производная »

график функции производной - страница 8

  • Исследовать функцию с помощью производной +график: y=x^3-3x+2


    Решение: Есть описанный во многих учебниках конкретный порядок исследования функции. Берете и по порядку выполняете требуемые действия:
    1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
    2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
    3. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции
    и интервалы возрастания и убывания.
    4. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика
    функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
    5. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
    6. На основании проведенного исследования построить график функции.

  • Найти угловой коэффициент касательной, производной к графику функции f(x)=3+2x-x в квадрате в точке с абцисой Xo=1.


    Решение: Угловой коэффициент в точке касания есть производная функции в этой точке. Найдём производную функции f(x)=3+2x-x²:
    f’(x)=(3+2x-x²)=2-2x
    Теперь значение производной функции в точке х₀:
    f’(x₀)=2-2*1=0
    Угловой коэффициент касательной в точке касания равен k=0, то есть касательная параллельна оси абсцисс.
    Уравнение касательной:
    y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)
    f(x₀)=3+2*1-1=4
    y=4+0*(x-1)=4 - прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку y=4.

  • Как найти точки максимума и минимума функции по графику её производной? (можно пример?)


    Решение: Если дан дан график производной, и необходимо найти экстремумы, нужно найти точки пересечения графика произв. с осью Ох ("нули" производной). Если при переходе через эту точку график произв. идет из отрицательной области в положительную (произв. меняет знак с минуса на плюс), функция соответственно меняется с убывания на возрастание, значит сама точка является точкой минимума. Аналогично если при переходе через эту точку график произв. идет из положительной области в отрицательную, функция меняется с возрастания на убывание, тогда точка является точкой максимума.

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=x^6-x^3


    Решение: $$ y=x^6-x^3 $$
    1. Область определения функции
    $$ D(y)=R $$ - множество всех действительных чисел.
    2. Исследовать на четность
    $$ y(-x)=(-x)^6-(-x)^3=x^6+x^3 $$
    Итак, функция ни четная ни нечетная.
    3. Функция не пертодическая
    4. Точки пересечения с осью Ох и Оу
    4.1. Точки пересечения с осью Ох
    $$ x^6+x^3=0 \\ x^3(x^3+1)=0 \\ x_1=0;\,\,\,\,\,\,\,x_2=-1 $$
    (0;0), (-1;0) - точки пересечения с осью Ох
    4.2. Точки пересечения с осью Оу
    $$ x=0 \\ y=0 $$
    (0;0) - точки пересечения с осью Оу.
    5. Критические точки, возрастание и убывание функции
    5.1$$ y’=6x^5-3x^2 \\ 3x^2(2x^3-1)=0 \\ x_1=0 \\ x_2= \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} $$
    Итак, функция возрает на промежутке $$ ( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} ;+\infty) $$, убывает - $$ (-\infty;0) $$В точке х = ∛4/2 - функция имеет локальный минимум. а в точке х=0 - локальный максимум
    6 Возможные точки перегиба
    $$ y’’=30x^4-6x \\ 6x(5x^3-1)=0 \\ x_1=0 \\ x_2= \frac{ \sqrt[3]{25} }{5} $$

  • ИССЛЕДУЙТЕ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЙТЕ ГРАФИК.


    Решение: F(x)=3x-x³
    D(y)∈(-≈;≈)
    f(-x)=-3x+x³+-(3x-x³)-нечетная
    x=0  y=0-точка пересечения с осями
    f`(x)=3-3x²=3(1-x²)=3(1-x)(1+x)=0
    x-1 U x=-1
       _  +  _
    __________________________
    убыв  -1  возр  1  убыв
       min  max
    ymin=3*(-1)-(-1)³=-3+1=-2
    ymax=3*1-1³=3-1=2

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=3x-3^3


    Решение: Y=(3x-3)^3
    y’=9(3x-3)^2
    y’=0
    3x-3=0
    X=1
    Чертим ось х. Сверху слева над осью пишем у’ снизу слева под осью просто у. Ставим точку 1. Определяем знаки производной. Выходит + и +, в обоих промежутках, делаем вывод: функция не имеет экстреммумов и всегда возрастает. График- кубическая парабола, идёт снизу вверх пересекает ось х в точке 1.

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график


    Решение: 1) D(y)=R;E(y)=R
    2)F(-x)=-1/6*x^3+12x функция нечетная

    3) Точки пересечений:

    Ох: x(1/6*x^2-12)=0

      x=0 ; x^2=72

      x=+-\sqrt72

    Oy: y=0

    4)f`(x)=x^2/2-12=0

      x=+-\sqrt(24)

    ф-я возрастает от (-беск.\sqrt(24));(sqrt(24);+беск.)

    ф-я убывает от (-\sqrt(24);sqrt(24)

    x(max)=-\sqrt(24) x(min)=\sqrt24

    5) Точки перегиба:

    f``(x)=(1/6*x^3-12*x)=x=0

    Т. пер: х=0()

    У нас в школе обычно так описывали функцию. Извиняюсь за сколь "корявое описание" просто в редакторе писать долго. а сам график . Да и еще недочет в том что из под корней можно вытащить числа.

    $$ f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 12x \\ 1) $$ Функция определена и непрерывна на множестве вещественных чисел $$ R \\ 2) \ f’(x) = \frac{1}{2}x^2 - 12\\\\ \frac{1}{2}x^2 - 12 = 0\\\\ \frac{1}{2}x^2 = 12\\\\ x^2 = 24\\\\ \boxed{ x_1 = -\sqrt{24}, \ x_2 = \sqrt{24} } $$

    Так как это парабола, ветви которой идут вверх, то она будет принимать отрицательные значения при $$ x \in (-\sqrt{24};\sqrt{24}). $$ Соответственно исходная функция будет убывать при $$ x \in (-\sqrt{24};\sqrt{24}) $$ и возрастать при $$ x \in (-\infty; -\sqrt{24}) \cup (\sqrt{24}; +\infty) \\ 3) \ \min\limits_{x} f(x) = f(\sqrt{24}) = -16\sqrt{6}\\\\ \max\limits_{x} f(x) = f(-\sqrt{24}) = 16\sqrt{6} \\ 4) f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 12 = 0\\\\ x(\frac{1}{6}x^2 - 12) = 0\\\\ \frac{1}{6}x(x^2 - 72) = 0\\\\ \boxed{x_1 = 0, \ x_2 = -\sqrt{72}, \ x_3 = \sqrt{72}} $$

    D y R E y R F -x - x x функция нечетная Точки пересечений Ох x x -   x x   x - sqrt Oy y f x x -   x - sqrt ф-я возрастает от -беск. sqrt sqrt беск. ф-я убывает от - sqrt sqr...

  • Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график Y=2-3x^2-x^3


    Решение: D/dx ( 2 - 3x^2 - x^3) = -3x(x+2)
    Тогда max( y = 2- 3x^2 - x^3=)2, x = 0( локальный максимум)
    И min(y = 2- 3x^2 - x^3) = - 2, x = -2 (локальный минимум)

  • Построение графика функции с помощью производной \(y=\frac{x+1}{x^2+1}\)


    Решение: Попробуем исследовать в меру возможного.
    1) Область определения.
    X⊂ R или Х ⊂ (-∞;+∞)
    2) Непрерывная. Разрывов нет.
    3) На четность. У(1) = 2/5 и У(-1) = 0. Функция ни четная, ни нечетная.
    4) Пересечение с осью Х при Х= -1.
      Пересечение с осью У при Х=0 У=1
    5) Асимптоты. Lim(-∞) = 0. Lim(+∞) = 0.
    6) Монотонность.
    Производная
    $$ Y’= \frac{1}{ x^{2} +1}- \frac{2x(x+1)}{ ( x^{2} +1)^{2} } $$
    Убывает - Х⊂(-∞,√2-1]∪[√2-1,+∞)
    Возрастает - X⊂[-√2-1,√2-1]
    Точки экстремума.
    $$ Ymin =- \frac{ \sqrt{2} }{(- \sqrt{2}-1 ) ^{2}+1 } \\ Ymax= \frac{ \sqrt{2} }{( \sqrt{2}-1 )^{2}+1 } $$
    График, конечно, приблизительный.

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график f(x)=x^4-6x^2+4 отрезок от -1 до 1


    Решение: Дана функция: f(x)=x^4-6x^2+4.

    Общая схема исследования и построения графика функции

     1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.

    Область определения функции D(x)( = R.

    При определении области значений функции задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции (это будет в пункте 8).

    2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

    Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

    (-x)^4-6*(-x)^2+4 = x^4-6x^2+4.
    То есть, f = f(-x). Функция чётная.

    3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

    4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

    График функции пересекает ось X при f = 0
    значит надо решить уравнение:

    x^4−6x^2+4=0.
    Замена: х^2 = t.
    Имеем квадратное уравнение t^2-6t+4=0
    Квадратное уравнение, решаем относительно t: 
    Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*4=36-4*4=36-16=20;
    Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:t_1=(√20-(-6))/(2*1)=(√20+6)/2=√20/2+6/2=√20/2+3 = 
    = √5 + 3  ≈ 5.236068;t_2=(-√20-(-6))/(2*1)=(-√20+6)/2=-√20/2+6/2=-√20/2+3 =
    = -√5 + 3 ≈ 0.763932.
    Тогда получаем 4 корня:
      х_1 = -(-√5 + 3),
      х_2 = √(-√5 + 3),
      х_3 = -√(√5 + 3),
      х_4 = √(√5 + 3). Точки пересечения с осью X:
    Численное решение
    x1=0.874032048898,
    x2=−0.874032048898x2,x3=−2.28824561127,
    x4=2.28824561127.
    График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
    подставляем x = 0 в x^4 - 6*x^2 + 4.
    0^4−0+4 = 4Результат:
    f(0)=4
    Точка:
    (0, 4)

    5. Найти асимптоты графика - их нет.

    6. Вычислить производную функции f’(x) и определить критические точки.

    f’(x) = 4х³ - 12х = 4х(х² - 3).

    Приравниваем производную нулю: 4х(х² - 3) = 0.

    Получаем 3 корня (это критические точки):

    х = 0, х = √3 и х = -√3.

    7. Найти промежутки монотонности функции.

    Исследуем знаки производной:

    х = -2  -1.732  -1.5 -0.5 0  0.5 1.5  1.732  2
    y’=4х³ - 12х  -8  0  4.5 5.5  0 -5.5 -4.5   0 8.
    Где производная положительна - там функция возрастает, где отрицательна - там функция убывает.
    Возрастает на промежутках [-sqrt(3), 0] U [sqrt(3), oo).
    Убывает на промежутках (-oo,sqrt(3)] U [0, sqrt(3)]

    8. Определить экстремумы функции f(x).

    Где производная меняет знак с - на + там минимум функции, где меняет знак с + на - там максимум.

     экстремумы в точках:

    (0, 4) максимум,

     (-√ 3,5) и  (√ 3,5) минимумы.

    9. Вычислить вторую производную f’’(x).

    Приравниваем нулю вторую производную:

    f’’(x) = 12х²-12 =12(х² - 1) = 0.

    Имеем 2 точки перегиба функции: х = 1 и х = -1.

    10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

    Вогнутая на промежутках (-oo,1] U [1, oo).
    Выпуклая на промежутках [-1, 1]

    11. Построить график, используя полученные результаты исследования - . 

    На заданном интервале графика от -1 до 1 будет только выпуклая его часть.

<< < 678 9 10 > >>