числа »

комплексные числа

  • 1)приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительныхкорней
    2))приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    3)укажите хотя бы одно значение параметра "а", при котором у уравнения 3x^2+аx+6=0: укажите все значения "а", при которых действительных корней нет
    вычислите:
    4) j^17+j^2005
    5)(-j)^3
    6)найдите значение многочлена z^2+361 при заданном значении переменной z=j
    7)найдите значение многочлена z^3+3z при заданном значении переменной z=(-j)
    8)для комплексных чисел z1 и z2 найдите их суму и разность если z1=1+j,z2=1-j


    Решение: 1) 0x - 2 = 0
    2) x^2 + x + 1 = 0
    3) 3x^2 + ax + 6 = 0
    D = a^2 - 4*3*6 = a^2 - 72
    Если у квадратного уравнения нет корней, то D < 0
    a^2 - 72 < 0
    a^2 < 72
    -√72 < a < √72
    -6√2 < a < 6√2
    Целые а на этом промежутке: -8, -7, -6, ..., 6, 7, 8
    4) j^17 + j^2005 = j^16*j + j^2004*j = 1*j + 1*j = 2j
    5) (-j)^3 = (-j)^2*(-j) = -1(-j) = j
    6) z = j; z^2 = j^2 = -1; z^2 + 361 = -1 + 361 = 360
    7) z = -j; z^3 + 3z = (-j)^3 - 3j = j - 3j = -2j (см. п. 5))
    8) z1 = 1 + j; z2 = 1 - j
    z1 + z2 = 1 + j + 1 - j = 2
    z1 - z2 = 1 + j - 1 + j = 2j

  • Разложить многочлен (x³+4х²+4х) на простейшие действительные множители. Варианты ответов: а)х(х+2)²; б)х(х+2)(х+4); в)(х(х+4)+4)х; г)х(х²+4(х+1)); д)х(х²+4х+4)
    2. Какой из многочленов имеет действительные корни, равные (-1) и (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (-i)?
    Варианты ответов: а)(х²+х-2)(х²+1); б)(х+1)(х²-4)(х²+1); в)(х+1)(х+2)²(х²+1); г)(х+1)(х-2)²(х+i)(x-i); д)(х-1)(х+2)²(х-i)²


    Решение: X^3 + 4x^2 + 4x  =  x(x^2 + 4x + 4)  =  x(x + 2)^2
    Ответ.  а
    №  2
    Ответ.  в)  (х  +  1)(x  +  2)^2(x^2  +  1)
    (x +1)(x +2)^2(x^2 + 1)  =  0
    1)  x +1 = 0 ---->  x_1  =  -1
    2)  (x +2)^2 = 0  ---->  x + 2 = 0  ---->  x_2  =  -2
    3)x^2 + 1 = 0 ---->  x^2  =  -1  ----> x_3  =  -i, x_4  =  i 

    1. x^3+4x^2+4x = x(x^2+4x+4) = x(x+2)^2
    2. Ответ  - в  - (х+1)(х+2)^2(x^2+1)
    первые два сомножителя имеют корни-1 и -2
    корни третьего ч квадрат + 1 равны i и (-i).

  • Нужно представить в алгебраической форме комплексное число $$ z=cos\pi + j sin\pi $$

    2) Комплексные числа вычислить
    $$ (\sqrt{2}/2+1/2j)^4 $$
    в корне находится только 2


    Решение: $$ z=cos\pi+j*sin\pi = -1+0*j=-1\\ z=-1\\ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{j}{2})^4\\ r=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ tga=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cosa=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ sina=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\\ z^4=(\frac{\sqrt{3}}{2})^4(cos(4*arccos\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+j*sin(4*arcsina\frac{\sqrt{3}}{3}))=\\ z^4=\frac{9}{16}(-0.7+j*0.62) $$

  • Изобразить графически комплексное число и найти модуль и главное значение аргумента: z=1-2i


    Решение: z=1-2i

    1- это вещественная часть числа 

    2i мнимая часть на графике 

    Число обозначается точкой (1; -2) на координатной плоскости

    Модуль: $$ р=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} $$

    Аргумент: $$ cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

    $$ sin\alpha =- \frac{2}{\sqrt{5}} $$

    $$ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    Ответ: $$ р=\sqrt{5} $$ и $$ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    z - i - это вещественная часть числа  i мнимая часть на графике  Число обозначается точкой - на координатной плоскости Модуль р sqrt - sqrt Аргумент cos alpha frac sqrt...

  • Найти все значения х, для которых комплексное число z=(log0,5log4log8(x^2+4)-1)i изображается точкой, лежащей в верхней части мнимой оси. Тема: Комплексные числа.


    Решение: Найти все значения х, для которых компл. число z=(log0,5log4log8(x^2+4)-1)i

    log0,5log4log8(x^2+4)-1 >0 ; x E R

    log0,5log4log8(x^2+4) >1 = log0,5(0,5)

    log0,5log4log8(x^2+4) > log0,5(0,5)

    так как log4log8(x^2+4) >0

    то

    0 < log4log8(x^2+4) <0,5

    1 < log8(x^2+4) < 2

    log8(8) < log8(x^2+4) < log8(64)

    8 < x^2+4 < 64

    4 < x^2 < 60 = 4*15

    -2√15 < x < -2

    или

    2 < x < 2√15

  • Найти все значения корня 4 степени из -1 (комплексные числа)


    Решение: |z|=√(0+1)=1
    argz=arctg(0/(-1))=arctg0=-3π/2
    zk=cos[(-3π/2+2πk)/4]+isin[(-3π/2+2πk)/4]
    k=0;1;2;3
    z0=cos(-3π/8)+isin(-3π/8)
    z1=cosπ/8+isinπ/8
    z2=cos5π/8+isin5π/8
    z3=cos9π/8+isin9π/8z argz arctg - arctg - zk cos - k isin - k k z cos - isin - z cos isin z cos isin z cos isin...

  • Корень 3 степени из (-8), найти все значения этого корня, при условии, что это комплексное число


    Решение: Пусть
    $$ \sqrt[3]{-8}=a+bi $$
    Причём a и b - действительные числа.$$ \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {3a^2bi-b^3i=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {bi(3a^2-b^2)=0}} \right. \left \{ {{a^3-3ab^2+8=0} \atop {b(a\sqrt3-b)(a\sqrt3+b)=0}} \right. \\ b=0\Rightarrow a^3=-8\Rightarrow a = -2\\ b=a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\ b=-a\sqrt3\Rightarrow a^3-3a\cdot(-a\sqrt3)^2+8=0\Rightarrow 8a^3=8\Rightarrow a=1\\ \sqrt[3]{-8}=-2\\ \sqrt[3]{-8}=1+i\sqrt3\\ \sqrt[3]{-8}=1-i\sqrt3 $$
    Тогда возведём в куб:
    $$ -8 = (a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i $$
    Далее группируем действительные и мнимые части... и т.д.

  • Y=x^4+x^2+1Найти наибольшее и наименьшее значение на промежутке [1,3) с помощью комплексных чисел


    Решение:

    Так как переменная в чётной степени, то все значения функции положительны.
    График биквадратной функции - парабола.
    Минимальное значение её - в вершине при х = 0, у = 1.
    На заданном промежутке минимальное значение
    при х = 1, у = 1+1+1 = 3.
    Максимальное - при х = 3, у = 81 + 9 + 1 = 91.

  • 1. Сумма (разность) сопряженных комплексных чисел равна 1) а
    2) 2bi
    3) bi
    4) 2a

    2. Для сопряженных комплексных чисел в алгебраической (тригонометрической) форме r^2 есть результат произведенного над ними действия

    1) умножения
    2) сложения
    3) возведения в степень
    4) деления

    3. В формуле Муавра значение (z^n вычисляется по формуле Муавра, если) r равно

    1) 2
    2) 0
    3) -1
    4) 1

    4. Для комплексных чисел в тригонометрической форме коэффициент определяется как \( r_{1} * r_{2} ( \frac{r_{1} }{r_{2} } ) \) при выполнении действия

    1) вычитания
    2) деления
    3) умножения
    4) сложения


    Решение: 1)z=a+ib z*=a-ib z+z*=a+ib+a-ib=2a z-z*=a+ib-a+ib=2ib
    2)z=r(cosφ+isinφ) z*=r(cosφ-isinφ) zz*=r²(cosφ+isinφ)(cosφ-isinφ)=
    r    ²(cos²φ-i²sin²φ)=r²(cos²φ-(-1)sin²φ)=r²(cos²φ+sin²φ)=r²
    3)z^n=(r(cosφ+isinφ))^n=(r^n)((cosnφ+isinnφ), т.е. r>0
    4)r₁(cosφ₁+isinφ₁)×r₂(cosφ₂+isinφ₂)=r₁r₂(cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂))
      r₁(cosφ₁+isinφ₁):r₂(cosφ₂+isinφ₂)=(r₁/r₂)(cos(φ₁-φ₂)+isin(φ₁-φ₂))

    z a ib z a-ib z z a ib a-ib a z-z a ib-a ib ib z r cos isin  z r cos -isin zz r cos isin cos -isin r cos -i sin r cos - - sin r cos sin r z n r cos isin n r n cosn isinn т.е....

  • Тема: комплексные числа
    Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3-2i, и разностью, равной -1+i.
    а) составьте формулу n-го члена прогрессии;
    б) найдите значение 15-го члена прогрессии;
    в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;
    г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.


    Решение: $$ a_1=3-2i;d=-1+i $$
    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
    формула n-го члена
    $$ a_n=(3-2i)+(n-1)*(-1+i)=\\\\3-2i+1-i+(i-1)*n=4-3i+(i-1)*n $$
    ищем 15-й член
    $$ a_{15}=4-3i+(i-1)*15=4-3i+15i-15=-11+12i $$
    $$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
    сумма первых 2-ти членов
    $$ S_{20}=\frac{2*(3-2i)+(20-1)*(-1+i)}{2}*20=\\\\(6-4i+19i-19)*10=-130+150i $$
    сумма с 10 по 40 равна
    $$ a_{10}+a_{11}+...a_{40}=\\=(a_1+a_2+a_3+...+a_9+a_{10}+a_{11}+.+a_{40})-(a_1+a_2+.+a_9) \\ S_{40}-S_9=\\ \frac{2*(3-2i)+(40-1)*(-1+i)}{2}*40-\frac{2*(3-2i)+(9-1)*(-1+i)}{2}*9=\\=(6-2i+39i-39)*20-(3-2i+8i-8)*9=\\=740i-660+54i-45=794i-705 $$

1 2 > >>