производная »

график функции производной - страница 2

  • На рисунке изображен график функции y=f (x). прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке x0=5


    Решение: Алгоритм:

    Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

    1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
    2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.
    3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

  • 1. Найти дельта y, если х нулевое=1, а дельта х=0,1 при y=x^2-1;
    2. Тело движется прямолинейно по закону S(t)=1+2t^2. Вычислите скорость движения точки в момент t=2c.
    3. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе y=-x^2+x в точке с абсциссой x нулевое =1.
    4. Найдите угол в градусах между Ох и касательной к графику функции y=1/x-1(дробь) в точке с абсциссой х нулевое равно 2.
    5. Для функции:
    f(x)=sin6x-cos6x Найдите f ’ дробь (Pi/8).
    6. Найдите производную функии y=cos 2x e(в степени 2х). Вычислите ее значение в точке x нулевое=0.


    Решение: 1. $$ \Delta x=0.1; y=x^2-1;x_0=1\\ \Delta y=y(x_0+\Delta x)-y(x_0)=\\ ((x+\Delta x)^2-1)-(x^2+1)=\\ (x+\Delta x)^2-1-x^2-1=\\ (x+\Delta x)^2-x^2=\\ x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=\\ 2x\Delta x+(\Delta x)^2=2*1*0.1+0.1^2=0.2+0.01=0.21 $$

     ответ: 0.21

    2. $$ s(t)=1+2t^2;\\ v(t)=s’(t)=(1+2t^2)’=0+2*2t=4t;\\ v(2)=4*2=8 $$

    ответ: 8

    3. $$ y=-x^2+x; x_0=1;\\ y’(x)=-2x+1; k=y’(x_0)=-2*1+1=-1 $$

    ответ: -1

    6 $$ y=cos(2x)e^{2x}; x_0=0;\\ y’=(cos(2x)e^{2x})’=(cos(2x))’e^{2x}+cos(2x)(e^{2x})’=\\ -sin (2x)*2e^{2x}+cos(2x)e^{2x}*2=2e^{2x}(cos(2x)-sin(2x));\\ y’(x_0)=2*e^{2*0}*(cos(2*0)-sin(2*0))=2*1*(1-0)=2 $$

    ответ: 2

  • Найти для функции первообразную, график которой проходит через точку.
    Y=2x^4 M=(1;6)
    А) Найти производную F(x)= 3 корня из 2x-3


    Решение: 1) найти первообразную для y=2x^4, проходящую через М(1;6) :
      Y=2*x^5/5 +C - первообразная
      6= 2*1/5 +C
      C=6-2/5=6 -0,4 = 5,6
    Искомая первообразная: Y=x^5*2/5 +5,6
    -
    Если F(x) =3√(2x) - 3, то производная:
    F ’ =3*√2 * (x^(-1/2) /2) =3/√(2x)
    -
    Если F (x) =3√(2x-3), то производная:
     F ’ = 3*(2x-3)^(1/2) =3/2*(2x-3)^(-1/2) *2 =3/√(2x-3)

  • 1) Найдите производную функции f(x) = e^x * cos x
    2) Решите неравенство (x-6)(x-8)/2x-7 < 0
    3) Решите уравнение x/x+1 + 2x/x-1 = 2/x^2 - 1
    4) Функция задана формулой f(x) = (2x-1)(x+3)
    *Найдите f(3)
    *Определите, при каких значениях х выполняется равенство f(x) = -1 *Пренадлежит ли графику функции точка А (3; 2)


    Решение: 1) f’(x)=e^x*cosx-e^x*sinx=e^x(cosx-sinx)

    2) ОДЗ: x#3,5; нули : x=6, x=8

      методом интервалов : хє(- ∞; 3,5)U(6;8)

    3) ОДЗ: х#+-1

      x(x-1)+2x(x+1)=2

      x^2-x+2x^2+2x-2=0

      3x^2+x-2=0

      D=1+24=25

      x1=2/3; x2=-1- не удовлетворяет ОДЗ

    Ответ: х=2/3

    4)f(3)=30

      (2x-1)(x+3)=-1

      2x^2+5x-2=0

      D=25+16=41

      x1.2=(-5+- корень из 41)/4

    Точка А(3,2)- не принадлежит графику функции

    1)F`(X)=e^x*cosx-sinx*e^x=e^x*(cosx-sinx)

    2)(x^2-28x+48)/2x<0

      x^2-28x+48=0

      D=28^2-4*48=784-192=592=4*(37)^1/2

      x не ровн 0

      x=(-бесконечности:0) и)(14-2*(37)^1/2);(14+2*(37)^1/2))

    3) прошу сново писать 3 й пункт

    4)*f(3)=5*6=30

      *2x^2 +6x-x-3=-1

      2x^2+5x-2=0 

      D=25+4*2*2=41

      x=(-5+(41)^1/2)/4 и x=(-5-(41)^1/2)4

      *A не принадлежит графику функции потому что f(3)=30 а не 2

  • На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 5). В какой точке отрезка [-3; 2] f(x) принимает наибольшее значение?


    Решение: Постараюсь объяснить. Так как для производной существует правило: там, где она положительная ( здесь - выше оси ОХ), функция растет, там, где производная отрицательная (ниже оси ОХ) - функция убывает. И еще. Точки, где производная равна нулю, то есть точки, где ее график пересекает ось ОХ, это критические точки, минимум или максимум, надо смотреть по графику, Вот здесь, например, в точке х=-3 - производная поменяла знак с плюса на минус, то есть была до этой точки выше, а после этой точки стала ниже оси ОХ, ТО есть точка х=-3 - это точка максимума, а раз эта точка принадлежит тому интервалу, где надо искать эту точку, то соответственно, именно здесь и будет наибольшее значение функции.

<< < 12 3 4 > >>