степени »

неравенство степень - страница 9

  • Решите неравенство: (2x+1)-² < (49/16)^-1 или по другому (2х+1) в минус второй степени меньше (49/16) в минус первой степени


    Решение:

    $$ (2x+1)^{-2} < (\frac{49}{16})^{-1}\\\frac{1}{(2x+1)^2} < \frac{16}{49}\\(\frac{1}{2x+1})^2-(\frac{4}{7})^2 < 0\\(\frac{1}{2x+1}-\frac{4}{7})(\frac{1}{2x+1}+\frac{4}{7}) < 0\\\frac{7-4(2x+1)}{7(2x+1)}\cdot \frac{7+4(2x+1)}{7(2x+1)} < 0\\\frac{(-8x+3)(8x+11)}{7^2(2x+1)^2} < 0\\7^2(2x+1)^2 > 0\; pri\; xe -\frac{1}{2}\; \; \Rightarrow \; \; -(8x-3)(8x+11) < 0\\(8x-3)(8x+11) > 0 $$

    $$ +++(-\frac{11}{8})---(\frac{3}{8})+++\\x\in (-\infty ,-\frac{11}{8})\cup (\frac{3}{8},+\infty ) $$

  • решить неравенство 9^x-3^x-6>0 (иксы в степенях)


    Решение: Замена переменной
    $$ 3 ^{x}=t>0, \\ 9^{x}=(3 ^{x}) ^{2} =t ^{2} $$
    Решаем квадратное неравенство
    t² - t - 6 >0
    Уравнение
    t² - t - 6 =0
    D=1-4(-6)=25=5²
    t₁=(1-5)/2=-2  или  t₂=(1+5)/2=3
    Решением неравенства
    t² - t - 6 >0
    являются t∈(-∞;-2)U(3;+∞)
    можно записать в виде неравенства
      t<-2 или t>3 
      Так как t>0, то решаем только второе неравенство
    Возвращаемся к переменной х
    $$ 3^{x}>3 $$
    х>1
    Показательная функция с основанием 3>1 возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

  • Решите неравенство:
    х^3+9x^2+14x<0
    (икс в третей степени плюс 9 икс во второй степени плюс 14 икс меньше нуля)


    Решение:

    Левая часть легко раскладывается на множители:
    $$ x^3+9x^2+14x=x(x^2+9x+14)=x(x+2)(x+7) $$
    Дальше метод интервалов.

    Ответ.
    $$ (\infty,-7)\cup(-2,0) $$

    $$ x^{3} +9 x^{2} +14x<0 \\ x( x^{2} +9 x+14)<0 \\ x(x+2)(x+7)=0 \\ x=0 \\ x+2=0 \\ x=-2 \\ x+7=0 \\ x=-7 \\ \\ $$


      - + - +
    ------------|-------------------|------------------------|---------------------> x
      -7 -2 0
      
    Ответ: x∈ $$ (- \infty ;-7) U (-2;0) $$


  • Решить неравенство: 1)2(2x-3)+3(x-2)>=2 2)9x(во второйстепени)+12x+4>0


    Решение: 4х-6+3х-6=2

    7х=2+12

    7х=14/7

    х>=2

    1)4х -6 +3х -6>=2

    7х>=12+2

    7х>=14 \:2

    х>=2

    Ответ: [2; +бесконечности)

    2)9х(во второй степ) +12х+4=0

    a=9 b=12 c=4

    х= -12

    Ответ:(-12; до плюс бесконечности)

  • Докажите неравенство:a) 12b+8>4b+8(b-0,5)=; б) (b-3)(b+3)>b во второй степени -14=; в) 2x во второй степени+13x+3<(2x+5)(x+4)=


    Решение: a) 12b+8>4b+8(b-0,5)
    Рассмотрим разность левой и правой части, если она > 0 то неравенство доказано
    12b + 8 - 4b- 8(b-0,5) =12b + 8 - 12b + 4 = 12> 0
    неравенство доказано
    б) (b-3)(b+3)>b^2 - 14
    Рассмотрим разность левой и правой части, если она > 0 то неравенство доказано
    (b-3)(b+3) - b^2 + 14 = b^2 - 9 - b^2 + 14 = 5>0
    неравенство доказано
    в) 2x^2 +13x+3<(2x+5)(x+4)
    Рассмотрим разность левой и правой части, если она < 0 то неравенство доказано
    2x^2 + 13x + 3 - (2x+5)(x+4) = 2x^2 + 13x + 3 - 3x^2 - 13x - 20 = -x^2 - 17 < 0
    Так как -x^2<=0, а -17<0 всегда
    неравенство доказано



    А)12b+8>12b-4
    8>4
    б)bво втор.ст.-9>bво вт.ст-14
      -9>-14
    в)2х ввтст+13х+3<2х ввтст+13х+20
      3<20
     

<< < 789 10 11 > >>