промежутки возрастания и убывания функции - страница 3

1) Определите координаты вершин парабол: а) y=x^2+6, б) y= -x^2+3x, в) y=4x^2-12x+6.
2) Найдите координаты точек пересечения парабол с осями координат: а) y=-x^2+6x-5, б) y=4x^2+3x-1.
3) Постройте график функций и укажите промежутки возрастания и убывания: а) y=-x^2+2x+8, б) y=(x+2)^2-9.
4) Найдите наименьшее значение функции y=-x^2+6x-5.

Решение: Координаты вершины находятся по формуле x0=-b/2a; y0(f(x0)), точки пересечения с осями координат это корни квадратного уравнения, + не забывайте про точку пересечения с Oy.
Чтобы построить график, следует сделать вышеперечисленное, далее просто смотрите, на каком промежутке она убывает, на каком возрастает, ничего сложного. Для нахождения наименьшего значения нужно высчитать производную функции и приравнять её нулю, найти критические точки и подставить их в исходное уравнение функции.
Квадратичная функция задана уравнением :
y=12-3x^2
Не выполняя построения графика, определите:
1) Координаты вершины параболы;
2) Ось симметрии параболы;
3) Промежутки возрастания и убывания функции;
4) Наибольшее либо наименьшее значение функции;
5) Множество значений функции.

Решение: 1) Так как 3*x²≥0, то 12-3*x²≤12. Наибольшее значение функция принимает при x=0, оно равно 12. Точка (0;12) - вершина параболы.
2) Осью симметрии параболы является ось ОУ.
3) Функция возрастает на интервале (-∞;0] и убывает на интервале (0;+∞).
4) Набольшее значение функция принимает при x=0 и оно равно 12, наименьшего значения функция не имеет.
5) Множество значений функции есть интервал (-∞;12]
Найдите координаты точек плоскости, в кторых кубическая парабола y=x в кубе пересекается с прямой y=x. Укажите промежутки значений x, в которых прямая расположена выше кубической параболы.

Решение: 1) точки пересечения
x^3=x
x^3-x=0
x(x^2-1)=0
x=0
x^2=1 x=-1 x=1
так как эти точки принадлежат прямой у=х то в них у=х
то есть (-1,1) (0,0) (1,1)
2) рассмотрим интервалы x<-1 -1<x<0 0<x<1 x>1
если х будет > х^3 значит прямая будет выше
2.1) x<-1 возьмем х из этого интервала например х=-2
x^3=-8
x>x^3 значит на этом интервале прямая выше
2.2) -1<x<0 например х=-0,5
x^3=-0,125 x<x^3 прямая ниже
2.3) 0<x<1 например х=0,5
x^3=0,125 x>x^3 прямая выше
2.4) x>1 например х=2
x^3=8 x<x^3 прямая выше
таким образом
прямая выше при x<-1 и при 0<x<1
1)4x^2-15x+9 РАЗЛОЖИТЬ НА МНОЖИТЕЛИ
2) построить график функций f(x)=3+2x-x^2. найти
1)f(4)
2) корни уравнения f(x)= -2
3) нули данной функции
4) промежутки на которых f(x)>0 и на которых f(x)<0
5) промежуток на котором функция возрастает область значения данной функции

Решение: 1
4x²-15x+9=4(x-3/4)(x-3)=(4x-3)(x-3)
D=225-144=81
x1=(15-9)/8=3/4
x2=(15+9)/8=3
2
f(x)=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
Парабола у=-х², ветви вниз, вершина в точке (1;4), х=1 ось симметрии, точки пересечения с осями (0;3),(-1;0),(3;0)
1)f(4)=-5
2) корни уравнения f(x)= -2
-x²+2x+3=-2
x²-2x-5=0
D=4+20=24
x1=(2-2√6)/2=1-√6 U x2=1+√6
3) нули данной функции x=-1 и x=3
4) промежутки на которых f(x)>0 и на которых f(x)<0
x∈[-1;3] и x∈(-∞;-1] U [3;∞)
5) промежуток на котором функция возрастает
x∈(-∞;1]
6) область значения данной функции
E(f)∈(-∞;4]
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: Функция убывает тогда, когда производная отрицательна. По графику видно, что производная отрицательна, а, соответственно, функция убывает на промежутках (-9; -6) и (-2; 3)
Длина первого промежутка = |-9| - |-6| = 9 - 6 = 3
Длина второго промежутка = |-2| + 3 = 5
Длина наибольшего из них = 5
13. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: Функция убывает, если её производная меньше нуля. На графике производная меньше нуля на отрезках [-1, 5] и [7, 11]
Наибольшая длина - 6 единиц
F(x) убывает ⇔ f’(x)<0, по графику (-1;5) и (7;11).
Думаю, все таки имели ввиду длину наибольшего по длине из них. Она равна 6
Ответ:6
7. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите их суммарную длину.
8. При каком x>0 f ’(x)=0?
9. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество целых значений х, при которых функция f(x) возрастает.
10 (на картинке)

Решение: 6) по точкам угловой коэфицент прямой
2:1=2
Ответ:2
7)
грфик производной выше оси Ох, на 3 отрезках (-2;-1) (5;7) (11;12), их общая длина 4
Ответ:4
8)
по графику видно, что при х=3, график достигает максимума (касательная будет параллельна оси Ох)
Ответ: 3
9)
график производной выше оси Ох на 3 интервалах, в которых 7 целых х,
-5 -4 -3 на первом 3 4 5 на втором и 10 на третьем
Ответ 7 значений
10) то же самое что и 6
-5:4=-1,25
Ответ: -1,25
6
Для начала вспомним геометрический смысл производной. Мы знаем, что значение производной в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в точку x0. Значит, нам по сути надо просто найти угловой коэффициент прямой k. По всё тому же геометрическому смыслу k = tg a, а - угол между прмой и положительным направлением оси абсцисс. Находим его из прямоугольного треугольника. Например, по рисунку могу соединить две чёрные жирные точки, они образуют прямоугольный треугольник с катетами 6 и 3. Тогда tg a = 6/3 = 2
Ребятушки,
Вопрос жизни и смерти
1. Найти производную функции :
f(x)=3x^3-5.
2. Найти значение производной функции :
f (x) =x^3+3x-2 в точке x= -1
3. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x)= -x^2-4x+2 в точке с абсциссой x= -1
4. Найдите промежутки возрастания функции
f(x)=x^4-2x^2+3
5. Найдите множество всех первообразных функции
f(x) =3x^5

Решение: 1) производная $$ f’(x)=9x^2 $$

2) производная $$ f’(x)=3x^2+3 $$ затем,

$$ f’(-1)=3*1+3=6 $$

3) сначала подставлем значение от X=-1

$$ f(-1)=-(-1)^2-2*(-1)^2+2=-1-2+2=-1 $$

затем ищем производную

$$ f’(x)=-2x-4 $$

подставим значение x=-1 в производную

$$ f’(-1)=-2*(-1)*4=2*4=8 $$

теперь составим уравнение

$$ y=-1-1(x+1)=-1-x-1=-2-x $$

<< < 1 23