дроби »

числитель обыкновенной дроби

  • Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 1/4. Найдите эту дробь.


    Решение: Пусть х -числитель, у - знаменатель

    $$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1}=2\\\frac{x-1}{y+1}=\frac{1}{4} \end{cases} $$ 

    Выразим у из первого уравнения и подставим во второе

      $$ \begin{cases}y= \frac{x^2+2}{2}\\\frac{2x-2}{x^2+4}=\frac{1}{4} \end{cases} \\ \begin{cases}y= \frac{x^2+2}{2}\\x^2-8x+12=0 \end{cases} $$ 

    D=64-48=16

      $$ \begin{cases}y= 3\\x=2 \end{cases} $$

    или

    $$ \begin{cases}y= 19\\x=6 \end{cases} $$

    Ответ: 6/19 или 2/3 

  • Числитель обыкновенной дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 1, а знаменатель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.


    Решение: x-числитель 
    2+x-знаменатель 
    затем: 
    x+1-числитель 
    5+x-знаменатель 
    составляете равенство: 
    x:(2+x)=x+1 : (5+х) 
    пропорция, значит: 
    (2+х) умноженное(х+1)=х(5+х) 
    2х+2+х(в квадрате)+х=5х+х(в квадрате) 
    -2х=-2 
    х=1 
    отсюда знаменатель 1+2=3

  • Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. если числитель увеличить на 5, а знаменатель на 3, то дробь увеличиться на 1/2 найдите эту дробь


    Решение: пусть x- знаменатель, (x-1) - числитель
    после преобразования: числитель -(x-1+5) знаменатель -  (x+3)
    составим уравнение:
    $$ \frac{x+4}{x+3} = \frac{x-1}{x} + \frac{1}{2} \\ \frac{2x-2+x}{2x} = \frac{x+4}{x+3} \\ (3x-2)(x+3)=2x*(x+4) \\ 3 x^{2} +9x-2x-6-2 x^{2} -8x=0 \\ x^{2} -x-6=0 $$
    D=1+24=25
    x1=3
    x2= - 2 не подходит
    получаем дробь: $$ \frac{2}{3} $$

    Заданная дробь имеет вид  $$ \frac{x-1}{x} $$.
    Преобразованная дробь имеет вид  $$ \frac{x-1+5}{x+3}=\frac{x+4}{x+3} $$.
    $$ \frac{x+4}{x+3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x-1}{x}\\\\2x(x+4)=(x+3)(x-1)\\\\2x^2+8x=x^2+2x-3\\\\x^2+6x=3\\\\(x+3)^2-9=3\\\\(x+3)^2=6\\\\x+3=\pm \sqrt6\\\\x_1=-3- \sqrt6,\; x_2=-3+\sqrt6 $$
    Две дроби получаем: $$ \frac{-4-\sqrt6}{-3-\sqrt6}\; \; \frac{-4+\sqrt6}{-3+\sqrt6}\;. $$

  • Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.


    Решение: пусть 

    $$ \frac{a}{b} $$

    искомая дробь. тогда составим систему уравнений:

    $$ \left \{ {{\frac{a+7}{b^2}=\frac{3}{4}} \atop {\frac{a}{b+6}=\frac{1}{2}}} \right.\\ \left \{ {{a=\frac{b+6}{2}} \atop {\frac{b+20}{2b^2}=\frac{3}{4}}} \right. \\ 6b^2-4b-80=0\\ 3b^2-2b-40=0\\ D=4+480=22^2\\ b_1=4 \ b_2=-\frac{10}{3}\\ a_1=5 \ a_2=\frac{4}{3} $$

    т. к. дробь обыкновенная, то искомая дробь: 5/4

  • Составить уравнение и решить:
    1) Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится дробь 2 целых 1/30. Найдите исходную дробь.
    2) Числитель обыкновенной дроби на 7 больше знаменателя. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 3, то данная дробь увеличится на 37/88. Найдите первоначальную дробь.


    Решение: Пусть х-числитель дроби, тогда х+1 - ее знаменатель.

    обратная ей дробь имеет в числителе х+1, а в знаменателе х

    ОДЗ: х≠0 и х≠-1

    30х²+30х²+60х+30-61х²-61х=0

    60х²-х+30-61х²=0

    -х²-х+30=0   умножим всё уравнение на (-1)

    х²+х-30=0

    D=1-4*1*(-30)=1+120=121=11²

    х=(-1-11)/2=-12/2=-6 

    х=(-1+11)/2=10/2=5

    значит, числитель равен или -6, или  5

    1 случай

    х=-6 

    х+1=-6+1=-5

    дробь

    =1 целая 1/5

    2 случай

    х=5

    х+1=5+1=6

    дробь  

1 2 3 > >>