дроби »

сократите дробь - страница 19

  • Сократите дробь
    \( \frac{ x^{2} -4x+1}{ x^{2} -(2+ \sqrt{3})x+7+4\sqrt{3} } \)


    Решение: $$ \frac{x^2 - 4x + 1}{x^2-2(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3}} = \\\\ 1. \ x^2 - 4x + 1 = 0\\\\ D = 16 - 4 = 12\\\\ x_1 = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\\\\ x_2 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\\\\ x^2 - 4x + 1 = (x - 2 + \sqrt{3}) (x - 2 - \sqrt{3}) \\ 2. \ x^2-2(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3}\\\\ x^2 - 2(2+\sqrt{3})x + 4 + 4\sqrt{3} + 3\\\\ x^2 - 2(2+\sqrt{3})x + 2^2 + 2*2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\\\\ x^2- 2(2+\sqrt{3})x + (2 + \sqrt{3})^2\\\\ (x - (2 + \sqrt{3}))^2 \\\\ = \frac{(x - 2 + \sqrt{3})(x - 2 - \sqrt{3})}{(x - 2 - \sqrt{3})^2} = \boxed{\frac{x - 2 + \sqrt{3}}{x - 2 - \sqrt{3}}} $$
    Ежели тут знаменатель, как указано в условии, то сократить ничего не удастся, ибо у него комплексные корни.
    $$ x^2-(2+\sqrt{3})x + 7+4\sqrt{3} = 0\\\\ D = (2 + \sqrt{3})^2 - 4*(7+4\sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})^2 - 4*(2 + \sqrt{3})^2 =\\\\= (1 - 4)(2 + \sqrt{3})^2 = -3(2 + \sqrt{3})^2 < 0 $$

  • Сократите дробь (2х^2+x-15)/x^2+6x+9


    Решение: $$ \frac{(2x^{2} +x-15)}{x^{2} +6x+9} \\ \frac{(2x^{2} +x-15)}{(x+3)^{2} } $$
    Числитель же разложим по формуле Виета:
    $$ 2 x^{2}+x-15 \\ x_{1} +x_{2}=1 \\ x_{1} *x_{2}=2*(-15)=-30 $$
    Подбираем числа, и получаем 6 и -5
    $$ 2 x^{2}+6x-5x-15 $$
    2x(x+3)-5(x+3)=(2х-5)(х+3)
    Теперь вставляем полученное выражение в числитель дроби
    $$ \frac{(x+3)(2x-5)}{(x+3) ^{2} } \\ \frac{2x-5}{x+3} $$
    Ответ:$$ \frac{2x-5}{x+3} $$

  • Сократите дробь:
    \( \frac{x^{4} - 13x^{2} + 36}{(x-3)(x+2)} \)


    Решение: $$ \frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}= \frac{(x^4-12x^2+36)-x^2}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x^2-6)^2-x^2}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x^2-6)^2-x^2}{(x-3)(x+2)}= \\ =\frac{(x^2-6-x)(x^2-6+x)}{(x-3)(x+2)} $$
    разложим квадратные трехчлены в числителе:
    $$ x^2-x-6 $$
    по теореме Виета:
    $$ x_1+x_2=1 \\ x_1*x_2=-6 \\ x_1=3,x_2=-2 \\x^2-x-6=(x-3)(x+2) \\ x^2+x-6 $$
    по теореме Виета:
    $$ x_1+x_2=-1 \\ x_1*x_2=-6 \\ x_1=-3,x_2=2 \\x^2+x-6=(x+3)(x-2) \\ \frac{(x^2-6-x)(x^2-6+x)}{(x-3)(x+2)}=\frac{(x-3)(x+2)*(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=(x+3)(x-2) $$

  • Сократите дробь ( (3x)^3 * x^-9 ) / ( x^-10 * 2x^4 )


    Решение:

  • Сократите дробь
    9x+24√xy+16y/ √9x^5+ √16x^4y


    Решение: Числитель преобразуется по формуле а+в в квадрате (а квадрат +2 ав плюс в квадрат) и получается $$ ((3\sqrt{x} +4\sqrt{y} ))^2 $$
    Знаменатель будет $$ 3*\sqrt{x} \cdot x^{2}+4 x^{2} \cdot \sqrt{y} = x^{2} (3\sqrt{x}+4\sqrt{y}) $$
    Сокращается и получается $$(3 \sqrt{x} +4 \sqrt{y})/ x^{2} $$

<< < 171819 20 21 > >>