дроби »

примеры с дробями - страница 2

  • Выполните сложение (вычитание) алгебраических дробей: №1
    a) x/5 + 2x/3
    б) 3b/28 - b/4
    в) 6m/7 - m/11
    г) m/42 + 5m/6
    №2.
    а) a+8/9 + a-2/12
    б) b-4q/6 - 2q+b/10
    в) 3-z/ 12 - 3z-5/8
    г) p-5/20 + p-1/12
    №3
    а) 2m-n/mn + 5n-2k/nk
    б) m+1/m - 3m-1/m^2
    в) 3z+2t/zt - t+3s/st
    г) 5/a - 10a-1/5a^3

    /- это дробь.
    ^- это степень.


    Решение: 1–ый номер: 
    а) $$ \frac{x}{5}+\frac{2x}{3}=\frac{3x}{15}+\frac{10x}{15}=\frac{13}{15}x $$; 
    б) $$ \frac{3b}{28}-\frac{b}{4}=\frac{3b}{28}-\frac{7b}{28}=-\frac{b}{7} $$; 
    в) $$ \frac{6m}{7}-\frac{m}{11}=\frac{66m}{77}-\frac{7m}{77}=\frac{59}{77}m $$; 
    г) $$ \frac{m}{42}+\frac{5m}{6}=\frac{m}{42}+\frac{35m}{42}=\frac{6}{7}m $$. 

    2–ой номер: 
    а) $$ \frac{a+8}{9}+\frac{a-2}{12}=\frac{4a+32}{36}+\frac{3a-6}{36}=\frac{7a+26}{36} $$; 
    б) $$ \frac{b-4q}{6}-\frac{2q+b}{10}=\frac{5b-20q}{30}-\frac{6q+3b}{30}=\frac{2b-26q}{30}=\frac{b-13q}{15} $$; 
    в) $$ \frac{3-z}{12}-\frac{3z-5}{8}=\frac{6-2z}{24}-\frac{9z-15}{24}=\frac{21-11z}{24} $$; 
    г) $$ \frac{p-5}{20}+\frac{p-1}{12}=\frac{3p-15}{60}+\frac{5p-5}{60}=\frac{8p-20}{60}=\frac{2p-5}{15} $$. 

    3–ий номер: 
    а) $$ \frac{2m-n}{mn}+\frac{5n-2k}{nk}=\frac{2mk-nk}{mnk}+\frac{5mn-2mk}{mnk}=\frac{5mn-nk}{mnk}=\frac{5m-k}{mk} $$; 
    б) $$\frac{m+1}{m}-\frac{3m-1}{m^2}=\frac{m^2+m}{m^2}-\frac{3m-1}{m^2}=\frac{m^2-2m+1}{m^2}=(\frac{m-1}{m})^2$$
    в) $$\frac{3z+2t}{zt}-\frac{t+3s}{st}=\frac{3zs+2st}{zts}-\frac{zt+3zs}{zts}=\frac{2st-zt}{zts}=\frac{2s-z}{zs}$$
    г) $$\frac{5}{a}-\frac{10a-1}{5a^3}=\frac{25a^2}{5a^3}-\frac{10a-1}{5a^3}=\frac{(5a-1)^2}{5a^3}$$

  • (3:а(а+3) + 3:(а+3)(а+6) + 3:(а+6)(а+9) + 3:(а+9)(а+12) + 3:(а+12)(а+15))*-1Решите пример
    : - дробь
    *-1 -минус первая степень


    Решение: 1)Прибавим 1 и 2,4 и 5
    [3/a(a+3)+3/(a+3)(a+6)]+3/(a+6)(a+9)+[(3/(a+9)(a+12)+3/(a+12)(a+15)]=
    =3(a+6+a)/a(a+3)(a+6)+3/(a+6)(a+9)+3(a+15+a+9)/(a+9)(a+12)(a+15)=
    =6(a+3)/a(a+3)(a+6)+3/(a+6)(a+9)+6(a+12)/(a+9)(a+12)(a+15)=
    =6/a(a+6)+[3/(a+6)(a+9)]+6/(a+9)(a+15)=
    =6/a(a+6)+3(a+15+2a+12)/(a+6)(a+9)(a+15)=
    =6/a(a+6)+9(a+9)/(a+6)(a+9)(a+15)=6/a(a+6)+9/(a+6)(a+15)=
    =3(2a+30+3a)/a(a+6)(a+15)=15(a+6)/a(a+6)(a+15)=15/a(a+15)

    2)[15/a(a+15)]^-1=a(a+15)/15

  • Представьте степень в виде дроби: а) 13 в минус 3 степени, б) 15 в минус 2 степени, в) 25 в минус 3 степени, г) 37 в минус 4степени.


    Решение: а)(1/13)^3

    б)(1/15)^2

    в)(1/25)^3

    г)(1/37)^4

    13⁻ ³ =  1     =      1

         13³     2197

    15⁻ ² = 1   = 1

                15²     225

    25⁻ ³ =  1   =   1

                25³     15625

    37⁻ ⁴=  1   =   1

               37⁴     1874161

  • 1)(b/a^2-ab+a/b^2-ab)*a^2b+ab^2/a^2-b^22)(1+a/x+a^2/x^2)*(1-a/x)*x^3/a^3-x^3
    Упростите данные выражения.
    ^-Степень,/-Дробь,*-Умножить


    Решение:

    1) (действие в скобках)
    числ b² - a² = -(a²-b²) = - (a-b)(a+b) = -(a+b)
    знам ab(a-b) ab(a-b) ab(a-b) ab

    2) умножение
    числ -(a+b) ab(a+b) = -(a+b) = a+b
    знам ab (a-b)(a+b) a-b b-a

    Пример     2
    1) сложение в скобках
    числ 1+а + а² = (1+a)x+a² = x+ax+a²
    знам x x² x² x²

    2) умножение
    числ (x+ax+a²)(1-a)x³ = x+a²-a²x-a³
    знам x²·x·(a-x)(a²+ax+x²)  a³-x³



  • Найти определитель матрицы сведением к треугольному виду (с подробным объяснением) \( \begin{bmatrix} 2 &1 &1 &1 &1 \\ 1& 3 &1 &1 &1 \\ 1& 1& 4& 1& 1& \\ 1& 1& 1& 5& 1& \\ 1& 1& 1& 1& 6 \end{bmatrix} \)


    Решение: Преобразуем матрицу
    $$ \left[\begin{array}{ccccc}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right] $$
    к верхнетреугольному виду (нули ниже главной диагонали). Тогда определитель такой матрицы будет равен произведению элементов главной диагонали.
    Переставим местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы получить $$ a_{1,1}=1 $$ (для упрощения подсчёта в дальнейшем). По правилам перестановки определитель сменит знак.
    $$ det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\2&1&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right] $$
    Занулим элементы первого столбца, начиная с a2,1 (чтобы сделать нули ниже диагонали). Для этого будем поочерёдно складывать строки 2, 3, 4, 5 с первой, домножая её на необходимый коэффициент для зануления первого элемента столбца. Результат сложения будем помещать на место соответствующей строки, так как по правилам определитель не изменяется, если к строке/столбцу прибавить др. строку/столбец, домноженные на некоторое число:
    2-я строка = 2-я строка + 1-я строка * (-2).
    3-я строка = 3-я строка + 1-я строка * (-1).
    4-я строка = 4-я строка + 1-я строка * (-1).
    5-я строка = 5-я строка + 1-я строка * (-1).
    В результате получим:
    $$ det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\0&-5&-1&-1&-1\\0&-2&3&0&0\\0&-2&0&4&0\\0&-2&0&0&5\end{array}\right] $$
    Переставим местами 2-й и 5-й столбцы, чтобы упростить подсчёты (можно этого и не делать, высчитывая и так). По правилам перестановки определитель сменит знак.
    $$ det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&5&0&0&-2\end{array}\right] $$
    Аналогично занулим второй столбец ниже главной диагонали (начиная с а3,2). Так как в строках 3 и 4 уже нули, то займёмся 5-й строкой:
    5-я строка = 5-я строка + 2-я строка * 5.
    В результате получим:
    $$ det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&-5&-5&-27\end{array}\right] $$
    Аналогично занулим 3-й столбец ниже главной диагонали:
    5-я строка = 5-я строка + 3-я строка * 5/3.
    В результате получим:
    $$ det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&-5&-91/3\end{array}\right] $$
    Занулим последний элемент в 4-м столбце.
    5-я строка = 5-я строка + 4-я строка * 5/4.
    В результате получим:
    $$ det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&0&-197/6\end{array}\right] $$
    Верхнетреугольный вид получен. Считаем определитель:
    det=1*(-1)*3*4*(-197/6)=394.

  • №865 Запишите числа: а) 1 000 000, 100 000, 10 000, 1000, 100, 10, 1, 1/100, 1/1000, 1/10 000, 1/100 000, 1/1 000 000 степенью с основанием 10 ; г) здесь тоже дроби со знаком / 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625 степенью с основанием 5 3125=5^5 (рисунок№1)


    Решение: а)1 000 000=10⁶

    100 000=10⁵

    10 000=10⁴

    1000=10³

    100=10²

    10=10¹

    1=10⁰

    1/100=10⁻²

    1/1000 =10⁻³

    1/10 000=10⁻⁴

    1/100 000=10⁻⁵

    1/1 000 000=10⁻⁶

    г)

    $$ \frac{1}{625}=\frac{1}{5^{4}}=5^{-4} $$

    $$ \frac{1}{125}=\frac{1}{5^{3}}=5^{-3} $$

    $$ \frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}=5^{-2} $$

    $$ \frac{1}{5}=\frac{1}{5^{1}}=5^{-1} $$

    1=5⁰

    5=5¹

    25=5²

    125=5³

    625=5⁴

    ..............................

    а) 10^6; 10^5; 10^4; 10^3; 10^2; 10^1; 10^0; 10^-2; 10^-3; 10^-4; 10^-5; 10^-6.

    б) 5^-4; 5^-3; 5^-2; 5^-1; 5^0; 5^1; 5^2; 5^3;5^4.

  • Сравните по величене. Просто поставте знак. ( < ) (>) (=)

    1) 65% и (дробь) три пятых

    2) Дробь Две-целых, пять седьмых и 2, 73

    3) дробь ( три четвёртых ) и одиннадцать пятнадцатых

    4) модуль -3 и 2

    5) -0,85 и -0,805

    6) 0,05 мин и 5 с


    Решение: 1) 65%    >  (дробь) три пятых

    2) Дробь Две-целых, пять седьмых    <    2, 73

    3) дробь ( три четвёртых ) > одиннадцать пятнадцатых

    4) модуль -3 >   2

    5) -0,85 < -0,805

    6) 0,05 мин < 5 с

    1) 65% > 3/5
    3/5=0,6
    65%=0.65

    2) 2 5/7 < 2,73
    2 5/7=2.71428571428571 

    3) 3/4 > 11/15
    3/4=0.75
    11/15=0.733

    4) |-3| > 2

    5) -0,85 < -0,805

    6) 0,05 мин < 5 с

  • \( \frac{2x+1}{x-3} \geq 1 \)
    Решить, ))
    (дробь в скобках модуля))


    Решение: (2x+1)/(x-3) -1≥0
    (2x+1-x+3)/(x-3)≥0
    (x+4)/(x-3)≥0
    x=-4 U x=3
       +  _  +
    -
       -4  3
    x∈(-∞;-4] U (3;∞)

    $$ \frac{2x+1}{x-3} \geq 1 \\ x-3 eq 0 \iff x eq 3 \\ \frac{2x+1}{x-3}-1 \geq 0 \iff \frac{2x+1-x+3}{x-3} \geq 0 \iff \frac{x+4}{x-3} \geq 0 \\ 1) x-3\ > \ 0 \iff x\ > \ 3 \\ x+4 \geq 0 \iff x \geq -4 \\ x \ > \ 3 \\ 2) x-3\ < \ 0 \iff x\ < \ 3 \\ x+4 \leq 0 \iff x \leq -4 \\ x \leq -4 \\ x \in (-\infty;-4];x \in (3;+\infty) $$

  • Преобразуйте в дробь выражение \(ab^{-3}-ba^{-3}; \\ a^2b+b^{-2}a;\)


    Решение: $$ ab^{-3}-ba^{-3}= \frac{a}{b^3} - \frac{b}{a^3} = \frac{a^4-b^4}{a^3b^3} \\ a^2b+b^{-2}a=a^2b+ \frac{a}{b^2} = \frac{a^2b^3+a}{b^2} $$

    ab - -ba - frac a b - frac b a frac a -b a b a b b - a a b frac a b frac a b a b...

  • Преобразуйте в дробь выражение: \((3а^2*b^3)^{-1}*9^2*b\\a*b-b*a^{-1}\)


    Решение: 1) (3а^2*b^3)^(-1)*9^2*b=(9a^2*b)/(3a^2*b^3)=сокращаем=3/(b^2)

    2)a*b-b*a^(-1)=ab-b/a=приводим к общему знаменателю=(a^2*b-b)/a=(b*(a^2-b))/a

    1) (3а^2*b^3)^(-1)*9^2*b=(9a^2*b)/(3a^2*b^3)=3/(b^2)

    2)a*b-b*a^(-1)=ab-b/a=(a^2*b-b)/a=(b*(a^2-b))/a

    Ответы:(b*(a^2-b))/a 3/(b^2)

<< < 12 3 4 > >>