Processing math: 100%
производная »

график функции производной - страница 9

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график, используя полученные результаты исследования. f(x)=x3-3x2+1


    Решение: Производная функции равна 3x^2-6x
    Нули функции 3x(x-2) = 0 -> x=2 или x=0
    Исследование: рисуем координатную прямую, и ставим точки 0 и 2, получаем так: -0-2-> 
    Далее расставляем знаки справа налево, начиная с + 
    Получаем: на отрезке от (-бесконечности;0] и [2; +бесконечности) функция возрастает
    на отрезке [0;2] - функция убывает 
    График вложил в файл :)

    Производная функции равна x - xНули функции x x- - x или x Исследование рисуем координатную прямую и ставим точки и получаем так - - -  Далее расставляем знаки справа налево...
  • Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график f(x) = x^4-2x^2-3


    Решение: ДАНО
    Функция Y=x⁴-2x²-3
    ИССЛЕДОВАНИЕ
    1) Область определения - X∈R или Х∈(-∞,+∞)
    Непрерывная. 
    2) Пересечение с осью Х - х1 = - √3, х2 = √3
    3) Пересечение с осью У - У(0) = -3.
    4) На четность - Y(-x) =Y(x) - четная.
    5) Первая производная для поисков точек экстремума.
    Y’ = 4x³-4x =4x*(x²-1) = 0.
    Корни - х1 = 0 и х2 = -1 и х3 = 1.
    6) Минимум - Y(-1) = -4
    Максимум - Y(0) = -3
    Минимум - Y(1) = -4.
    7) Убывает - Х∈(-∞,1]∪[0,1]
    Возрастает - Х∈[-1,0]∪[1,+∞)
    8) Вторая производная - поиск точек перегиба.
    Y" = 12х² - 4 = 4*(3x²-1) = 0
    x1 = - √3/3 x2 = √3/3 ~ 0.577.
    9) Вогнутая - Х∈(-∞,√3/3]∪[√3/3,+∞)
    Выпуклая - Х∈[-√3/3, √3/3].
    10) График .

  • Y(x)=4x^2-x^4 исследовать функцию с помощью производной и построить график


    Решение: Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.

    Решение:

    1. Область определения функции - вся числовая ось.

    2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

    3. Четность, нечетность, периодичность:

    f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)

    Функция является четной. Функция непериодическая.

    4. Точки пересечения с осями координат:

    Ox: y=0,x⁴+4x²=0,x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. Значит (0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.

    Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

    5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

    y’=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2  критические точки.

    Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.

     х = -1.5  -1.41  -1  -0.5  0 0.5  1  1.41 1.5

    y ’=-4x³+8x  1.5  0 -4   -3.5 0   3.5  4  0  -1.5
    В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,
    в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум.
    7.
    Вычисление второй производной: y’’=0,12x²+8 = 0,4(3x²-2) = 0.
    x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5
    y’’=-12x²+8  -19   0  -4 -4 0 -19
    Отсюда имеем 2 точки перегиба:
    х₁ = √(2/3),

    х₂ = -√(2/3).

    8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
    Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.

    x=  -1   -0.817  -0.5   0.5  0.817 1
    y’’=-12x²+8 -4  0  5  5 0 -4.
    Функция вогнутая на промежутках
    [-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]
    Выпуклая на промежутках
    (-oo,sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)
    9. График функции приведен .
    Исследовать функцию f x -x х  и построить ее график. Решение . Область определения функции - вся числовая ось. . Функция f x  -x х  непрерывна на всей области определения. Точ...
  • 1) исследование функции с помощью производной и построение графика:
    y=x4+3x (делать с асимптотами)
    2) Проинтегрировать и выполнить проверку дифференцированием- ab5x3144x+234x+4x4x3dx
    3) вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
    y=cos2x; x= π4; x=π4; y=0.


    Решение: 2)
    (5x3144x+234x+4x4x3)dx==(5x30.25x1/4+23x1/24x1/4)dx=(5x34.25x1/4+23x1/2)dx==54x3173x3/4+2x1.5x1/2+C==54x31734x3+2x1.5x+C
    Дифференцируя последнюю строчку мы легко получим подынтегральное выражение из последнего интеграла.
    3) Косинус на этом участке неотрицательный, так что
    S=π/4limπ/4cos2xdx=0.5sin2x|π/4limπ/4=0.5(1(1))=1

  • Исследовать функцию с помощью ее производной и построить график y=-2X^2+6x-3


    Решение: D(y)∈(-∞;∞)
    y(-x)=-2(-x)²+6(-x)-3=-2x²-6x-3-ни четная ни нечетная
    Точки пересечения с осями
    x=0⇒y=-3
    y=0⇒-2x²+6x-3=0
    D=36-24=12
    x1=(-6-2√3)/-4=(3+√3)/2  x2=(3-√3)/2
    (0;-3),((3+√3)/2;0),((3-√3)/2;0)
    y’=-4x+6=0
    x=1,5
       +  _
    ___________________________
      возр 1,5  убыв
       max
    ymax=-2(1,5)²+6*1,5-3=-2*2,25+9-3=-4,5+6=1,5

    D y - y -x - -x -x - - x - x- -ни четная ни нечетнаяТочки пересечения с осями x y - y - x x- D - x - - -   x - - - y - x x        возр   убыв   maxymax - - - - -...
  • Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график:
    f(x)=4x^4-16/3x^3.


    Решение: f(x)=4x4163x3;f(x)=16x3(16)3x3(3x3)16(3x3)2=03x39x2163x6=144x23x6.f(x)=0144x23x6=03x6=0x=0f x x - frac x f x x - frac x - x x frac x - x x - frac x x . f x - frac x x x x...
  • Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график f(x)=x3-x2+4


    Решение: 1)D(y)=R

    2)f’(x)=3x2-2x

    3)y=0,3x2-2x=0

    x=0 или 3x-2=0

      x=1.5 

    4)x=0, y=0.

      (-∞;0) 0  (0;1.5) 1.5  (1.5;+∞)

    f’(x) + 0  - 3.75  +

    f(x) возрастает 4  убывает 12.875  возрастает

    минимум 

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить её график. y=1/3x^2 - 1/2x^2


    Решение: 1) область определения: -∞,+∞
    2) область значения: -бесконеччность,+∞
    3) пересечение с осью Ox: (0,0); (3/2,0)
    4) экстремумы и монотонность: y’=x^2-x
    x^2-x=0
    x=0 и x=1
    (-∞,0) и (1,+∞) функция возрастает
    (0,1) функция убывает

    область определения - область значения -бесконеччность пересечение с осью Ox экстремумы и монотонность y x -xx -x x и x - и функция возрастает функция убывает...
  • Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график: у=2х2-5х+2.


    Решение: Найдём производную у = 2х+2, 
    найдём критические точки, решив уравнение 2х + 2 = 0, х = - 1, 
    найдём знак производной на промежутках: у( -2) = -4+2 = - 2, то на 
    ( -∞ ; - 1) производная отрицательна, значит функция на этом промежутке убывает;
    у (3) = 6+2=8, то на (- 1; ∞ ) производная положительна, значит функция возрастает.
    Найдём координату точки минимума у( -1) = - 2 + 2 = 0
    Графиком будет парабола с вершиной в точке ( - 1; 0)

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график
    y = x^3/2 + 3x^2 + 1


    Решение: Y=x³/2+3x²+1
    D(y)∈(-∞;∞)
    y(-x)=-x³/3+3x²+1 ни четная и ни нечетная
    y’=3x²/2+6x=0
    1,5x(x+4)=0
    x=0  x=-4
       +  _  +
    -(-4)-(0)-
    возр  max  убыв  min  возр
     ymax=y(-4)=-32+48+1=17
    ymin=y(0)=1
    y’’=3x+6=0
    x=-2
    y(-2)=-4+12+1=9
    (-2;9)-точка перегиба
       _  +
    -(-2)-
    выпук вверх  вогн вниз
    -