производная »

график функции производной - страница 11

  • Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график этой функции: \(y=-x^4 + 4x² -3 \)


    Решение: Y`=-4x³+8x
    Найдем экстремумы:
    -4x³+8x=0
    х=0, х=√2, х=-√2
    -о-о-о-⇒
      +(возвр) -√2 -(убыв) 0 +(возвр) √2 -(убыв)
    f(-√2)=1- максимум
    f(0)=-3- минимум
    f(√2)=1- максимум
    Для более точного графика найдем точки пересечения с Ох
    -x^4+4x²-3=0⇒x=1,1, √3,√3
    Вот и все изображай точки и соединяй график будет похож на букву М

    $$ y=-x^4+4x^2-3 $$
    1. Область определения: множество всех действительных чисел
    D(y) = R
    2. Первая производная
    $$ y’=(-x^4+4x^2-3)’=-(x^4)’+(4x^2)’-(3)’=-4x^3+8x $$
    3 Вторая производная
    $$ y’’=(-4x^3+8x)’=-12x^2+8 $$
    4 Точки пересечения с осью х:
    $$ x^4-4x^2+3=0 \\ x^2=t,(t \geq 0) \\ t^2-4t+3=0 \\ t_1=1;t_2=3 \\ \left[\begin{array}{ccc}x^2=1\\ x^2=3\end{array}\right.\to \left[\begin{array}{ccc}x_1, x_2=\pm 1\\ x_3, x_4=\pm \sqrt{3} \end{array}\right. $$
    5 Точки пересечения с осью у
    Пусть х =0
    $$ y=-3 $$
    6 Горизонтальны и наклонные асимтот нет.
    7. Критические точки
    $$ -4x^3+8x=0 \\ -4x(x^2-2)=0 \\ x_1=0;x_2,X_3=\pm \sqrt{2} $$
    8. Точки перегиба
    $$ -12x^2+8=0 \\ x^2= \dfrac{2}{3} \\ x_1,x_2=\pm \dfrac{ \sqrt{6} }{3} $$
    9. Точки разрыва нет
    10. $$ y(x)-y(-x)=(-x^4+4x^2-3)-(-(-x)^4+4(-x)^2-3)= \\ \\ =-x^4+4x^2+x^4-4x^2=0 $$
    Итак, функция четная, график симметричен относительно оси у
    Относительный минимум - $$ (0;-3) $$
    Относительный максимум - $$ (- \sqrt{2} ;1),( \sqrt{2} ;1) $$
    Множество значений функции: $$ y \leq 1 $$
    Наибольшее значение: $$ y =1 $$

  • 5. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.


    Решение: Производная функции, вычисленная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной. угол определяем между касательной и положительным направлением оси ОХ.
    ΔACB подобен ΔРКВ. <A=<KPB
    tg<A=AB:AC.
    AB=9, AC=6
    tg<A=9:6, tg<A=1,5 
    f’(x₀)=1,5

  • На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.


    Решение: Значение производной f ’(x) при данном значении аргумента x₀ равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке х₀.
    Тангенс угла наклона касательной определяем по соотношению Δу/Δх.
    По чертежу это составляет 2.

  • Как найти количество касательных к графику функции под заданным углом на промежутке(x;y) если дан график производной?


    Решение: 1) Найти тангенс этого угла
    2) Начертить график функции у=tgA (тангенс этого угла)
    3) Найти точки пересечения с графиком производной
    4) Из полученных точек выбрать те, которые принадлежат промежутку (x;y)

  • 6. Функция y=f(x) определена на промежутке (-4;5). На рисунке изображен её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой x0=-2. Вычислите значение производной функции y= x^2 * f(x) - 3x в точке x0=-2.


    Решение: Производную данной функции найдем через геометрический смысл: найдём такой треугольник, чтобы он был прямоугольным с гипотенузой - касательной, поделим у на х: 1/5=0,2
    дальше найдём производную от новой функции: $$ y= x^{2} *f(x)-3x \\ y’=2x*0,2-3=0,4x-3 $$ подставим значение х0:
    $$ y=0,4*(-2)-3=-0,8-3=-3,8 $$
<< < 91011 12 13 > >>