дроби »

числитель обыкновенной дроби

  • Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 1/4. Найдите эту дробь.


    Решение: Пусть х -числитель, у - знаменатель

    $$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1}=2\\\frac{x-1}{y+1}=\frac{1}{4} \end{cases} $$ 

    Выразим у из первого уравнения и подставим во второе

      $$ \begin{cases}y= \frac{x^2+2}{2}\\\frac{2x-2}{x^2+4}=\frac{1}{4} \end{cases} \\ \begin{cases}y= \frac{x^2+2}{2}\\x^2-8x+12=0 \end{cases} $$ 

    D=64-48=16

      $$ \begin{cases}y= 3\\x=2 \end{cases} $$

    или

    $$ \begin{cases}y= 19\\x=6 \end{cases} $$

    Ответ: 6/19 или 2/3 

  • Числитель обыкновенной дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.


    Решение: x-числитель 
    2+x-знаменатель 
    затем: 
    x+1-числитель 
    5+x-знаменатель 
    составляете равенство: 
    x:(2+x)=x+1 : (5+х) 
    пропорция, значит: 
    (2+х) умноженное(х+1)=х(5+х) 
    2х+2+х(в квадрате)+х=5х+х(в квадрате) 
    -2х=-2 
    х=1 
    отсюда знаменатель 1+2=3

  • Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. если числитель увеличить на 5, а знаменатель на 3, то дробь увеличиться на 1/2 найдите эту дробь


    Решение: пусть x- знаменатель, (x-1) - числитель
    после преобразования: числитель -(x-1+5) знаменатель -  (x+3)
    составим уравнение:
    $$ \frac{x+4}{x+3} = \frac{x-1}{x} + \frac{1}{2} \\ \frac{2x-2+x}{2x} = \frac{x+4}{x+3} \\ (3x-2)(x+3)=2x*(x+4) \\ 3 x^{2} +9x-2x-6-2 x^{2} -8x=0 \\ x^{2} -x-6=0 $$
    D=1+24=25
    x1=3
    x2= - 2 не подходит
    получаем дробь: $$ \frac{2}{3} $$

    Заданная дробь имеет вид  $$ \frac{x-1}{x} $$.
    Преобразованная дробь имеет вид  $$ \frac{x-1+5}{x+3}=\frac{x+4}{x+3} $$.
    $$ \frac{x+4}{x+3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x-1}{x}\\\\2x(x+4)=(x+3)(x-1)\\\\2x^2+8x=x^2+2x-3\\\\x^2+6x=3\\\\(x+3)^2-9=3\\\\(x+3)^2=6\\\\x+3=\pm \sqrt6\\\\x_1=-3- \sqrt6,\; x_2=-3+\sqrt6 $$
    Две дроби получаем: $$ \frac{-4-\sqrt6}{-3-\sqrt6}\; \; \frac{-4+\sqrt6}{-3+\sqrt6}\;. $$

  • Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.


    Решение: пусть 

    $$ \frac{a}{b} $$

    искомая дробь. тогда составим систему уравнений:

    $$ \left \{ {{\frac{a+7}{b^2}=\frac{3}{4}} \atop {\frac{a}{b+6}=\frac{1}{2}}} \right.\\ \left \{ {{a=\frac{b+6}{2}} \atop {\frac{b+20}{2b^2}=\frac{3}{4}}} \right. \\ 6b^2-4b-80=0\\ 3b^2-2b-40=0\\ D=4+480=22^2\\ b_1=4 \ b_2=-\frac{10}{3}\\ a_1=5 \ a_2=\frac{4}{3} $$

    т. к. дробь обыкновенная, то искомая дробь: 5/4

  • Составить уравнение и решить:
    1) Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится дробь 2 целых 1/30. Найдите исходную дробь.
    2) Числитель обыкновенной дроби на 7 больше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 3, то данная дробь увеличится на 37/88. Найдите первоначальную дробь.


    Решение: Пусть х-числитель дроби, тогда х+1 - ее знаменатель.

    обратная ей дробь имеет в числителе х+1, а в знаменателе х

    ОДЗ: х≠0 и х≠-1

    30х²+30х²+60х+30-61х²-61х=0

    60х²-х+30-61х²=0

    -х²-х+30=0   умножим всё уравнение на (-1)

    х²+х-30=0

    D=1-4*1*(-30)=1+120=121=11²

    х=(-1-11)/2=-12/2=-6 

    х=(-1+11)/2=10/2=5

    значит, числитель равен или -6, или  5

    1 случай

    х=-6 

    х+1=-6+1=-5

    дробь

    =1 целая 1/5

    2 случай

    х=5

    х+1=5+1=6

    дробь  

  • Числитель обыкновенной дроби меньше её знаменателя на 5. Если числитель дроби увеличить в два раза, а знаменатель в полтора раза, то дробь увеличится на 1/8. Найдите дробь.


    Решение: Если числитель меньше знаменателя на 5, то первая дробь будет такой 
    х/х+5
    После увеличения числителя в 2, а знаменателя в 1.5 раза дробь будет такой
    2х/1,5(х+5)
    По условию первая дробь увеличится на 1/8
    Составим уравнение 2х/1,5(х+5) - х/х+5 = 1/8
    После приведения к общему знаменателю получаем
    16х-12х-1,5х=7,5
    2,5х=7,5
    х=3
    Так как дробь у нас х/х+5, то подставляем 3 вместо х, получаем 3/3+5,
     получаем 3/8 
     

  • Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше его знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 4, то дробь уменьшится на 1/6 (одну шестую). Найти данную дробь. Задача решается через уравнение


    Решение: Пусть знаменатель дроби х, числитель (х-7).
    Дробь (х-7)/х.
    Если числитель этой дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 4, то получим дробь ((х-7)-1)/(х+4)=(х-8)/(х+4).
    По условию дробь уменьшится на 1/6.
    Уравнение (х-7)/х - (1/6)=(х-8)/(х+4).
    Умножаем  на 6х(х+4)≠0.
    6(х+4)(х-7)-х(х+4)=6х(х-8);
    х²-26х+168=0
    D=(-26)²-4·168=676-672=4.
    x=(26-2)/2=12 или  х=(26+2)/2=14
    х-7=12-7=5  или х-7=14-7=7
    дробь 5/12  7/14
    (5-1)/(12+4)=4/16=1/4-  (7-1)/(14+4)=6/18=1/3
    новая дробь
    (5/12)-(1/6)=(5/12)-(2/12)=3/12=1/4  (7/14)-(1/6)=(21/42)- (7/42)=14/42= =1/3
    О т в е т. 5/12  или 7/14.

  • Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше его знаменателя. Если чеслитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь
    будет на 1\3 меньше исходной. Найдите исходную дробь.


    Решение: Х- числитель
    х+5 - знаменатель дроби
    х-3 - уменьшенный числитель
    х+5+4=х+9 - новый знаменатель
    $$ \frac{x}{x+5}- \frac{x-3}{x+9} = \frac{1}{3} $$
    3x(x+9)-3(x-3)(x+5)=(x+5)(x+9)
    3x²+27x-3x²-15x+9x+45=x²+14x+45
    x²-7x=0
    x₁=0, x₂=7,
    $$ \frac{7}{12}- \frac{4}{16} = \frac{7}{12}- \frac{1}{4} = \frac{7-3}{12} = \frac{4}{12}= \frac{1}{3} $$
    Ответ: $$ \frac{7}{12} $$ - исходная дробь

  • Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на 1/5. Найдите эту дробь.


    Решение: X - числитель, у -знаменатель
    x+4=y
    (x+19)/(y+28)=(x/y)+1/5
    Решаем
    (x+19)/(x+4+28)=(x/(x+4))+1/5
    $$ \frac{x+19}{x+32}= \frac{x}{x+4}+ \frac{1}{5} \\ \frac{x+19}{x+32}- \frac{x}{x+4}= \frac{1}{5} \\ \frac{(x+19)(x+4)-x(x+32)}{(x+32)(x+4)} =\frac{1}{5} $$
    5((x+19)(x+4)-x(x+32))=(x+32)(x+4)
    5(x²+4x+19x+76-x²-32x)=x²+4x+32x+128
    5(76-9x)=x²+36x+128
    380-45x=x²+36x+128
    x²+81x-252=0
    D=81²+4*252=7569
    √D=87
    x₁=(-81-87)/2=-84  x₂=(-81+87)/2=3
    y₁=-84+4=-80  y₂=3+4=7
    Ответ: 3/7

  • числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на одну пятую. найдите эту дробь


    Решение: Пусть знаменатель равен х, тогда числитель равен х-4.

    Если к числителю прибавить 19, то получим выражение х-4+19=х+15, а знаменатель будет х+28.

    Дробь (х+15)/(х+28) больше прежней на 1/5.

    Составляем уравнение: (х-4)/х+1/5=(х+15)/(х+28).

    Приведем все к общему знаменателю и перенесем в одну сторону, упростим.

    (5х-20+х)/(5х)=(х+15)/(х+28);

    (6х-20)(х+28)=5х(х+15)

    6х^2-5х^2-20х+168х-75х-560=0

    Получим уравненеие х^2+73х-560=0. Решим и получим х1=-80 (посторонний корень, т. к знаменатель не может быть отрицательным числом) и х2=7.

    Эта дробь (7-4)/7=3/7.

    проверка (3+19)/(7+28)-3/7=(22-15)/35=7/35=1/5

1 2 > >>