Processing math: 100%
график функции »

промежутки возрастания и убывания функции - страница 3

  • 1) Определите координаты вершин парабол: а) y=x^2+6, б) y= -x^2+3x, в) y=4x^2-12x+6.
    2) Найдите координаты точек пересечения парабол с осями координат: а) y=-x^2+6x-5, б) y=4x^2+3x-1.
    3) Постройте график функций и укажите промежутки возрастания и убывания: а) y=-x^2+2x+8, б) y=(x+2)^2-9.
    4) Найдите наименьшее значение функции y=-x^2+6x-5.


    Решение: Координаты вершины находятся по формуле x0=-b/2a; y0(f(x0)), точки пересечения с осями координат это корни квадратного уравнения, + не забывайте про точку пересечения с Oy.
    Чтобы построить график, следует сделать вышеперечисленное, далее просто смотрите, на каком промежутке она убывает, на каком возрастает, ничего сложного. Для нахождения наименьшего значения нужно высчитать производную функции и приравнять её нулю, найти критические точки и подставить их в исходное уравнение функции.

  • Квадратичная функция задана уравнением :
    y=12-3x^2
    Не выполняя построения графика, определите:
    1) Координаты вершины параболы;
    2) Ось симметрии параболы;
    3) Промежутки возрастания и убывания функции;
    4) Наибольшее либо наименьшее значение функции;
    5) Множество значений функции.


    Решение: 1) Так как 3*x²≥0, то 12-3*x²≤12. Наибольшее значение функция принимает при x=0, оно равно 12. Точка (0;12) - вершина параболы.
    2) Осью симметрии параболы является ось ОУ.
    3) Функция возрастает на интервале (-∞;0] и убывает на интервале (0;+∞).
    4) Набольшее значение функция принимает при x=0 и оно равно 12, наименьшего значения функция не имеет.
    5) Множество значений функции есть интервал (-∞;12]

  • Найдите координаты точек плоскости, в кторых кубическая парабола y=x в кубе пересекается с прямой y=x. Укажите промежутки значений x, в которых прямая расположена выше кубической параболы.


    Решение: 1) точки пересечения
    x^3=x
    x^3-x=0
    x(x^2-1)=0
    x=0
    x^2=1 x=-1 x=1
    так как эти точки принадлежат прямой у=х то в них у=х
    то есть (-1,1) (0,0) (1,1)
    2) рассмотрим интервалы x<-1 -1<x<0 0<x<1 x>1
     если х будет > х^3 значит прямая будет выше
    2.1) x<-1 возьмем х из этого интервала например х=-2
    x^3=-8
    x>x^3 значит на этом интервале прямая выше
    2.2) -1<x<0 например х=-0,5
    x^3=-0,125 x<x^3 прямая ниже
    2.3) 0<x<1 например х=0,5
    x^3=0,125 x>x^3 прямая выше
    2.4) x>1 например х=2
    x^3=8 x<x^3 прямая выше
    таким образом
    прямая выше при x<-1 и при 0<x<1
     
     

  • 1)4x^2-15x+9 РАЗЛОЖИТЬ НА МНОЖИТЕЛИ
    2) построить график функций f(x)=3+2x-x^2. найти
    1)f(4)
    2) корни уравнения f(x)= -2
    3) нули данной функции
    4) промежутки на которых f(x)>0 и на которых f(x)<0
    5) промежуток на котором функция возрастает область значения данной функции


    Решение: 1
    4x²-15x+9=4(x-3/4)(x-3)=(4x-3)(x-3)
    D=225-144=81
    x1=(15-9)/8=3/4
    x2=(15+9)/8=3
    2
    f(x)=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
    Парабола у=-х², ветви вниз, вершина в точке (1;4), х=1 ось симметрии, точки пересечения с осями (0;3),(-1;0),(3;0)
    1)f(4)=-5
    2) корни уравнения f(x)= -2
    -x²+2x+3=-2
    x²-2x-5=0
    D=4+20=24
    x1=(2-2√6)/2=1-√6 U x2=1+√6
    3) нули данной функции x=-1 и x=3
    4) промежутки на которых f(x)>0 и на которых f(x)<0
    x∈[-1;3]  и x∈(-∞;-1] U [3;∞)
    5) промежуток на котором функция возрастает
    x∈(-∞;1]
    6) область значения данной функции
    E(f)∈(-∞;4]

  • На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.


    Решение: Функция убывает тогда, когда производная отрицательна. По графику видно, что производная отрицательна, а, соответственно, функция убывает на промежутках (-9; -6) и (-2; 3)
    Длина первого промежутка = |-9| - |-6| = 9 - 6 = 3
    Длина второго промежутка = |-2| + 3 = 5
    Длина наибольшего из них = 5 

  • 13. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.


    Решение: Функция убывает, если её производная меньше нуля. На графике производная меньше нуля на отрезках [-1, 5] и [7, 11]
    Наибольшая длина - 6 единиц

    F(x) убывает ⇔ f’(x)<0, по графику (-1;5) и (7;11). 
    Думаю, все таки имели ввиду длину наибольшего по длине из них. Она равна 6
    Ответ:6

  • 7. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите их суммарную длину.
    8. При каком x>0 f ’(x)=0?
    9. На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х), определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество целых значений х, при которых функция f(x) возрастает.
    10 (на картинке)


    Решение: 6) по точкам угловой коэфицент прямой
    2:1=2 
    Ответ:2
    7)
    грфик производной выше оси Ох, на 3 отрезках (-2;-1) (5;7) (11;12), их общая длина 4
    Ответ:4
    8)
    по графику видно, что при х=3, график достигает максимума (касательная будет параллельна оси Ох) 
    Ответ: 3
    9) 
    график производной выше оси Ох на 3 интервалах, в которых 7 целых х,
    -5 -4 -3 на первом 3 4 5 на втором и 10 на третьем
    Ответ 7 значений
    10) то же самое что и 6
    -5:4=-1,25
    Ответ: -1,25

    6
    Для начала вспомним геометрический смысл производной. Мы знаем, что значение производной в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в точку x0. Значит, нам по сути надо просто найти угловой коэффициент прямой k. По всё тому же геометрическому смыслу k = tg a, а - угол между прмой и положительным направлением оси абсцисс. Находим его из прямоугольного треугольника. Например, по рисунку могу соединить две чёрные жирные точки, они образуют прямоугольный треугольник с катетами 6 и 3. Тогда tg a = 6/3 = 2
      

  • Ребятушки,
    Вопрос жизни и смерти
    1. Найти производную функции :
    f(x)=3x^3-5.
    2. Найти значение производной функции :
    f (x) =x^3+3x-2 в точке x= -1
    3. Напишите уравнение касательной к графику функции
    f(x)= -x^2-4x+2 в точке с абсциссой x= -1
    4. Найдите промежутки возрастания функции
    f(x)=x^4-2x^2+3
    5. Найдите множество всех первообразных функции
    f(x) =3x^5


    Решение: 1) производная f′(x)=9x2

    2) производная f′(x)=3x2+3 затем, 

    f′(−1)=3∗1+3=6

    3) сначала подставлем значение от X=-1 

    f(−1)=−(−1)2−2∗(−1)2+2=−1−2+2=−1

    затем ищем производную 

    f′(x)=−2x−4

    подставим значение x=-1 в производную

    f′(−1)=−2∗(−1)∗4=2∗4=8

    теперь составим уравнение 

    y=−1−1(x+1)=−1−x−1=−2−x

<< < 123