производная » график функции производной
  • 1 Найдите производную функции: 1.) 3x в 4 степени - 1/x; 2.) e^x + cos x2 Для функции f(x)= 3x^3 -х+2 найдите все значения х, при которых f’(x)=0
    3 Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)= 2-3x+sinx в точке с абсциссой
    x0=0
    4 Запишите уравнение касательной к графику функции F(x)=cos2x в его точке с абсциссой x0=-П/6 и осью абсцисс
    5 Найдите точки шрафикуа функции f(x)=x^3-3x^2, в котором касательная к нему параллельна оси абсцисс.(Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в точках, в которых угловой коффициент равен нулю(т.е производная равна нулю). все задания с решениями:-)


    Решение: 2) е∧х+косинус х= е∧х -синус х 
    1) 3х∧4- 1/х =12х³ +1/х² 
    №2
    Ф (х) =х³-х+2 = 3х²-1 =0
    3х²-1=0
    3х²=1
    х²=1/3
    х=1/√3 

    № 5
    х³-3х²=3х²-6х=0
    3х²-6х=0
    3х(х-2)=0
    3х=0
    х=0
    х-2=0
    х=2

    1.1)12x^3-1/x^2  2)e^x-sinx
    2.9x^2-1=0 
       x^2=1/9
    x=1/3  x=-1/3
    3. f’(x)=-3+cosx  f’(0)=-3+cos0=-3+1=-2
       y(0)=2-3*0+sin0=2
       y=-2*0+b  b=2
       y=-2x+2
    4. f’(x)=-2sin2x
       f(-П/6)=cos(-П/3)=1/2
       f’(-П/6)=-2sin(-П/3)=√3
       y=√3x+b
       1/2=√3*(-П/6)+b
       b=1/2+П√3/6=(3+П√3)/6
       y=√3x+(3+П√3)/6
    5. f’(x)=3x^2-6x
       f’(x)=0
       x=0
       3x=6
       x=2
       (0;0)  (2;-4)

  • 1. Найти дельта y, если х нулевое=1, а дельта х=0,1 при y=x^2-1; 2. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=1+2t^2. Вычислите скорость движения точки в момент t=2c. 3. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе y=-x^2+x в точке с абсциссой x нулевое =1. 4. Найдите угол в градусах между Ох и касательной к графику функции y=1/x-1(дробь) в точке с абсциссой х нулевое равно 2. 5. Для функции: f(x)=sin6x-cos6x Найдите f ’ дробь (Pi/8). 6. Найдите производную функции y=cos 2x e(в степени 2х).Вычислите ее значение в точке x нулевое=0.


    Решение:

    1. $$ \Delta x=0.1; y=x^2-1;x_0=1\\ \Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)=\\ ((x+\Delta x)^2-1)-(x^2+1)=\\ (x+\Delta x)^2-1-x^2-1=\\ (x+\Delta x)^2-x^2=\\ x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=\\ 2x\Delta x+(\Delta x)^2=2*1*0.1+0.1^2=0.2+0.01=0.21 $$

     ответ: 0.21

    2. $$ s(t)=1+2t^2;\\ v(t)=s’(t)=(1+2t^2)’=0+2*2t=4t;\\ v(2)=4*2=8 $$

    ответ: 8

    3. $$ y=-x^2+x; x_0=1;\\ y’(x)=-2x+1; k=y’(x_0)=-2*1+1=-1 $$

    ответ: -1

    6 $$ y=cos(2x)e^{2x}; x_0=0;\\ y’=(cos(2x)e^{2x})’=(cos(2x))’e^{2x}+cos(2x)(e^{2x})’=\\ -sin (2x)*2e^{2x}+cos(2x)e^{2x}*2=2e^{2x}(cos(2x)-sin(2x));\\ y’(x_0)=2*e^{2*0}*(cos(2*0)-sin(2*0))=2*1*(1-0)=2 $$

    ответ: 2

  • 1) Вычислить производную функции
    а) f(x)=(x-1)\( \sqrt{x^2-1} \); f’(2)-
    б) y= arccos\( \frac{2x-1}{ \sqrt{3} }\)
    в) x siny-cosy=0
    2) Исследовать функцию, построить её график
    y=\( x^{3} - 6 x^{2} +9 \)
    3) Вычислить не определённые интегралы
    a) ∫\( \frac{x^{2}dx }{ \sqrt{x^3-5}} \)
    б) ∫(4-3x)*\( e^{3x} dx \)
    4) Найти площадь фигуры ограниченную линиями
    y=\( x^{2} -4+5 \)
    x-y-9=0


    Решение: 1
    a)f’(x)=√(x²-1)+2x(x-1)/2√(x²-1)=(x²-1+x²-x)/√(x²-1)=(2x²-x-1)/√(x²-1)
    f’(2)=(8-2-1)/(√(4-1)=5/√3
    b)y’=-1/√(1-(2x-1)³/3)*2/√3=-2√3/√3*√(2-4x²+4x)=-2/√(2-4x²+4x)
    2
    y=x³-6x²+9
    D(y)=R
    y(-x)=-x³-6x²+9 ни четная, ни нечетная
    (0:9)-точка пересечения с осью оу
    y’=3x²-12x=3x(x-4)=0
    x=0 x=4
      + _ +
    -(0)-(4)-
    возр x∈(-∞;0) U (4;∞)
    убыв x∈(0;4)
    ymax=y(0)=9
    ymin=y(4)=-31
    доп. точки
    y(-1)=2
    y(1)=4
    y(5)=-16
    график во вложении
    3
    1)Sx²dx/√(x³-5)=1/3Sdt/√t=2t/3=2√(x³-5)/3+C
    t=x³-5⇒dt=3x²dx
    2)S(4-3x)*e^3xdx=S(4e^3x-3x*e^3x)dx=-3Se^3x*xdx+4Se^3xdx=
    =-e^3x*x+e^3x/3+4e^3x/3=-e^3x*x+5e^3x/3=e^3x(5/3-x)+C
    В 4 в условии ошибка

  • 1) Найти производную в заданной точке
    a) y=\( 6 x^{3} +2 x^{2} +5 \) y(2)=?
    б) y=\( \frac{2-x}{1+x} \) y(0)=?
    в) y=(4x-3)(6x+5) y(1)=?
    2) Применение производной:
    a) составьте уравнения касательной к графику функции
    \( x^{2} +6x+8 \) в точке с абсциссой \( x_{0} \)=-2
    б) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
    y=\( x^{2} -6x+3 \) на отрезке [0;5]
    3) Вычислите определенный интеграл:
    a) \( \int\limits^2_0(3 x^{2} -4x) \, dx \)
    б) \( \int\limits^5_0(2{x}-4) \, dx \)
    в) \( \int\limits^3_2(3 x^{2} -4x-1) \, dx \)
    4) Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
    a) y=\( x^{2} \) и y=2x+3


    Решение: 1. a)f’(2)=18x²+4x=18*4+4*2=72+8=80.
    б)f’(0)=(2-x)’(1+x)-(2-x)(1+x)’=-1-x-2+x=-3.
    в)f’(1)=(4x-3)’(6x+5)+(4x-3)(6x+5)’=24x+20+24x+20=48+20=60.
    2. y-y0=f’(x0)(x-x0) - уравнение касательной
    а) f’(x)=2x+6.
    f’(x0)=-4+6=2.
    f(x0)=4-12+8=0.
    Ур-ие касательной будет иметь вид: y=2*(x+2)=2x+4.
    б) f’=2x-6
    f’(0)=-6. (наим.)
    f’(5)=4. (наиб.)
    3. а)0.
    б)-15.
    в)-12.