график функции »

промежутки возрастания и убывания функции

  • Нужно найти интервалы возрастания и убывания. y=(x-2)(8-x)/x^2


    Решение: $$ Y= \frac{- x^{2} +10x-16}{ x^{2} } \\ y’= \frac{(-2x+10) x^{2} -(- x^{2} +10x-16)2x}{ x^{4} } $$
    После преобразований $$y’= \frac{32-10x}{ x^{3} } $$
    Находим критические точки - точки, в которых производная не сущ. или равна 0
     $$ \frac{32-10x}{ x^{3} } =0 \\ \left \{ {{32-10x=0} \atop {x eq 0}} \right. $$
    x=3,2   x≠0

    Получили две критические точки,  которые разбивают область определения на три интервала.  Находим знак производной на каждом из интервалов:
    x   |   -∞;0   |    0;3,2   |    3,2;+∞
    y’  |    -       |       +      |       -
    y   |   убыв |   возр |   убыв

  • Дана функция у = 0,5х в 4 степени - 4х в квадрате. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]


    Решение:

    у = 0,5х⁴ - 4х²

    у’ = 2х³ - 8х

    Найдём точки, где у’  = 0

    2х³ - 8х = 0

    2х·(х² - 4) = 0

    х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2

    1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах

    ----------- -2 --------------0--------------- 2 ----------

    у’(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30   у’ < 0,  у убывает

    у’(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6 у’ > 0,  у возрастает

    у’(1) = 2·1 - 8·1 = -6   у’ < 0,  у убывает

    у’(3) = 2·27 - 8·3 = 30 у’ > 0,  у возрастает

    Итак, промежутки возрастания и убываня функции:

    Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)

    Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]

    2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.

    В точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

    В точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума

    В точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

    y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

    y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

    y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0

    3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]

    На концах интервала функция принимает значения:

    у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5

    у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5

    В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум

    y max = y(0) = 0

    и один локальный минимум

    y min = y(2) =  -8

    Сравнивая все четыре значения функции, видим, что

    у наиб = у(3) = 4,5

    у наим = y(2) =  -8



  • Укажите промежутки возрастания функции:y=-x в четвертой степени +4х во второй степени -3


    Решение: Y = X^4 + 4X^2 - 3

    A = X^2

    Y = A^2 +4A - 3

    D = 16 - 4*1*(-3) = 16 + 12 = 28 V D = 5.2

    A1 = - 4 + 5.2 \\ 2 = 1.2 \\ 2 = 0.6

    A2 = - 4 - 5.2 \\ 2 = - 9.2 \\ 2 = - 4.6

    A = X^2

    X1 = V A1 = V 0.6 = 0.8

    X2 = V - A2 = 

    Y = 0.8^4 + 4*0.8^2 - 3 = 0.4 + 2.56 - 3 = - 0.04

  • Найдите промежутки, которым принадлежат абсциссы точек в которых касательная к графику функции у=32х - х^4 (в четвертой степени) образует острый угол с плюсовым направлением оси Ох


    Решение: $$ y = 32x - x^4\\ y’ = 32 - 4x^3\\ 4(8 - x^3) = 0, \\ (2 - x)(4 + 2x + x^2) = 0, \\ x = 2\\ \boxed{x \in (-\infty, 2)} $$

    Касательная образует острый угол с плюсовым направлением оси абсцисс тогда, когда производная в точке касания положительна. Когда производная равна нулю, угол прямой, когда отрицательна, угол тупой. В данном случае, как нетрудно убедиться, для всех значений переменной меньших двух, производная будет положительной.

  • 2. Представьте выражение b^9/4:b^-3/4 в виде степени с основанием b
    3. Вычислите значение выражения : log20 5+ log20 4

    4. Решите неравенство 2sin4x меньше или равно корень 2

    5. Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=x^3+3x-2


    Решение: 2
    b^9/4:b^-3/4=b^(9/4+3/4)=b³
    3
    log(20)5+log(20)4=log(20)(5*4)=log(20)20=1
    4
    2sin4x≤√2
    sin4x≤√2/2
    3π/4+2πn≤4x≤9π/4+2πn
    3π/16+πn/2≤x≤9π/16+πn/2,n∈z
    5
    y`=3x²+3>0 при любом х⇒на всей области определения функция возрастает

    b b - b b log log log log sin x sin x n x n n x n n z y x при любом х на всей области определения функция возрастает...

1 2 3 > >>