производная »

график функции производной - страница 11

  • Функция y = f(x) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график её производной.


    Решение: Известно, что касательная наклонена к графику функции под углом 45°, значит производная функции в точке касания равна tg45°=1
    Нам дан график производной. Ищем где производная равна 1.
    На графике есть только одна точка, в которой производная равна 1.
    Значит имеется только одна касательная
    Ответ: 1

  • Исследовать функцию и построить график с помощью производной f(x)=2x^4-4x^3+x


    Решение: Если последний X не относится к степени, то у тебя получается три графика на координатной оси:
    1.
    1) D(y)= (-беск.;+беск.)
    2) E(y)= (0; +беск)
    3) непрерывна
    4) выпукла вниз
    5) четная
    6) возрастает при х принадл. E(y)
    2.
    1) D(y)=(-беск.;+беск.)
    2) E(y)=(-беск.;+беск.)
    3) непрерывна
    4) не четная, не нечетная
    5) при х принадл. (-беск.;0) - выпукла вниз, при х принадл. (0;+беск.) - вверх.

    Если последний X не относится к степени то у тебя получается три графика на координатной оси . D y -беск. беск. E y беск непрерывна выпукла вниз четная возрастает при х прина...

  • .
    Провести полное исследование функций с помощью производной, а так же построить графики.


    Решение: Функция $$ y= \frac{-x}{x^2 +1} $$
    1. области определения функции
    знаменатель $$ x^2+1 \geq 1 $$
    значит
    $$ x \in (-\infty;\infty) $$
    2. поведение функции на границе области определения
    Горизонтальная асимптота
    $$ \frac{-x}{x^2+1} = \frac{-x }{(x^2+1)} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x} } = \frac{-1}{x+ \frac{1}{x} } \\ \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x^2+1} = -0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x^2+1} = +0 $$
    вертикальные асимптоты:
    Нет, знаменатель не равен нулю
    3. Исследование функции на четность или нечетность.
    $$ y(-x) = \frac{-(-x)}{(-x)^2+1} = - \frac{-x}{x^2+1}= - y(x) $$
    Функция является нечетной.
    4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
    Поизводные функпии
    $$ y(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \\ y’(x) = \frac{u’(x) v(x) - u(x)v’(x)}{v^2(x)} $$
    u(x) = -x, u’(x) = -1; v(x) = x²+1, v’(x) = 2x
    $$ y’(x) = \frac{-1 (x^2+1) - (-x)2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 -1 +2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2-1}{(x^2+1)^2} \\ y’’(x) = \frac{(2x)(x^2+1)^2 - (x^2-1)2(x^2+1)^1 2x}{x^2+1)^4} = \frac{(x^2+1)(2x(x^2+1)-(x^2-1)2* 2x)}{x^2+1)^4} \\ y’’(x) =\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2* 2x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3 + 2x - (4x^3-4x)}{(x^2+1)^3} \\ y’’(x) =\frac{-2x^3 + 6x }{(x^2+1)^3} = \frac{2x(-x^2 + 3) }{(x^2+1)^3}=-2 \frac{x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} $$

  • Исследовать функцию f(x)= x^3+2x^2-7x+1 исследовать с помощью производной и построить график,


    Решение: F(x)=x³+2x²-7x+1
    1)D(f)=(-∞; +∞)
    2) f¹(x)=3x²+4x-7
    3) f¹(x)=0, 3x²+4x-7=0, D/4=4+21=25, √25=5, x1=(-2-5)/3=-7/3=-2(1/3)
      x2=(-2+5)/3=3/3=1
    4) f¹(x)<0, (-2(1/3); 1)
      f¹(x)>0, (-∞ ; -2(1/3))∪(1;+∞)
    5) f(-2(1/3) max, f(1) min
      f(-7/3)=(-7/3)³+2(-7/3)²-7*(7/3)+1=-343/27+2*(49/9)+(49/3)+1=-343/27+98/9+(49/3)+1=-343/27+294/27+441/27+1=392/27+1=15(14/27)
    f(1)=1³+2*1²-7+1=4-7=-3

  • Исследуйте функцию у = 6х - 2х^3 с помощью производной и постройте график


    Решение: Решение -

    D(y)∈(-∞;∞)
    y(-x)=-6x+2x³=-(6x-2x³) нечетная
    y=0  2x(3-x²)=2x(x√3-x)(√3+x)=0⇒x=0  x=√3  x=-√3
    (0;0);(-√3;0);(√3;0)-точки пересечения с осями
    y’=6-6x²=6(1-x)(1+x)=0
    x=1  x=-1
       _  +  _
    -(-1)-(1)-
    убыв  min возр  max  убыв
    ymin=y(-1)=-6+2=-4
    ymax=y(1)=6-2=4
    y’’=-12x=0
    x=0  y=0
    (0;0)-точка перегиба
       +  _
    -(0)-
    вогн вниз выпукл вверх

  • Задайте функцию y=f(x), определенную на всей числовой оси, график которой имеет с графиком ее производной, f’(x)=3*(x^2)-(2*x)+3, ровно ДВЕ общие точки.


    Решение: График функции  $$ f’(x)=3x^2-2x+3 $$  - это парабола. Вершина этой параболы находится в точке   $$ A(\frac{1}{3},2\frac{2}{3}) $$, так как
    х(верш)=-в/2а=2/6=1/3,  у(верш)=у(1/3)=2и2/3.
    Дискриминант Д<0, поэтому парабола не пересекает ось ОХ.
    Ровно 2 общие точки с этой параболой имеет прямая у=const, где const>2и2/3,
    например у=3, причем прямая определена на всей числовой оси.

<< < 91011