=8 в 10 степени

    8 в 8 степени умножить на 8 во 2 степени будет 8 в 10 степени (при умножении чисел с одинаковыми основаниями показатели степени складываются) И 8 в 10 степени это будет 8x8x8x8x8x8x8x8x8x8=8589934592

  • 1) Запишите выражение 10^5*100^-6 ------------------ в виде степени с основанием 10 10^-6*100^5 2) Представьте в виде произведения 2 двучленов выражение x^2+12yz-4xz-3yz


    Решение: N 1

    1) 10 ^ 5 * (10^2)^-6 = 10 ^ 5 * 10 ^ -12 = 10 ^ (5 - 12) = 10 ^ - 7 - числитель

    2) 10 ^-6 * (10^2)^5 = 10 ^-6 * 10^ 10 = 10 ^(-6 +10) = 10 ^ 4 - знаменатель

    3) 10 ^ - 7 \\ 10 ^ 4 = 10 ^ (-7 - 4) = 10 ^ - 11

    ответ десять в минус одиннадцатой степени

    ................................................................

    N 2

    X^2 + 12YZ - 4XZ - 3YZ = (X^2 - 4XZ) +(12YZ - 3YZ) = X*(X - 4Z) + 3YZ*(4 - 1) =

    = X*(X - 4Z) + 9YZ 

  • Запишите выражение \( \frac{27^2 \cdot 9^{-3}}{243^{-2}} \) в виде степени числа 3


    Решение:

    Так оно уже почти записано.

    Смотри 

    27 = 3*3*3 = 3^3. Значит 27^2 = (3^3)^2 = 3^6.

    9 = 3*3 = 3^2. Значит 9^(-3)= (3^2)^(-3) = 3^(-6).

    Таким образом, числитель = 3^6 * 3^(-6) = 3^0 =1.

    теперь знаменатель

    243=3*3*3*3*3 = 3^5, значит 243^(-2) = (3^5)^(-2)=3^(-10)

    Ну и ответ

    1/3^(-10) = 3^10.

    (3³)²·(3²)⁻³/(3⁵)⁻²=3⁶·3⁻⁶/3⁻¹⁰=3¹⁰

1 2 > >>