производная »
график функции производной - страница 7
На рисунке изображен график её производной.
Найдите число касательных к графику функции
y = f (x), которые наклонены к положительному
направлению оси абсцисс под углом 45°.
y = f (x)
Решение: Число касательных, образующих угол в 45° к положительному направлению оси ОХ, равно 3, так как количество точек пересечения графика производной y=f (x) с прямой у=1 всего три.
f (x0)=tgα, где α - угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ, tg45°=1 ⇒ надо подсчитать количество точек пересечения графика у=f (x) и у=1 ( у=1 - прямая, параллельная оси ОХ, отстоящая от неё на расстояние, равное 1 ).y=2+3x-x^3 исследовать функцию с помощью производной и построить график функции
Решение: Смотрим график и его производные, даже две производные.
Первая производная - парабола -
Y’ = -3x² + 3 = 3*x*(1-x)
корни 0 и +1 - экстремумы.
Ymin = Y(-1) = 0
Y max = Y(1) = 4
Пересекается с осью Y(0) = 3Функция y=f(x) определена на промежутке (-2;7). на рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции y=f(x), которые
наклонены под углом 30 градусов к положительному направлению оси абсцисс. (график в прикрепленном изображении).
Решение: Геометрический смысл производной: $$ tg \alpha =f(x_{0}) \\ \alpha $$ - угол наклона касательной к графику (к положительному направлению оси Ох).
$$ tg30^{o}= \frac{1}{ \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} $$≈0.58.
Проведем прямую у=0.58 и найдем количество точек пересечения с графиком производной, получим 1 точку пересечения (см. рисунок).
Ответ: 1 касательнаяДокажите что функция у = - 4х⁷- 3х⁵ - 2х +5 - строго убывающая.
Решение:
Функция: $$ y(x) = -4x^7 - 3x^5 - 2x + 5 \ ; $$
Найдём её производную: $$ y’_x (x) = \\ = - 4 \cdot 7 \cdot x^{7-1} - 3 \cdot 5 \cdot x^{5-1} - 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + 5 \cdot 0 = - 28 x^6 - 15 x^4 - 2 \\ 28 x^6 + 15 x^4 + 2 \geq 2 > 0 \, $$
поскольку любое число в чётной степени не меньше нуля.
Таким образом: $$ y’_x (x) = - ( 28 x^6 + 15 x^4 + 2 ) < 0 $$
Что означает, что функция: $$ y(x) = -4x^7 - 3x^5 - 2x + 5 $$
строго убывает на всей числовой оси аргумента.На рисунке изображены график функции y=f (x) и касательная
к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x0
Решение: Геометрический смысл производной в точке – это тангенс угла наклона касательной.
На графике отмечен равнобедренный треугольник $$ \triangle ABC $$ (один из многих, которые характеризуют угол наклона касательной к графику с отрицательным направлением оси абсцисс).
Т. е. в равнобедренном треугольнике стороны подчиняются следующим соотношениям:
$$ CB = AB \cdot \sin(\angle BAC)\\\\ AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)\\\\ \frac{CB}{AC} = \frac{AB \cdot \sin(\angle BAC)}{AB \cdot \cos(\angle BAC)} = \frac{\sin(\angle BAC)}{\cos(\angle BAC)} = \tan{\angle BAC} $$
В нашем $$ \triangle ABC: \ AC = 12, \ CB = 3 $$, следовательно:
$$ \tan{\angle BAC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 $$
Единственно, это угол, который касательная образует с отрицательным направлением оси абсцисс. Угол, который она образует с положительной будет равен:
$$ \tan(180^{\circ} - \arctan{\frac{1}{4}}) = -\tan(\arctan{\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4} = \boxed{-0.25} $$