график функции производной - страница 6

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график этой функции: \(y=-x^4 + 4x² -3 \)

$$ y=-x^4+4x^2-3 $$
1. Область определения: множество всех действительных чисел
D(y) = R
2. Первая производная
$$ y’=(-x^4+4x^2-3)’=-(x^4)’+(4x^2)’-(3)’=-4x^3+8x $$
3 Вторая производная
$$ y’’=(-4x^3+8x)’=-12x^2+8 $$
4 Точки пересечения с осью х:
$$ x^4-4x^2+3=0 \\ x^2=t,(t \geq 0) \\ t^2-4t+3=0 \\ t_1=1;t_2=3 \\ \left[\begin{array}{ccc}x^2=1\\ x^2=3\end{array}\right.\to \left[\begin{array}{ccc}x_1, x_2=\pm 1\\ x_3, x_4=\pm \sqrt{3} \end{array}\right. $$
5 Точки пересечения с осью у
Пусть х =0
$$ y=-3 $$
6 Горизонтальны и наклонные асимтот нет.
7. Критические точки
$$ -4x^3+8x=0 \\ -4x(x^2-2)=0 \\ x_1=0;x_2,X_3=\pm \sqrt{2} $$
8. Точки перегиба
$$ -12x^2+8=0 \\ x^2= \dfrac{2}{3} \\ x_1,x_2=\pm \dfrac{ \sqrt{6} }{3} $$
9. Точки разрыва нет
10. $$ y(x)-y(-x)=(-x^4+4x^2-3)-(-(-x)^4+4(-x)^2-3)= \\ \\ =-x^4+4x^2+x^4-4x^2=0 $$
Итак, функция четная, график симметричен относительно оси у
Относительный минимум - $$ (0;-3) $$
Относительный максимум - $$ (- \sqrt{2} ;1),( \sqrt{2} ;1) $$
Множество значений функции: $$ y \leq 1 $$
Наибольшее значение: $$ y =1 $$

5. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Как найти количество касательных к графику функции под заданным углом на промежутке(x;y) если дан график производной?

6. Функция y=f(x) определена на промежутке (-4;5). На рисунке изображен её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой x0=-2. Вычислите значение производной функции y= x^2 * f(x) - 3x в точке x0=-2.

Нахождение производной сложной функции.
1.) у=1/2х^4 - 1/х - 4√х;
2.) у= ln9х × сos(8[+4);
3.) Построить график функции.
у=х^4 - 2х^2 -3.

На рисунке изображён график функции y = −x2 + bx + c и четыре прямые, одна из которых является графиком производной данной функции. Укажите в ответе номер этой прямой.

На рисунке изображен график функции f (x) и касательная к этому графику в точке x0. Найдите значение производной этой функции в точке x0.

Т. е. нужно найти тангенс угла между касательной и осью x.

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Ищем такие точки, чтобы длины отрезков были целыми. Отчетливо виден треугольник к катетами 3 и 6.

3 - противолежащий

6 - прилежащий

$$ tg\alpha=\frac{3}{6}=0,5 $$

Важно заметить ещё какой будет знак у производной. Тут тоже довольно все просто: смотрим куда наклонена касательная: если она как бы возрастает (как в данном примере), то знак положительный. Если она будто убывает, то отрицательный. Ну и тут у нас знак положительный.

Ответ: 0,5.

Функция y=f(x) определена на промежутке (-4; 2). На рисунке изображен график ее производной. Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси ОХ

Функция y=f(x) определена на промежутке [-5;5]. На рисунке изображен график ее производной. Известно, что существует ровно одна касательная к графику функции, наклоненная под углом a к оси абсцисс. Найдите tga