производная »

график функции производной - страница 3

  • на рисунке изображён график функции f ’ (x) - производной функции f(x) определенной на интервале (-3,8). Найдите точки минимума функции f(x)


    Решение: Если график производной лежит выше оси Ox, то сама функция возрастает.
    Если график производной лежит выше оси Ox, то сама функция убывает.
    Точка минимума - точка в которой убывание функции сменяется возрастанием.
    Смотрим на производную. Видно что подходит точка 4.

  • На рисунке изображен график y=f ’ (x) — производной функции f (x), определенной на интервале(-13;5). Найдите количество точек максимума функции f (x), принадлежащих отрезку[-11;4].


    Решение: Критические точки - это точки в которых производная равна нулю, т е график производной пересекает ось Ох. Таких точек три: х=-10, х=-2, х=3.
    В точке максимума производная меняет знак с "+" на "-", такая точка одна: х=-2 (слева от этой точки значения производной выше оси Ох, справа - ниже)

  • На рисунке изображен график функции у=f(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-3;8) найдите точку минимума


    Решение: касательная параллельна прямой y=-20 означает, что производная равна нулю (так как производная от -20 по x будет 0)
    вот и находите точки на интервале (-8,3) где производная равна нулю.
    их две: -7 и 2
    ps: для Alasska.
    "а значит нужно посчитать колличество знакаперемен у проиводной "
    глупостей не говорите только. функция не обязана менять свое поведение. она может возрастать, потом идти параллельно оси ОХ и снова возрастать (открывайте учебник, читайте про точку перегиба) ! Производная при этом знак не поменяет (ну если только не считать 0 сменой знака), а вот через 0 пройдет. Поэтому все определяется не точками экстремума.
    плюс интервал от -8 до 3, а не от -9, до 9. а нулей производной на интервале от -8 до 3 всего 2!
    для общей информации - касательная к кривой в точке паралельна прямой y=k*x+b, если производная функции описывающей кривую в этой точке равна k (производная определяет "наклон" касательной). для y=-20 k=0, поэтому и производная должна быть равна нулю. и речь ни о каких экстремумах вообще идти не должна.
    и прежде чем ставить "2" за ответ - убедитесь в правильности своего.

  • На рисунке изображен график функции y=f(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-3;8). Найдите точку минимума функции f(x).


    Решение: Необходимое условие экстремума: производная равна нулю.
    Производная данной функции обращается в ноль в точках -2 и 4
    Эти точки являются точками возможных экстремумов. Чтобы узнать есть в каждой из этих точек экстремум надо воспользоваться теоремой- достаточное условие экстремума функции.
    х₀- точка, в которой производная равна нулю. Если при переходе через точку х₀ производная меняет знак с "+" на "-", то х₀- точка максимума, если с "-"  на "+", то точка минимума.
    При переходе через точку х=4 производная меняет знак с "-" на "+"
    График расположен ниже оси ох, а после точки 4 выше оси ох.
    х=4 - точка минимума

    .

    Необходимое условие экстремума производная равна нулю.Производная данной функции обращается в ноль в точках - и Эти точки являются точками возможных экстремумов. Чтобы узнать...

  • на рисунке изображен график функции y f x производной функции f x определенной на интервале (-3:8) Найдите точку минимума


    Решение: Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательной на положительную. Когда изображен график производной, то производная отрицательная ниже оси Х. На заданном интервале она из отрицательной области в положительную (положительная - выше оси Х) переходит в точке 4 на оси Х. 4 - точка минимума.

  • Для функции g(x) найдите первообразную график которой пересекается с графиком производной этой функции в точке x0 если g(x)=(3x-2)^1/3 х0=1


    Решение: $$ g(x)=(3x-2)^{\frac13};\ \ \ x_0=1;\\ G(x)=\int{g(x)}dx=\int{(3x-2)^{\frac13}}dx=\int{(3x-2)^{\frac13}}\frac{d(3x-2)}{3}=\\ =\frac13\cdot\int{(3x-2)^{\frac13}}d(3x-2)=\frac13\cdot\frac{1}{\frac13+1}\cdot(3x-2)^{\frac13+1}+C=\\ =\frac13\cdot\frac{1}{\frac43}\cdot(3x-2)^\frac43+C=\frac13\cdot\frac34\cdot(3x-2)^\frac43+C=\\ =\frac14(3x-2)^\frac43+C;\\ G(x)=\frac14(3x-2)^\frac43+C;\\ g’(x)=((3x-2)^\frac13)’=\frac13(3x-2)^{\frac13-1}\cdot(3x-2)’=\\ =\frac13\cdot(3x-2)^{-\frac23}\cdot3=(3x-2)^{-\frac23};\\ \\ G(x_0)=g’(x_0);\\ G(1)=g’(1);\\ \frac14(3x_0-2)^\frac43+C=(3x_0-2)^{-\frac23};\\ \frac14(3-2)^\frac43+C=(3-2)^{-\frac23};\\ \frac14\cdot1^\frac43+C=1^{-\frac23};\\ \frac14+C=1;\\ C=\frac34;\\ G(x)=\frac14(3x-2)^\frac43+\frac34; \\ G(x)=\frac14\sqrt[3]{(3x-2)^4} $$

  • Исследовать график функции с полною производной
    y=3x^2-4x+5 на [-1;3]


    Решение: у=3х²-4х+5, х∈[-1,3]

    y¹=6x-4=2(3x-2)=0 ⇒x=2/3 - критическая точка(стационарная точка)

    Знаки производной: - + + + +

      -(2/3)- 

    Функция возрастает на интервале (2/3,+∞) и убывает на интервале (-∞,2/3). 

    При х=2/3 функция имеет локальный минимум у(2/3)=3(2/3)²-4(2/3)+5=11/3

    На концах промежутка ф-ция принимает значения:

    у(-1)=3*(-1)²-4(-1)+5=12

    у(3)=3*3²-4*3+5=20

    Значит, наименьшее значение ф-ция принимает в точке локалього минимума у(2/3)=11/3, а наибольшее значение на правом конце промежутка у(3)=20.

  • Построить график функции с помощью производной y=x^4-5x^2+4


    Решение: Поначалу, узнаем область определения функции:
    Так эта функция имеет смыл при всех значениях икс, то получаем:
    $$ D(f)=(-\infty,+\infty) $$
    Проверим на четность:
    $$ f(x)=f(-x) $$ - то функция четна.
    $$ f(x)=-f(x) $$- то функция нечетна.
    Если ни один из этих определений не работают в нашей функции. То наша функция будет не чётна, не нечётна.
    Проверим:
    $$ x^4-5x^2+4= (-x)^4-5(-x)^2+4 $$
    Так как, степень четная, то получим:
    $$ x^4-5x^2+4=x^4-5x^2+4 $$ 
    Значит наша функция чётна, то есть, симметрична относительно оси игрек.
    Найдем теперь производную:
    $$ f’(x)=4x^3-10x $$
    Теперь найдем критические точки, при которых производная обращается в нуль:
    $$ 4x^3-10x=0 \\ x(4x^2-10)=0 \\ x_1=0 \\ 4x^2-10=0 \\ D= \sqrt{b^2-4ac}= \sqrt{160} = 2 \sqrt{40}=4 \sqrt{10} \\ x_2= \frac{4 \sqrt{10}}{8}= \frac{ \sqrt{10}}{2} \\ x_3=-\frac{ \sqrt{10}}{2} $$
    Отметим данные точки, на числовой прямой, и определим знак производной на интервалах:
    $$ (-\infty,\frac{ \sqrt{10}}{2})(-\frac{ \sqrt{10}}{2},0)(0,\frac{ \sqrt{10}}{2})(\frac{ \sqrt{10}}{2},+\infty) \\ (-\infty,\frac{ \sqrt{10}}{2})= - \\ (-\frac{ \sqrt{10}}{2},0)=+ \\ (0,\frac{ \sqrt{10}}{2})=- \\ (\frac{ \sqrt{10}}{2},+\infty)=+ $$
    То есть наглядно, это выглядит так:
     
      - + - +
    -$$ -\frac{ \sqrt{10}}{2} $$-$$ 0 $$-$$ \frac{ \sqrt{10}}{2} $$->
    Таким образом, $$ x=-\frac{ \sqrt{10}}{2} $$ точка минимума, x=0 точка максимума, $$ x=\frac{ \sqrt{10}}{2} $$ точка минимума.
    $$ y(-\frac{ \sqrt{10}}{2})=-2,25 \\ y(0)=4 \\ y(\frac{ \sqrt{10}}{2})=2,25 $$
    Теперь строим график, на основе проделанного исследования ()

  • Построить график функции (с использованием производной) \(y=x-\frac{x^3}{3}\)


    Решение: Для построения графика нужны координаты точек, а не производная.
    Производная, равная 0, нужна для определения критических точек.
    f = x - (x³ / 3)
    f’ = 1 -(3x²/3) = 1 - x² = 0
    x² = 1
    x = +-√1
    x₁ = 1 y₁ = 1-1/3 = 2/3 = 0,6667
    x₂ = -1 y₂ = -1-(-1/3) -1+1/3 = -0,6667
    Точки пересечения с осью координат XГрафик функции пересекает ось X при f = 0значит надо решить уравнение: 3 -x x + - = 0 3 Точки пересечения с осью X: Аналитическое решениеx1 = 0 ___ x2 = -\/ 3 ___ x3 = \/ 3 Численное решениеx1 = 0x2 = 1.73205080757Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x + (-x^3)/3. 3 -0 - 3 Результат:f(0) = 0Точка:(0, 0) График функции01234-3-2-1051015-20-15-10-5f = x + (-x^3)/3Точки перегибовНайдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d -(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d -(f(x)) = 2 dx -2*x = 0Решаем это уравнениеКорни этого ур-нияx1 = 0Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках(-oo, 0]Выпуклая на промежутках[0, oo) Горизонтальные асимптотыГоризонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 3 -x lim x + - = oo x->-oo 3 значит, горизонтальной асимптоты слева не существует 3 -x lim x + - = -oo x->oo 3 значит, горизонтальной асимптоты справа не существуетНаклонные асимптотыНаклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + (-x^3)/3, делённой на x при x->+oo и x->-oo 3 -x x + - 3 lim - = -oo x->-oo x значит, наклонной асимптоты слева не существует 3 -x x + - 3 lim - = -oo x->oo x значит, наклонной асимптоты справа не существуетЧётность и нечётность функцииПроверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: 3 3 -x x x + - = -x + - 1 3 3 - Нет 3 3 -x x x + - = -x - 1 3 3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной
    Вот данные для построения графика:
    х -4  -3  -2 -1.73   -1 -0.5 0  0.5 1 2  3  4
    у=х-(x^3/3) 17.33 6 0.667 0 -0.67 -0.46 0 0.458 0.667 -0.67 -6 -17.3
    Расположить цифры попарно - это координаты точек графика.

  • Исследовать при помощи производной и построить график функции f(x)= 1/3х^3 - x^2 +6.


    Решение: f(x) = 1/3 x^3 - x^2 + 6

    Продифференциируем функцию

    f ’ (x) = x^2 - 2x

    Приравняем производную к нулю

    x^2 - 2x = 0

    x (x - 2) = 0

    x = 0, или x - 2 = 0

    Из вышеназванного следует, что точки экстремума - это ноль и два

    Возьмём число один, для проверки знаков в следующих промежутках

    (минус ∞ ; ноль), (ноль ; два), (два ; плюс ∞)

    f ’ (1) = 1 - 2 = - 1

    Значит, что в среднем промежутке будет знак минус, в боковых плюс, из чего следует, что на промежутке от минус бесконечности до нуля производная функции положительна (сама функция возрастает), на промежутке от нуля до двух производная отрицательна (функция убывает), а на промежутке от двух до плюс бесконечности производная опять становится положительной, а функция возрастает.

    Точка "ноль" - точка максимума

    Точка "два" - точка минимума

<< < 123 4 5 > >>