производная »

график функции производной - страница 7

  • На рисунке изображён график функции y=f(x). Числа a, b, c, d и e задают на оси x четыре интервала. Пользуясь графиком, поставьте в cоответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
    ИНТЕРВАЛЫ
    А)
    (a; b)
    Б)
    (b; c)
    В)
    (c; d)
    Г)
    (d; e)
    ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
    1)
    производная отрицательна на всём интервале
    2)
    производная положительна в начале интервала и отрицательна в конце интервала
    3)
    функция отрицательна в начале интервала и положительна в конце интервала
    4)
    производная положительна на всём интервале


    Решение: Если функция убывает, производная отрицательна. если функция возрастает - производная положительная.
    интервал (a,b) -2 (производная положительна в начале интервала, отрицательна в конце)
    интервал (b,c) - 1(производная отрицательна на всем интервале)
    интервал (c,d)- 3
    интервал (d,c) - 4

  • Исследование функции y=21-x^2/7x+9 с помощью производной и построить график


    Решение: Решение: 
    1) область определения (-∞; ∞) 
    2) множество значений функции (-∞; ∞) 
    3) Проверим является ли функция четной или не четной: 
    y(x)=1/6x³-x²+1 
    y(-x)=-1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х), то функция не является ни четной ни не четная. 
    4) Найдем нули функции: 
    при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0;1) 
    при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0 
    уравнение не имеет рациональных корней. 
    5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума: 
    y’=0.5x²-2x; y’=0 
    0.5x²-2x=0 
    0.5x(x-4)=0 
    x1=0 
    x2=4 
    Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y’> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. 
    Так как на промежуткe (0;4) y’< 0, то на этом промежутке функция убывает. 
    Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3 
    Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1 
    6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: 
    y"=x-2; y"=0 
    x-2=0 
    x=2 
    Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх 
    Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз. 
    Точка х=2; является точкой перегиба. 
    у (2)=8/6-4+1=-5/3 
    7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^ 
    а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот. 
    Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b: 
    k=lim (прих->∞) (y(x)/x)=lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x)=∞ 
    Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет 

  • Необходимо исследовать функции по приведенной схеме при помощи производной и построить их график. 1) y=(x²-1)/(1+x²); 2) y=x-x³;


    Решение: 1)y=(x²-1)/(1+x²)
    D(y)∈(-∞;∞)
    y(-x)=(x²-1)/(1+x²)-четная
    x=0  y=-1
    y=0  x=1 U x=-1
    (0;-1);(1;0);(-1;0)-точки пересечения с осями
    y’=(2x+2x³-2x³+2x)/(1+x³)³=4x/(1+x²)²=0
    x=0
       _  +
    -
    убыв  0 возр
       min 
    y(0)=-1
    y"=(4+8x²+4x^4-8x-8x^4)/(1+x²)^4=(-4x^4+8x²-8x+4)/(1+x²)^4=
    (x-1)(-4x³-4x²+4x-4)/(1+x²)^4=0
    x=1
       +  +
    -
     вогн вниз 1  вогн вниз
    у(1)=0
    2) y=x-x³
    D(y)∈(-∞;∞)y(-x)=-x+x³=-(x-x³) нечетная
    x=0  y=0
    y=0  x(1-x)(1+x)=0  x=0  x=1  x=-1
    (0;0);(-1;0);(1;0) точки пересечения с осями
    y’=1-3x²=0⇒x=1√3 U x=-1√3
       _  +  _
    -
    убыв  -1/√3 возр  1/√3 убыв
    y(-1/√3)=-2/3√3
    y(1/√3)=2/3√3
    y"=1-6x=0
    x=1/6
    y(1/6)=35/216

  • График степенной функции. Постройте графики функций: 1, у=2х^2 2.y=2(x-1)^2 3.y=2/x 4.y=2/x-2 5.y=2/x+2 6. корень х+2 График показательной функции. Постройте графики функций: 1, у=(1/2)^x 2.y=(1/2)^x+3 3.y=(1/2)^(x-2) 4.y=(1/2)^2x 5.y=(1/2)^-x 6.y=-(1/2)^x Используя формулы производной произведения или частного найдите производную функции: a) y=x*sinx b)y=x/1+x


    Решение: a)

    y=x*sinx

    y’=(x*sinx)’ = (x)’ * sinx + x * (sinx)’ = 1 * sinx + x * cosx =  sinx + x*cosx

     b)

    y=x/(1+x) 

    y’=(x/(1+x))’ =( x’ * (1+x) - x * (1+x)’ )/(1+x)^2 = ( 1 * (1+x) - x * 1 )/(1+x)^2 =

      = ( 1+x - x )/(1+x)^2 =   1/(1+x)^2 = (1+x)^(-2)

    графики о вложении

  • На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной f′(x) в точке x0.


    Решение: Ответ: -1/3 (т. к. если нарисовать треугольник то получится отношение 2/6, но так как угол тупой то с противоположным знаком)

    значение производной f′(x) в точке x0 есть тангенс угла наклона касательной.

    поскольку касательная с осью Х образует тупой угол, то f’(x)<0 и равна y/x

    f’(x0)=-3/1=-3

  • На рисунке изображен график функции, к которому проведены касательные в четырех точках.
    Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной.


    Решение: 6) Углы наклона в точках А и D - тупые, причем угол А меньше угла D.
    Тангенсы углов (от 90 до 180) во второй четверти- отрицательные.
    Тангенс функция возрастающая, меньшему углу соответствует меньшее значение тангенса
    О т в е т.
    В точке А  3); в точке В 2) в точке С 4) в точке D 1).
    Аналогично,
    7) О т в е т.
    в точке А 2); в точке В 4); в точке С 1); в точке D  3).
    8) О т в е т.
    в точке K 2); в точке L 4); в точке M 1); в точке N  3).

  • На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные
    в четырёх точках.
    Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком,
    поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.
    ТОЧКИ:
    А )K
    Б) L
    В) M
    Г) N
    ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ:
    1)−4
    2) 3
    3) 2/3
    4) −0,5


    Решение: Геометрический смысл производной в точке
    f`(x₀)= k (касательной)
    k(касательной)=tgα, α - угол наклона касательной (прямой) к оси ох.
    Так как функция тангенс возрастает на (-π/2; π/2), то большему значению  аргумента соответствует большее значение тангенса.
    угол 1 и угол 2 образуют острые углы с осью ох. Тангенс острого угла положителен.
    Угол 2 больше угла 1, значит углу 2 соответствует значение производной равное 3, а углу 1 соответствует значение производной, равное 2/3.
    Углы 3 и 4 тупые. А смежные к ним острые.
    Смежный углу 3 больше, чем смежный к углу 4. Значит, тангенс  смежного с углом 3  равен |-4|=4, угол 3 имеет тангенс, равный (-4) и значение производной соответственно (-4).
    См. рисунок .

    Геометрический смысл производной в точкеf x k касательной k касательной tg - угол наклона касательной прямой к оси ох.Так как функция тангенс возрастает на - то большему знач...

  • На рисунке изображен график функции, к которой проведены касательные в четырех точках. Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной.


    Решение: Производная убывающей функции отрицательна: чем быстрее функция убывает, тем значение производной по модулю будет больше; следовательно, в точках A и D производная будет отрицательна, т. к. в точке A функция быстрее убывает, значит производная в этой точке будет равна -1 3/4, а в точке D -2/3. В точках B и C функция возрастает, значит значение производной будет положительное, а именно в точке B она будет равна 1,4, а в точке C 0,5, т. к. в точке C функция возрастает медленее

  • 1) Упростите выражение.
    2) На рисунке изображен график к функций y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0


    Решение: 1)$$ 3 cos^{2} \alpha - 5 + 3 sin^{2} \alpha = 3(1 - sin^{2} \alpha ) - 5 + 3 sin^{2} \alpha = \\ 3 - 3 sin^{2} \alpha - 5 + 3 sin^{2} \alpha = 3 - 5 = -2 $$
    2) Согласно геометрическому смыслу производной, если в точку x0 проведена касательная к графику функции, то значение производной функции в точке касания x0 равно угловому коэффициенту этой касательной. Угловой коэффициент касательной, в свою очередь равен тангенсу угла наклона касательной. Отсюда сначала найдём тангенс угла наклона. Для этого найдём две целые точки, через которые проходит касательная(точки с целыми абсциссами). Первая точка (-2;0), вторая - (0;6) Построим соединим эти точки взаимно линиями, построив прямоугольный треугольник. И найдём тангенс тангенс угла наклона(этот угол между касательной и положителньым направлением оси OX). Длины обоих катетов соответственно 2 и 6. Тангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Так что tg a= 6/2 = 3.
    Согласно геометрическому смыслу это и есть значение производной в точке x0.

  • 1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику производной f ’(x) функции f(x)=3cos^2x в точке с абсциссой x0=пи/4
    2. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x)=5x^2-7x+2 в точке с абсциссой x0=2


    Решение: Ответ производной три косинус квадрат икс ровно минус три синус два икс значение производной в точке пи /читворти  ровно минус три и это будет ответ первого задание

    Касательная-это та же прямая, функция которой задается f(x)=kx+b
    угловой коэффициент(k) =f’(x)=tg a ⇒
    f(x)=3cos²x
    f’(x)=-3sinx*2cosx=-6sinx*cosx=-3sin2x
    f’(x)=-3sin2x -это функция того графика к которой проведена касательная, значит, чтобы найти коэффициент касательной к графику нужно найти производную уже от функции f’(x)=-3sin2x
    ( f’(x) )’=(-3sin2x)’=-3cos2x*2=-6cos2x=-6cos(2*π/4)=-6cos(π/2)=0
    отв:k=0
    2)f(x)=5x²-7x+2
    f’(x)=10x-7=10*2-7=13
    f’(x)=tg a=13
    отв:13

<< < 567 8 9 > >>