график функции производной

1 Найдите производную функции: 1.) 3x в 4 степени - 1/x; 2.) e^x + cos x2 Для функции f(x)= 3x^3 -х+2 найдите все значения х, при которых f’(x)=0
3 Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)= 2-3x+sinx в точке с абсциссой
x0=0
4 Запишите уравнение касательной к графику функции F(x)=cos2x в его точке с абсциссой x0=-П/6 и осью абсцисс
5 Найдите точки шрафикуа функции f(x)=x^3-3x^2, в котором касательная к нему параллельна оси абсцисс.(Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в точках, в которых угловой коффициент равен нулю(т.е производная равна нулю). все задания с решениями:-)

1.1)12x^3-1/x^2  2)e^x-sinx
2.9x^2-1=0 
   x^2=1/9
x=1/3  x=-1/3
3. f’(x)=-3+cosx  f’(0)=-3+cos0=-3+1=-2
   y(0)=2-3*0+sin0=2
   y=-2*0+b  b=2
   y=-2x+2
4. f’(x)=-2sin2x
   f(-П/6)=cos(-П/3)=1/2
   f’(-П/6)=-2sin(-П/3)=√3
   y=√3x+b
   1/2=√3*(-П/6)+b
   b=1/2+П√3/6=(3+П√3)/6
   y=√3x+(3+П√3)/6
5. f’(x)=3x^2-6x
   f’(x)=0
   x=0
   3x=6
   x=2
   (0;0)  (2;-4)

1. Найти дельта y, если х нулевое=1, а дельта х=0,1 при y=x^2-1; 2. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=1+2t^2. Вычислите скорость движения точки в момент t=2c. 3. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе y=-x^2+x в точке с абсциссой x нулевое =1. 4. Найдите угол в градусах между Ох и касательной к графику функции y=1/x-1(дробь) в точке с абсциссой х нулевое равно 2. 5. Для функции: f(x)=sin6x-cos6x Найдите f ’ дробь (Pi/8). 6. Найдите производную функции y=cos 2x e(в степени 2х).Вычислите ее значение в точке x нулевое=0.

1. $$ \Delta x=0.1; y=x^2-1;x_0=1\\ \Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)=\\ ((x+\Delta x)^2-1)-(x^2+1)=\\ (x+\Delta x)^2-1-x^2-1=\\ (x+\Delta x)^2-x^2=\\ x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=\\ 2x\Delta x+(\Delta x)^2=2*1*0.1+0.1^2=0.2+0.01=0.21 $$

 ответ: 0.21

2. $$ s(t)=1+2t^2;\\ v(t)=s’(t)=(1+2t^2)’=0+2*2t=4t;\\ v(2)=4*2=8 $$

ответ: 8

3. $$ y=-x^2+x; x_0=1;\\ y’(x)=-2x+1; k=y’(x_0)=-2*1+1=-1 $$

ответ: -1

6 $$ y=cos(2x)e^{2x}; x_0=0;\\ y’=(cos(2x)e^{2x})’=(cos(2x))’e^{2x}+cos(2x)(e^{2x})’=\\ -sin (2x)*2e^{2x}+cos(2x)e^{2x}*2=2e^{2x}(cos(2x)-sin(2x));\\ y’(x_0)=2*e^{2*0}*(cos(2*0)-sin(2*0))=2*1*(1-0)=2 $$

ответ: 2

1) Вычислить производную функции
а) f(x)=(x-1)\( \sqrt{x^2-1} \); f’(2)-
б) y= arccos\( \frac{2x-1}{ \sqrt{3} }\)
в) x siny-cosy=0
2) Исследовать функцию, построить её график
y=\( x^{3} - 6 x^{2} +9 \)
3) Вычислить не определённые интегралы
a) ∫\( \frac{x^{2}dx }{ \sqrt{x^3-5}} \)
б) ∫(4-3x)*\( e^{3x} dx \)
4) Найти площадь фигуры ограниченную линиями
y=\( x^{2} -4+5 \)
x-y-9=0

1) Найти производную в заданной точке
a) y=\( 6 x^{3} +2 x^{2} +5 \) y(2)=?
б) y=\( \frac{2-x}{1+x} \) y(0)=?
в) y=(4x-3)(6x+5) y(1)=?
2) Применение производной:
a) составьте уравнения касательной к графику функции
\( x^{2} +6x+8 \) в точке с абсциссой \( x_{0} \)=-2
б) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
y=\( x^{2} -6x+3 \) на отрезке [0;5]
3) Вычислите определенный интеграл:
a) \( \int\limits^2_0(3 x^{2} -4x) \, dx \)
б) \( \int\limits^5_0(2{x}-4) \, dx \)
в) \( \int\limits^3_2(3 x^{2} -4x-1) \, dx \)
4) Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
a) y=\( x^{2} \) и y=2x+3

1. Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных
к графику функции \( y=\frac{3x - 5}{x - 3} \), имеющий угловой коэффициент 25
2. Найти производную функцию: \( f(x) = \frac{sin 2x}{\sqrt{x}} \)

Видим, что производная на всей области определения отрицательна. Значит не существует касательной к графику этой ф-ии, имеющей положительный угловой коэффициент! Либо коэффициент не 25, а (-25), либо неверное условие самой ф=ии.

Ответ: нет решений. 

2) $$ f’(x)=\frac{2\sqrt{x}cos2x-\frac{sin2x}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{4xcos2x-sin2x}{2x\sqrt{x}} $$

1. Находим производную функции.

у’=((3x-5)’ (x-3) - (3x-5)(x-3)’) / (x-3)² = (3x-9-3x+5)/(x-3)² = -4/(x-3)²

Значение производной число отрицательное ⇒ нет такой касательной, имеющей положительный коэффициент.

Ответ. решений нет. 

2. $$ f’(x) = \frac{(sin2x)’\sqrt{x} - sin 2x(\sqrt{x})’}{(\sqrt{x})^2} = \frac{2cos 2x \cdot\sqrt{x} - \frac{sin 2x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{4xcos 2x-sin 2x}{2x\sqrt{x}} $$