график функции » промежутки возрастания и убывания функции
  • Нужно найти интервалы возрастания и убывания. y=(x-2)(8-x)/x^2


    Решение: $$ Y= \frac{- x^{2} +10x-16}{ x^{2} } \\ y’= \frac{(-2x+10) x^{2} -(- x^{2} +10x-16)2x}{ x^{4} } $$
    После преобразований $$y’= \frac{32-10x}{ x^{3} } $$
    Находим критические точки - точки, в которых производная не сущ. или равна 0
     $$ \frac{32-10x}{ x^{3} } =0 \\ \left \{ {{32-10x=0} \atop {x eq 0}} \right. $$
    x=3,2   x≠0

    Получили две критические точки,  которые разбивают область определения на три интервала.  Находим знак производной на каждом из интервалов:
    x   |   -∞;0   |    0;3,2   |    3,2;+∞
    y’  |    -       |       +      |       -
    y   |   убыв |   возр |   убыв

  • Дана функция у = 0,5х в 4 степени - 4х в квадрате. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]


    Решение:

    у = 0,5х⁴ - 4х²

    у’ = 2х³ - 8х

    Найдём точки, где у’  = 0

    2х³ - 8х = 0

    2х·(х² - 4) = 0

    х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2

    1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах

    ----------- -2 --------------0--------------- 2 ----------

    у’(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30   у’ < 0,  у убывает

    у’(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6 у’ > 0,  у возрастает

    у’(1) = 2·1 - 8·1 = -6   у’ < 0,  у убывает

    у’(3) = 2·27 - 8·3 = 30 у’ > 0,  у возрастает

    Итак, промежутки возрастания и убываня функции:

    Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)

    Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]

    2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.

    В точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

    В точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума

    В точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

    y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

    y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

    y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0

    3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]

    На концах интервала функция принимает значения:

    у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5

    у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5

    В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум

    y max = y(0) = 0

    и один локальный минимум

    y min = y(2) =  -8

    Сравнивая все четыре значения функции, видим, что

    у наиб = у(3) = 4,5

    у наим = y(2) =  -8



  • Укажите промежутки возрастания функции:y=-x в четвертой степени +4х во второй степени -3


    Решение: Y = X^4 + 4X^2 - 3

    A = X^2

    Y = A^2 +4A - 3

    D = 16 - 4*1*(-3) = 16 + 12 = 28 V D = 5.2

    A1 = - 4 + 5.2 \\ 2 = 1.2 \\ 2 = 0.6

    A2 = - 4 - 5.2 \\ 2 = - 9.2 \\ 2 = - 4.6

    A = X^2

    X1 = V A1 = V 0.6 = 0.8

    X2 = V - A2 = 

    Y = 0.8^4 + 4*0.8^2 - 3 = 0.4 + 2.56 - 3 = - 0.04

  • Найдите промежутки, которым принадлежат абсциссы точек в которых касательная к графику функции у=32х - х^4 (в четвертой степени) образует острый угол с плюсовым направлением оси Ох


    Решение: $$ y = 32x - x^4\\ y’ = 32 - 4x^3\\ 4(8 - x^3) = 0, \\ (2 - x)(4 + 2x + x^2) = 0, \\ x = 2\\ \boxed{x \in (-\infty, 2)} $$

    Касательная образует острый угол с плюсовым направлением оси абсцисс тогда, когда производная в точке касания положительна. Когда производная равна нулю, угол прямой, когда отрицательна, угол тупой. В данном случае, как нетрудно убедиться, для всех значений переменной меньших двух, производная будет положительной.

  • 2. Представьте выражение b^9/4:b^-3/4 в виде степени с основанием b
    3. Вычислите значение выражения : log20 5+ log20 4

    4. Решите неравенство 2sin4x меньше или равно корень 2

    5. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=x^3+3x-2


    Решение: 2
    b^9/4:b^-3/4=b^(9/4+3/4)=b³
    3
    log(20)5+log(20)4=log(20)(5*4)=log(20)20=1
    4
    2sin4x≤√2
    sin4x≤√2/2
    3π/4+2πn≤4x≤9π/4+2πn
    3π/16+πn/2≤x≤9π/16+πn/2,n∈z
    5
    y`=3x²+3>0 при любом х⇒на всей области определения функция возрастает

    b b - b b log log log log sin x sin x n x n n x n n z y x при любом х на всей области определения функция возрастает...

  • 1. Упростите выражение : sin4a +sin2a * cos2a 2. Представьте выражение b^9/4:b^-3/4 в виде степени с основанием b

    3. Вычислите значение выражения : log20 5+ log20 4

    4. Решите неравенство 2sin4x меньше или равно корень 2

    5. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=x^3+3x-2

    6. Найдите объем конуса, если радиус основания 3 см и образующая 12 наклонена под углом 30*


    Решение: 1)sin4a+0,5sin4a=1,5sin4a
    2)b³
    3)log(20)20=1
    4)sin4x≤√2/2
    3π/4+2πn≤4x≤9π/4+2πn
    3π/16+πn/2≤x≤9π/16+πn/2
    x∈[3π/16+πn/2;9π/16+πn/2]
    5)y`=3x²+3x=3x(x+1)
    x=0  x=-1
       +  _  +
    ____________________________________________
    возр  -1  убыв  0  возр
    возр х∈(-≈;-1) и (0;≈)
    убыв х∈(-1;0)
    6)h-высота,l-образующая,R-радиус
    l=12  R=3
    h=1/2l=6,т.к.лежит против угла в 30гр
    V=1/3πR²h=1/3π*9*6=18π


  • Дана функция y=x в третей степени - 3х-8. найти промежутки убывания и возрастания


    Решение: y’=3x^2-3

    Найдём нули производной. x=-1 x=1.

    Производная положительна в диапазоне (-\infty;-1)U(1;\infty), отрицательна 

    (-1;1)

    Значит, функция возрастает на (-\infty;-1] и [1;\infty), а убывает на [-1;1]

     $$ y=x^{3}-3x-8 $$

    найдем производную функции

    $$ y`=3x^{2}-3 $$ 

    приравниваем ее к нулю

    $$ 3x^{2}-3=0 $$ 

    $$ x^{2}=1 $$

    х=-1;1

    отмечаем точки на числовой прямой

    ставим знаки плюс и минус

    ф-ция возрастает на промежутке (-бесконечность;-1]

    ф-ция убывает [-1;1]

    ф-ция возрастает [1;+бесконечности) 

  • Найти промежутки возрастания и убывания функци y равен x в третей степени - 12x + 7


    Решение: f(x)=x^3-12x+7

    f’(x)=3x^2-12

    3x^2-12=0

    3x^2=12

    x^2=4

    x=2 и x=-2 - точки экстремума

    Проверяем промежутки:

    от -беск. до -2: подставив -3 получаем 15>0 - следовательно функция возрастает

    от -2 до 2: подставив 0 получаем -12<0 - следовательно функция убывает

    от 2 до беск.: подставив 3 получаем 15>0 - следовательно функция возрастает.

    Промежутки возрастания функции: (-беск.; -2) и (2; беск.)

    Промежутки убывания функции: (-2;2)

  • Найти промежутки возрастания и убывания функции y=-x(4степени)+8x(2 степени)-16


    Решение: F(x)=-x^4+8x^2-16
    Найдем производную
    f’(x)=-(x^4+8x^2-16)’=-4x^3+16x=-4х(x^2-4)
    находим точки в которых производная равно нолю
    -4х(x^2-4)=0
    -4х=0       x^2-4=0
      х=0         x^2=4
                    х=+-2
    Получили две точки. Эти точки делят координатную ось Ох на етыре промежутка: 1=(-беск; -2), 2=(-2,0), 3=(0,2), 4=(2, беск)
    ОБЯЗАТЕЛЬНО НАРИСОВАТЬ НА КАРТИНКЕ ДАННЫЕ ИНТЕРВАЛЫ,И РАССТАВИТЬ ЗНАКИ
    определим знаки производной на этих интервалах
    1=(-беск; -2),
                    -3:  -4(-3)*((-3)^2-4)=12(9-4)=12*5=60      +
    2=(-2,0),
                   -1:   -4(-1)*((-1)^2-4)=4*(1-4)=4*(-3)=-12    -
    3=(0,2)
                  1: -4*1(1^2-4)=4*(1-3)=-4*(-2)=8                 +        
    4=(2, беск)  
                   3:   -4*3*(3^2-4)=-12(9-4)=-12*5=-60        -
    Видим, что функция возрастает на промежутках(-беск, -2) и ((0,2), а убывает на промежутках(-2,0) и (2, беск), а точки х=-2 и х=2 точки максимума функции, а точки х=0 точка минимум
    Ответ Функция возрастает при хЄ(-беск,-2)и(0,2), функция убывает при хЄ(-2,0) и(2,беск)

  • 1. Постройте график функции

    y=4x-2x^2+6

    Найдите промежутки убывания функции.

    2. Докажите тождество

    \( \frac{(sin \alpha+sin3\alpha)(cos\alpha-cos3\alpha)}{1-cos4\alpha}=sin2\alpha \)


    Решение: 1)

    Найти промежутки 

    y=-2x^2+4x+6

    y’=-4x+4=0

    -4x=-4

    x=1

    Через интервалы

    функция убывает на 

    [1;+oo)

     2)

    (sina+sin3a)(cosa-cos3a)=(2*sin2a*cosa)(2*sin2a*sina) =4*sin ^2(2a)*cosa*sina= 2sin2a*sin^2(2a)= 2sin^3(2a)

    1-cos4a=1-(сos 2(2a))=1-(cos^2(2a)-sin^2(2a)=1- cos^2(2a)+ sin^2(2a)=2sin^2(2a)

    2sin^3(2a)/2sin^2(2a)=sin(2a)

1 2 > >>