числа »

комплексные числа

  • 1)приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительныхкорней
    2))приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней
    3)укажите хотя бы одно значение параметра "а", при котором у уравнения 3x^2+аx+6=0: укажите все значения "а", при которых действительных корней нет
    вычислите:
    4) j^17+j^2005
    5)(-j)^3
    6)найдите значение многочлена z^2+361 при заданном значении переменной z=j
    7)найдите значение многочлена z^3+3z при заданном значении переменной z=(-j)
    8)для комплексных чисел z1 и z2 найдите их суму и разность если z1=1+j,z2=1-j


    Решение: 1) 0x - 2 = 0
    2) x^2 + x + 1 = 0
    3) 3x^2 + ax + 6 = 0
    D = a^2 - 4*3*6 = a^2 - 72
    Если у квадратного уравнения нет корней, то D < 0
    a^2 - 72 < 0
    a^2 < 72
    -√72 < a < √72
    -6√2 < a < 6√2
    Целые а на этом промежутке: -8, -7, -6, ..., 6, 7, 8
    4) j^17 + j^2005 = j^16*j + j^2004*j = 1*j + 1*j = 2j
    5) (-j)^3 = (-j)^2*(-j) = -1(-j) = j
    6) z = j; z^2 = j^2 = -1; z^2 + 361 = -1 + 361 = 360
    7) z = -j; z^3 + 3z = (-j)^3 - 3j = j - 3j = -2j (см. п. 5))
    8) z1 = 1 + j; z2 = 1 - j
    z1 + z2 = 1 + j + 1 - j = 2
    z1 - z2 = 1 + j - 1 + j = 2j

  • Разложить многочлен (x³+4х²+4х) на простейшие действительные множители. Варианты ответов: а)х(х+2)²; б)х(х+2)(х+4); в)(х(х+4)+4)х; г)х(х²+4(х+1)); д)х(х²+4х+4)
    2. Какой из многочленов имеет действительные корни, равные (-1) и (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (-i)?
    Варианты ответов: а)(х²+х-2)(х²+1); б)(х+1)(х²-4)(х²+1); в)(х+1)(х+2)²(х²+1); г)(х+1)(х-2)²(х+i)(x-i); д)(х-1)(х+2)²(х-i)²


    Решение: X^3 + 4x^2 + 4x  =  x(x^2 + 4x + 4)  =  x(x + 2)^2
    Ответ.  а
    №  2
    Ответ.  в)  (х  +  1)(x  +  2)^2(x^2  +  1)
    (x +1)(x +2)^2(x^2 + 1)  =  0
    1)  x +1 = 0 ---->  x_1  =  -1
    2)  (x +2)^2 = 0  ---->  x + 2 = 0  ---->  x_2  =  -2
    3)x^2 + 1 = 0 ---->  x^2  =  -1  ----> x_3  =  -i, x_4  =  i 

    1. x^3+4x^2+4x = x(x^2+4x+4) = x(x+2)^2
    2. Ответ  - в  - (х+1)(х+2)^2(x^2+1)
    первые два сомножителя имеют корни-1 и -2
    корни третьего ч квадрат + 1 равны i и (-i).

  • Нужно представить в алгебраической форме комплексное число $$ z=cos\pi + j sin\pi $$

    2) Комплексные числа вычислить
    $$ (\sqrt{2}/2+1/2j)^4 $$
    в корне находится только 2


    Решение: $$ z=cos\pi+j*sin\pi = -1+0*j=-1\\ z=-1\\ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{j}{2})^4\\ r=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ tga=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ cosa=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ sina=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\\ z^4=(\frac{\sqrt{3}}{2})^4(cos(4*arccos\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})+j*sin(4*arcsina\frac{\sqrt{3}}{3}))=\\ z^4=\frac{9}{16}(-0.7+j*0.62) $$

  • Изобразить графически комплексное число и найти модуль и главное значение аргумента: z=1-2i


    Решение: z=1-2i

    1- это вещественная часть числа 

    2i мнимая часть на графике 

    Число обозначается точкой (1; -2) на координатной плоскости

    Модуль: $$ р=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} $$

    Аргумент: $$ cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

    $$ sin\alpha =- \frac{2}{\sqrt{5}} $$

    $$ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    Ответ: $$ р=\sqrt{5} $$ и $$ \alpha=-arcsin\frac{2}{\sqrt{5}} $$

    z - i - это вещественная часть числа  i мнимая часть на графике  Число обозначается точкой - на координатной плоскости Модуль р sqrt - sqrt Аргумент cos alpha frac sqrt...

  • Найти все значения х, для которых комплексное число z=(log0,5log4log8(x^2+4)-1)i изображается точкой, лежащей в верхней части мнимой оси. Тема: Комплексные числа.


    Решение: Найти все значения х, для которых компл. число z=(log0,5log4log8(x^2+4)-1)i

    log0,5log4log8(x^2+4)-1 >0 ; x E R

    log0,5log4log8(x^2+4) >1 = log0,5(0,5)

    log0,5log4log8(x^2+4) > log0,5(0,5)

    так как log4log8(x^2+4) >0

    то

    0 < log4log8(x^2+4) <0,5

    1 < log8(x^2+4) < 2

    log8(8) < log8(x^2+4) < log8(64)

    8 < x^2+4 < 64

    4 < x^2 < 60 = 4*15

    -2√15 < x < -2

    или

    2 < x < 2√15

1 2 3 > >>