производная »

график функции производной - страница 15

  • Исследовать функцию с помощью производной +график: y=x^3-3x+2


    Решение: Есть описанный во многих учебниках конкретный порядок исследования функции. Берете и по порядку выполняете требуемые действия:
    1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
    2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
    3. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции
    и интервалы возрастания и убывания.
    4. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика
    функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
    5. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
    6. На основании проведенного исследования построить график функции.

  • Найти угловой коэффициент касательной, производной к графику функции f(x)=3+2x-x в квадрате в точке с абцисой Xo=1.


    Решение: Угловой коэффициент в точке касания есть производная функции в этой точке. Найдём производную функции f(x)=3+2x-x²:
    f’(x)=(3+2x-x²)=2-2x
    Теперь значение производной функции в точке х₀:
    f’(x₀)=2-2*1=0
    Угловой коэффициент касательной в точке касания равен k=0, то есть касательная параллельна оси абсцисс.
    Уравнение касательной:
    y=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)
    f(x₀)=3+2*1-1=4
    y=4+0*(x-1)=4 - прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку y=4.

  • Как найти точки максимума и минимума функции по графику её производной? (можно пример?)


    Решение: Если дан дан график производной, и необходимо найти экстремумы, нужно найти точки пересечения графика произв. с осью Ох ("нули" производной). Если при переходе через эту точку график произв. идет из отрицательной области в положительную (произв. меняет знак с минуса на плюс), функция соответственно меняется с убывания на возрастание, значит сама точка является точкой минимума. Аналогично если при переходе через эту точку график произв. идет из положительной области в отрицательную, функция меняется с возрастания на убывание, тогда точка является точкой максимума.

  • Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=x^6-x^3


    Решение: $$ y=x^6-x^3 $$
    1. Область определения функции
    $$ D(y)=R $$ - множество всех действительных чисел.
    2. Исследовать на четность
    $$ y(-x)=(-x)^6-(-x)^3=x^6+x^3 $$
    Итак, функция ни четная ни нечетная.
    3. Функция не пертодическая
    4. Точки пересечения с осью Ох и Оу
    4.1. Точки пересечения с осью Ох
    $$ x^6+x^3=0 \\ x^3(x^3+1)=0 \\ x_1=0;\,\,\,\,\,\,\,x_2=-1 $$
    (0;0), (-1;0) - точки пересечения с осью Ох
    4.2. Точки пересечения с осью Оу
    $$ x=0 \\ y=0 $$
    (0;0) - точки пересечения с осью Оу.
    5. Критические точки, возрастание и убывание функции
    5.1$$ y’=6x^5-3x^2 \\ 3x^2(2x^3-1)=0 \\ x_1=0 \\ x_2= \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} $$
    Итак, функция возрает на промежутке $$ ( \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} ;+\infty) $$, убывает - $$ (-\infty;0) $$В точке х = ∛4/2 - функция имеет локальный минимум. а в точке х=0 - локальный максимум
    6 Возможные точки перегиба
    $$ y’’=30x^4-6x \\ 6x(5x^3-1)=0 \\ x_1=0 \\ x_2= \frac{ \sqrt[3]{25} }{5} $$

  • ИССЛЕДУЙТЕ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЙТЕ ГРАФИК.


    Решение: F(x)=3x-x³
    D(y)∈(-≈;≈)
    f(-x)=-3x+x³+-(3x-x³)-нечетная
    x=0  y=0-точка пересечения с осями
    f`(x)=3-3x²=3(1-x²)=3(1-x)(1+x)=0
    x-1 U x=-1
       _  +  _
    __________________________
    убыв  -1  возр  1  убыв
       min  max
    ymin=3*(-1)-(-1)³=-3+1=-2
    ymax=3*1-1³=3-1=2

<< < 131415 16 17 > >>