график функции производной - страница 4

На рисунке изображен график её производной.
Найдите число касательных к графику функции
y = f (x), которые наклонены к положительному
направлению оси абсцисс под углом 45°.
y = f  (x)

Решение: Число касательных, образующих угол в 45° к положительному направлению оси ОХ, равно 3, так как количество точек пересечения графика производной y=f ’(x) с прямой у=1 всего три.
f ’(x0)=tgα, где α - угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ, tg45°=1 ⇒ надо подсчитать количество точек пересечения графика у=f ’(x) и у=1 ( у=1 - прямая, параллельная оси ОХ, отстоящая от неё на расстояние, равное 1 ).
y=2+3x-x^3 исследовать функцию с помощью производной и построить график функции

Решение: Смотрим график и его производные, даже две производные.
Первая производная - парабола -
Y’ = -3x² + 3 = 3*x*(1-x)
корни 0 и +1 - экстремумы.
Ymin = Y(-1) = 0
Y max = Y(1) = 4
Пересекается с осью Y(0) = 3
Функция y=f(x) определена на промежутке (-2;7). на рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y=f(x), которые
наклонены под углом 30 градусов к положительному направлению оси абсцисс. (график в прикрепленном изображении).

Решение: Геометрический смысл производной: $tg \alpha =f’(x_{0}) \\ \alpha$ - угол наклона касательной к графику (к положительному направлению оси Ох).
$tg30^{o}= \frac{1}{ \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ≈0.58.
Проведем прямую у=0.58 и найдем количество точек пересечения с графиком производной, получим 1 точку пересечения (см. рисунок).
Ответ: 1 касательная
Докажите что функция у = - 4х⁷- 3х⁵ - 2х +5 - строго убывающая.

Решение:
Функция:    $y(x) = -4x^7 - 3x^5 - 2x + 5 \ ;$
Найдём её производную:        $y’_x (x) = \\ = - 4 \cdot 7 \cdot x^{7-1} - 3 \cdot 5 \cdot x^{5-1} - 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + 5 \cdot 0 = - 28 x^6 - 15 x^4 - 2 \\ 28 x^6 + 15 x^4 + 2 \geq 2 > 0 \,$
поскольку любое число в чётной степени не меньше нуля.
Таким образом:        $y’_x (x) = - ( 28 x^6 + 15 x^4 + 2 ) < 0$
Что означает, что функция:        $y(x) = -4x^7 - 3x^5 - 2x + 5$
строго убывает на всей числовой оси аргумента.
На рисунке изображены график функции y=f (x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0

Решение: Геометрический смысл производной в точке – это тангенс угла наклона касательной.
На графике отмечен равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ (один из многих, которые характеризуют угол наклона касательной к графику с отрицательным направлением оси абсцисс).
Т. е. в равнобедренном треугольнике стороны подчиняются следующим соотношениям:
$CB = AB \cdot \sin(\angle BAC)\\\\ AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)\\\\ \frac{CB}{AC} = \frac{AB \cdot \sin(\angle BAC)}{AB \cdot \cos(\angle BAC)} = \frac{\sin(\angle BAC)}{\cos(\angle BAC)} = \tan{\angle BAC}$

В нашем $\triangle ABC: \ AC = 12, \ CB = 3$ , следовательно:
$\tan{\angle BAC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$
Единственно, это угол, который касательная образует с отрицательным направлением оси абсцисс. Угол, который она образует с положительной будет равен:
$\tan(180^{\circ} - \arctan{\frac{1}{4}}) = -\tan(\arctan{\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4} = \boxed{-0.25}$
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Геометрический смысл производной в точке.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой в точке.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой
$f`(x _{o})= \frac{1}{2}$
См вложение. Угол А - угол наклона касательной
tg∠A= OB/AO - отношение противолежащего катета к прилежащему.
На рисунке видно ОВ=1 клеточке, ОА= 2 клеточкам
tg∠A=1/2
На рисунке изображен график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абcциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона.
угол больше 90 тангенс отрицаиельный
f’(x)=-1/4
Значение производной в точке касания равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона: угол тупой значит тангенс отрицателен, из любого подходящего прямоугольного треугольника найдем отношение противолежащего катета к прилежащему= -1/4
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0

Решение: Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga - тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке х0.
На чертеже видны обозначенные крупные точки на касательной. Одна точка на оси ОУ с координатами (0,4), а вторая точка с координатами (-4,2). Если провести через эти точки линии, параллельные осям координат, то получим треугольник прямоугольный с нужным нам углом. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, а это будет равно 2/4=1/2. То есть, значение производной равно 1/2.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: на чертеже отмечена точка (правая). Если ее спроектировать на ось ОУ, то получится прямоугольный треугольник: гипотенуза - чать прямой, один катет - вертикальный отрезок длиной 1 клетка, другой - горизонтальный длиной 4 клетки. Чтобы найти тангенс, надо разделить вертикальный на горизонтальный, т. е. 1/4. И надо учесть, что угол касательной с положительным направлением оси ОХ - тупой. Значит, значение производной равно -1/4 = -0,25
На рисунке изображён график дифференцируемой функции f(x) и касательная к нему, проведённая в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Решение: На рисунке изображён график дифференцируемой функции f(x) и касательная к нему, проведённая в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Производная функции f(x) в точке xo равна угловому коэффициенту самой касательной который можно посчитать по точкам
xo = 4,yo = 6 Вторую точку возьмем пересечение касательной и оси Ох х1 =-4; уо=0
f’(x)= k = tg(a) =Δy/Δx =(yo-y1)/(xo-x1) =(6-0)/(4-(-4) = 6/8 = 3/4 = 0,75
Поэтому значение производной в точке хо равно 0,75
Ответ: 0,75

<< < 2 34 5 6 > >>

график функции производной - страница 4

y=2+3x-x^3 исследовать функцию с помощью производной и построить график функции

Докажите что функция у = - 4х⁷- 3х⁵ - 2х +5 - строго убывающая.

На рисунке изображены график функции y=f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абcциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

На рисунке изображены график функции y=f (x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.