график функции производной - страница 9

Исследовать функцию с помощью производной и построить график, используя полученные результаты исследования. f(x)=$ x^{3} $-3$ x^{2} $+1

Решение: Производная функции равна 3x^2-6x
Нули функции 3x(x-2) = 0 -> x=2 или x=0
Исследование: рисуем координатную прямую, и ставим точки 0 и 2, получаем так: -0-2->
Далее расставляем знаки справа налево, начиная с +
Получаем: на отрезке от (-бесконечности;0] и [2; +бесконечности) функция возрастает
на отрезке [0;2] - функция убывает
График вложил в файл :)
Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график f(x) = x^4-2x^2-3

Решение: ДАНО
Функция Y=x⁴-2x²-3
ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Область определения - X∈R или Х∈(-∞,+∞)
Непрерывная.
2) Пересечение с осью Х - х1 = - √3, х2 = √3
3) Пересечение с осью У - У(0) = -3.
4) На четность - Y(-x) =Y(x) - четная.
5) Первая производная для поисков точек экстремума.
Y’ = 4x³-4x =4x*(x²-1) = 0.
Корни - х1 = 0 и х2 = -1 и х3 = 1.
6) Минимум - Y(-1) = -4
Максимум - Y(0) = -3
Минимум - Y(1) = -4.
7) Убывает - Х∈(-∞,1]∪[0,1]
Возрастает - Х∈[-1,0]∪[1,+∞)
8) Вторая производная - поиск точек перегиба.
Y" = 12х² - 4 = 4*(3x²-1) = 0
x1 = - √3/3 x2 = √3/3 ~ 0.577.
9) Вогнутая - Х∈(-∞,√3/3]∪[√3/3,+∞)
Выпуклая - Х∈[-√3/3, √3/3].
10) График .
Y(x)=4x^2-x^4 исследовать функцию с помощью производной и построить график

Решение: Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)

Функция является четной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0,x⁴+4x²=0,x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. Значит (0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.

Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y’=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2 критические точки.

Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.

х = -1.5  -1.41  -1  -0.5 0 0.5 1  1.41 1.5
y ’=-4x³+8x 1.5 0 -4   -3.5 0   3.5 4 0 -1.5
В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,
в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум.
7.
Вычисление второй производной: y’’=0,12x²+8 = 0,4(3x²-2) = 0.
x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5
y’’=-12x²+8 -19   0 -4 -4 0 -19
Отсюда имеем 2 точки перегиба:
х₁ = √(2/3),
х₂ = -√(2/3).

8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.
x= -1   -0.817 -0.5   0.5 0.817 1
y’’=-12x²+8 -4 0 5 5 0 -4.
Функция вогнутая на промежутках
[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]
Выпуклая на промежутках
(-oo,sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)
9. График функции приведен .
1) исследование функции с помощью производной и построение графика:
$ y= \frac{ x^{4}+3 }{x} $ (делать с асимптотами)
2) Проинтегрировать и выполнить проверку дифференцированием- $ \int\limits^a_b {5 x^{3}- \frac{1}{4 \sqrt[4]{x} }+2- \frac{3 \sqrt[4]{x}+4 \sqrt{x} }{ \sqrt[4]{ x^{3} } } } \, dx $
3) вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=cos2x; x= $ - \frac{ \pi }{4} $; x=$ \frac{ \pi }{4} $; y=0.

Решение: 2)
$$ \int (5x^3-\frac{1}{4\sqrt[4]{x}}+2-\frac{3\sqrt[4]{x}+4\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}})dx = \\\\ = \int (5x^3-0.25 x^{-1/4} + 2 - 3x^{-1/2} - 4x^{-1/4})dx = \\\\ \int (5x^3-4.25 x^{-1/4} + 2 - 3x^{-1/2} )dx =\\\\ = \frac{5}{4}x^3-\frac{17}{3}x^{3/4}+2x-1.5x^{1/2} + C= \\\\ =\frac{5}{4}x^3-\frac{17}{3}\sqrt[4]{x^3}+2x-1.5\sqrt{x}+C $$
Дифференцируя последнюю строчку мы легко получим подынтегральное выражение из последнего интеграла.
3) Косинус на этом участке неотрицательный, так что
$$ S = \int\lim_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos 2x dx = 0.5\sin2x|\lim_{-\pi/4}^{\pi/4} = 0.5(1-(-1)) = 1 $$
Исследовать функцию с помощью ее производной и построить график y=-2X^2+6x-3

Решение: D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-2(-x)²+6(-x)-3=-2x²-6x-3-ни четная ни нечетная
Точки пересечения с осями
x=0⇒y=-3
y=0⇒-2x²+6x-3=0
D=36-24=12
x1=(-6-2√3)/-4=(3+√3)/2 x2=(3-√3)/2
(0;-3),((3+√3)/2;0),((3-√3)/2;0)
y’=-4x+6=0
x=1,5
+ _
___________________________
возр 1,5 убыв
max
ymax=-2(1,5)²+6*1,5-3=-2*2,25+9-3=-4,5+6=1,5
Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:
f(x)=4x^4-16/3x^3.

Решение: $$ f(x)=4x^{4}- \frac{16}{3x^{3}}; \\ f’(x)=16x^{3}- \frac{(16)’*3x^{3}-(3x^{3})’*16}{(3x^{3})^{2}}= \\ \frac{0*3x^{3}-9x^{2}*16}{3x^{6}}= \\ -\frac{144x^{2}}{3x^{6}}. \\ f’(x)=0 \\ -\frac{144x^{2}}{3x^{6}}=0 \\ 3x^{6} = 0 \\ x = 0 $$ $f x x - frac x f x x - frac x - x x frac x - x x - frac x x . f x - frac x x x x...$
Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график f(x)=x3-x2+4

Решение: 1)D(y)=R

2)f’(x)=3x2-2x

3)y=0,3x2-2x=0

x=0 или 3x-2=0

x=1.5

4)x=0, y=0.

(-∞;0) 0 (0;1.5) 1.5 (1.5;+∞)

f’(x) + 0 - 3.75 +

f(x) возрастает 4 убывает 12.875 возрастает

минимум
Исследовать функцию с помощью производной и построить её график. y=1/3x^2 - 1/2x^2

Решение: 1) область определения: -∞,+∞
2) область значения: -бесконеччность,+∞
3) пересечение с осью Ox: (0,0); (3/2,0)
4) экстремумы и монотонность: y’=x^2-x
x^2-x=0
x=0 и x=1
(-∞,0) и (1,+∞) функция возрастает
(0,1) функция убывает
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график: у=2х2-5х+2.

Решение: Найдём производную у = 2х+2,
найдём критические точки, решив уравнение 2х + 2 = 0, х = - 1,
найдём знак производной на промежутках: у( -2) = -4+2 = - 2, то на
( -∞ ; - 1) производная отрицательна, значит функция на этом промежутке убывает;
у (3) = 6+2=8, то на (- 1; ∞ ) производная положительна, значит функция возрастает.
Найдём координату точки минимума у( -1) = - 2 + 2 = 0
Графиком будет парабола с вершиной в точке ( - 1; 0)
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = x^3/2 + 3x^2 + 1

Решение: Y=x³/2+3x²+1
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-x³/3+3x²+1 ни четная и ни нечетная
y’=3x²/2+6x=0
1,5x(x+4)=0
x=0 x=-4
+ _ +
-(-4)-(0)-
возр max убыв min возр
ymax=y(-4)=-32+48+1=17
ymin=y(0)=1
y’’=3x+6=0
x=-2
y(-2)=-4+12+1=9
(-2;9)-точка перегиба
_ +
-(-2)-
выпук вверх вогн вниз
-

<< < 7 89 10 11 > >>

график функции производной - страница 9

Исследовать функцию с помощью производной и построить график, используя полученные результаты исследования. f(x)=\( x^{3} \)-3\( x^{2} \)+1

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график f(x) = x^4-2x^2-3

Y(x)=4x^2-x^4 исследовать функцию с помощью производной и построить график

Исследовать функцию с помощью ее производной и построить график y=-2X^2+6x-3

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:f(x)=4x^4-16/3x^3.

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график f(x)=x3-x2+4

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график. y=1/3x^2 - 1/2x^2

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график: у=2х2-5х+2.

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = x^3/2 + 3x^2 + 1

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:
f(x)=4x^4-16/3x^3.

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
y = x^3/2 + 3x^2 + 1