промежутки возрастания и убывания функции - страница 2

Каждой параболе поставь в соответствие ее вершину: А) у = х2 + 6х Б) у = х2 + 6х + 9 В) у = 6х – х2 1) (3; 9) 2) (–3; 0) 3) (–3; –9) 2. Упрости выражение: а) (а – 3)(а + 3) – (2 – а)2; б) (2a + 3b)(3b – 2a) – (a – b)(b + a); в) (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3); г) (5 – a)2 – (а + 1)2 + 5(2 – a)(2 + a). 1. Найди площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 8, а боковая сторона 5. 1) 40 2) 18 3) 12 4) 24 3. Каждому квадратному трехчлену поставь в соответствие его разложение на множители: А) х2 – 3х + 2 Б) х2 – 2х – 3 В) 2х2 + х – 3 1) (х – 1 )(х – 2) 2) (х + 1)(х – 3) 3) (х – 1)(2х + 3) 2. Задачи: а) Найти периметр ромба, если длина его меньшей диагонали равна 7 см, а один из его углов равен 60. б) Диагональ параллелограмма делит его на два равносторонних треугольника. Докажи, что этот параллелограмм —ромб, и найди угол, который образует его большая диагональ со сторонами. Реши неравенство, изобрази на числовой прямой множество его решений и запиши ответ с помощью обозначений: 1) 12 + х > 18; 2) 6 – х  4; 3) 6 + х < 3 – 2х; 4) 4 + 12х > 7 + 13х; 5) 3(2 + х) > 4 – х; 6) –(4 – х)  2(3 + х); Реши уравнение: 1) | 2x – 3 | = 5; 2) | 2 + 7x | = 1; 3) | 5 – 3x | = 0; 4) | 2x + 4 | = –2. Реши неравенство: 1) | 3x + 4 |  2; 2) | 6 – x | > 3. 2. Из формулы у = kx + b выразите угловой коэффициент k. 3. Каждому квадратному уравнению А) х2 – 2х – 8 = 0, Б) 5х2 – 3х – 2 = 0, В) х2+ 6х + 9 = 0 поставьте в соответствие его корни 1) – 0,4; 1, 2) – 2; 4, 3) –3. 4. Вычислите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке Е и делит ее на отрезки АЕ = 17 и ЕD = 21. 5. Постройте график функции у = х2 + 4х – 5 и укажите промежутки ее возрастания и убывания.

Решение: Каждой параболе поставь в соответствие ее вершину:

А) у = х² + 6х 3) (–3; –9)

Б) у = х² + 6х + 9 2) (–3; 0)

В) у = 6х – х²          1) (3; 9)

Упрости выражение:

а) (а – 3)(а + 3) – (2 – а)²=a²-9-4+4a-a²=4a-13;

б) (2a + 3b)(3b – 2a) – (a – b)(b + a)=9b²-4a²-a²+b²=10b²-5a²;

в) (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x + 3)=(x²-4)(x²-9)=x⁴-13x²+36;

г) (5 – a)² – (а + 1)² + 5(2 – a)(2 + a)=25-10a-a²-a²-2a-1+20-5a²=-7a²-12a+44.

Найди площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 8, а боковая сторона 5.

высота треугольника проведенная к основанию=3   (5*5-8/2 *8/2=9)

S=0.5*8*3=12

Ответ 3

Каждому квадратному трехчлену поставь в соответствие его разложение на множители:

А) х² – 3х + 2     1) (х – 1 )(х – 2)

Б) х² – 2х – 3     2) (х + 1)(х – 3)

В) 2х² + х – 3    3) (х – 1)(2х + 3)

Задачи:

а) Найти периметр ромба, если длина его меньшей диагонали равна 7 см, а один из его углов равен 60⁰.

меньшая диагональ=стороне ромба, т. к получается равносторонний треугольник, значит Р= 4*7=28

б) Диагональ параллелограмма делит его на два равносторонних треугольника. Докажи, что этот параллелограмм —ромб, и найди угол, который образует его большая диагональ со сторонами.

Равносторонние треугольники, значит углы по 60⁰. Каждая сторона равна диагонали, значит все стороны равны⇒ ромб. Угол=60⁰

Реши неравенство, изобрази на числовой прямой множество его решений и запиши ответ с помощью обозначений:

1) 12 + х > 18; х>6

2)

3) 6 + х < 3 – 2х;   3x<-3,   x<-1

4) 4 + 12х > 7 + 13х; -x>3, x<-3

5) 3(2 + х) > 4 – х; 6+3x>4-x, 4x>-2, x>0.5

6)

Реши уравнение:

1) | 2x – 3 | = 5; 2x-3=5,2x=8, x=4 и 2x-3=-5, 2x=-2, x=-1 Ответ -1; 4

2) | 2 + 7x | = 1; х=-1/7 и х=-3/7

3) | 5 – 3x | = 0; х=5/3

4) | 2x + 4 | = –2. решений нет

Из формулы у = kx + b выразите угловой коэффициент k.

k=(y-b)/x

Каждому квадратному уравнению поставьте в соответствие его корни

А) х² – 2х – 8 = 0,      2) – 2; 4,

Б) 5х² – 3х – 2 = 0,    1) – 0,4; 1,

В) х²+ 6х + 9 = 0   3) –3.

Вычислите периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке Е и делит ее на отрезки АЕ = 17 и ЕD = 21.

AE=AB=17

AD=AE+ED=38

P=2*(17+38)=110
1, Постройте график функции y=x2- 3[x]-модуль +2 и найдите промежутки монотонности.
2. Найдите множество значений функции на промежутке x принадлежит [-1;2]
y=x2- 3[x]+2.
3. Постройте график функции y=2x+[x-1].

Решение: y=x2- 3[x]-модуль +2 - парабола
1) раскроем модуль в первом случае
y=x2- 3х +2 где х больше или равен нулю
2) во втором случае y=x2+3х +2 где х меньше нуля
просто построй график y=x2- 3х +2 и выдели ту часть где х больше или равен нулю а остальную отбрось
затем другой график y=x2+3х +2 и выдели где х меньше нуля
Постройте график функции y=x^2+4x-7. с помощью графика найдите:
1) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -1,5
2) значение аргумента, при котором значение функции равно -2
3) промежутки знакопостоянства функции
4) промежутки возрастания и убывания функции
5) область значений функции
6) координаты точки графика, симметричной относительно его оси симметрии точке с абсциссой, равной 5

Решение: f(x)=x^2+4x-7
1) (-1.5,10.75)
2)(-5,2);(1,2)
3) (-∞,6)∪(-5,1)∪(2,∞)
4) ↑(-2,∞); ↓(-∞,2)
5) E(f)=y∈(-11,∞)
6) (-9,38)
График с таблицей
1. Найти координаты вершины параболы: а) у = х2 – 8х + 7; б) у = -х2 – 4х + 9; в) у = 2х2 + 16х – 1. 2. Постройте график функции у = -х2 + 6х – 5. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых у > 0, у < 0; б) промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее ее значение.

Решение: 1) а=1 ветви параболы направлены вверх,
2) вершина параболы х= -b/2a
a=1; b= -6
   -( - 6)
x= - =3 y=3^2 -6*3 +5=9-18+5= - 4 A (3; - 4)
2*1 =========
ПРЯМАЯ Х=3 ось
3) точеи пересечения с осями: если х=0 тогда у= 5   B(0;5) точка пересечения с осью У симметричная ей точка (6;5) =========
если у =0 х^2 -6x +5=0 D= 36-4*1*5=16

X=5 и х=1 С(5;0) и D(1;0) точки пересечения с осью Х
   ============
по точкам строим параболу,
А на оси х отмечаем точку х= 0,5 проведим прямую параллельную
оси У и из точки пересечения этой прямой с графиком опускаем перпендикуляр на ось У у=2 1/4
B берем точку у= -1 проводим прямую параллельную оси Х и из точки
пересечения ее с графиком опускаем перпендикуляр на ось Х
х=4.5 х=1.5
нули функции это точки пересечения с осью Х они уже есть
для х из промежутков (-беск; 1) и (5 ; + беск) у>0
ветви параболы над осью Х
для х из промежутка (1;5) у<0   парабола ниже оси Х
на промежутке (3 ; +беск) функция возрастает
   (-8)
вершины параболы 1) а=1 b= -8   x= - = 4
   2
у =4^2-8*4+7=16-32 +7= -9 A4;9)
Дана функция y=3/4 x - 6. Найти координаты точек пересечения с осями. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения. Промежутки возрастания и убывания функции

Решение: Y=3/4*x-6 с осями x=0 y=-6
3/4x-6=0 3/4 x=6 x=6*4/3=8 ось х пересекается в точке х=8
ось y в y= -6
y=3/4x-6>0 3/4x>6 x> 6*4/3=8
y’=3/4 функция возрастает на всей оси х.
241. Разложите на множители выражение (х+у)^2-x^4-y^4+2*x^2*y^2.
242. Сократите дроби: 10а^2-6a+5ab-3b / 5a^2-8a+3
x^2-4x+1 / x^2-2(2+V3)x+7+4V3
259. Постройте график функции:
у=-2х^2+1
y=3(x+2,5)^2
267. Найдите координаты вершины параболы и определите напраление ветви:
у=х^2-4x+3
y=x^2-10x+15
270. Постройте график данной функции, используя алгоритм:
у=2x^2-3x-2
277. Постройте график функции: у=-3x^2-6x-4
а) найти промежутки возрастания и убывания функции
б) найти максимальное значение функции
в) при каких х, у>0.

Решение: 241. $$ (x+y)^2-x^4-y^4+2x^2y^2=(x+y)^2-(x^4+y^4-2x^2y^2)=\\ (x+y)^2-(x^2-y^2)^2=(x+y+x^2-y^2)(x+y-x^2+y^2)=\\((x+y)+(x-y)(x+y))(x+y-(y-x)(y+x))=\\ (x+y)(1+x-y)(x+y)(1-y+x) $$

242. $$ \frac{10a^2-6a+5ab-3b}{5a^2-8a+3}=\frac{5a(2a+b)-3(2a+b)}{5(a-1)(a-0.6)}=\frac{(5a-3)(2a+b)}{(a-1)(5a-3)}=\frac{2a+b}{a-1} \\ \frac{x^2-4x+1}{ x^2-2(2+\sqrt3)x+7+4\sqrt3}=\frac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}=\frac{7-4\sqrt3}{1}=7-4\sqrt3 $$

259. см вложение

267. $$ y=-2x^2+1\\ n=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{-4}=0\\ m=y(n)=0+1=1\\ O(0;1) $$

ветви вниз

$$ y=x^2-10x+15\\ n=\frac{-b}{2a}=\frac{10}{2}=5\\ m=y(n)=25-50+15=-10\\ O(5;-10) $$

ветви вверх
$. x y -x -y x y x y - x y - x y x y - x -y x y x -y x y-x y x y x-y x y x y- y-x y x x y x-y x y -y x . frac a - a ab- b a - a frac a a b - a b a- a- . frac a- a b a- a- frac...$
Исследовать функцию y=1/3x^3-2x^2+4x+1 найти промежутки монотонности и координаты точек экстремма

Решение: Дана функция y=(1/3)x^3-2x^2+4x+1.
Производная равна (1/3)*3х² - 2*2х + 4 = х² - 4х + 4.
Находим критические точки, приравняв производную нулю:
х² - 4х + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*1*4=16-4*4=16-16=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:x=-(-4/(2*1))=-(-2)=2.
Исследуем поведение производной вблизи критической точки.
х = 1.5 2 2.5
у’ =x^2-4x+4 0.25 0 0.25.
Производная не меняет знак - значит, нет экстремума.
Так как производная положительна, то функция на всём числовом промежутке возрастающая.
Построить график функции по плану:
1) Найти ООФ
2) Если есть точки разрыва, исследовать их
3) Найти точки пересечения с осями координат
4) Вычислить чётность/нечётность
5) Выяснить периодичность
6) Найти производную, промежутки монотонности функции, экстремумы
7) Найти промежутки выпуклости, вогнутости, вторую производную и точки перегиба
8) Асимптоты графика функции (y=kx+b)
9) Построить график$ y=(x^3-5x)/(5-3x^2) $

Решение: 1) Найти ООФ
2) Если есть точки разрыва, исследовать их
Эти 2 вопроса практически совпадают, так как ООФ включает точки разрыва:
Если переменная в знаменателе, то есть точки разрыва при знаменателе, равном 0.
5 - 3х² = 0,
х = +-√(5/3),
значит, точки разрыва х₁ = -√(5/3) = -1.290994, х₂ = √(5/3) = 1.290994.
То есть график функции разбит на 3 участка:
первый от-∞ до -√(5/3),
второй от-√(5/3) до √(5/3),
третий от √(5/3) до +∞.
3) Найти точки пересечения с осями координат:
С осью У при Х = 0
у = х³ - 5х = 0,
Отсюда одно значение у = 0.
С осью Х при У = 0
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
х³ - 5х = 0,
х(х² - 5) = 0
х₁ = 0,
х = +-√5,
х₂ = -√5 = -2.2360679,
х₃ = √5 = 2.2360679.
4) Вычислить чётность/нечётность:
f(-x) = ((-x)³ - 5(-x)) / (5 - 3(-x)) = -(x³ - 5x) / (5 - 3x²).
То есть f(-x) = -f(x).
Значит, функция нечётная.
5) Выяснить периодичность - нет периодичности.
6) Найти производную, промежутки монотонности функции, экстремумы:
Производная\: частного: $$ ( \frac{f}{g})’ = \frac{f’g-g’f}{g^2} \\ \frac{d}{dx} (x^3-5x)=3x^2-5 \\ \frac{d}{dx} (5-3x^2)=-6x. $$
После подстановки получаем $$ y’= \frac{-3x^4-25}{(5-3x^2)^2} $$
Знаменатель производной в квадрате всегда положителен.
В числителе переменная в чётной степени, а выражения с минусом.
Значит, на каждом промежутке функции она убывающая.
Производная не может быть равна 0 (из за наличия переменной в знаменателе), поэтому у функции нет ни максимума, ни минимума.
7) Найти промежутки выпуклости, вогнутости, вторую производную и точки перегиба:
для этого надо найти вторую производную:
– если вторая производная меньше 0 на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале;– если вторая производная больше 0 на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале.
Вторая производная равна:
$$ f’’= \frac{60x(x^2+5)}{(3x^2-5)^3}. $$
Нулю может быть равна только при х = 0.
Это одна точка перегиба.
В точках разрыва функция меняет выпуклость на вогнутость, но это не считается точкой перегиба, так как функция в этих точках не определена.
8) Асимптоты графика функции (y=kx+b)
Есть 2 вертикальные асимптоты в точках разрыва х₁ = -√(5/3) и х₂ = √(5/3).
уравнение наклонной асимптоты слева: y = -х / 3,
справа уравнение наклонной асимптоты такое же: y = -х / 3.
9) Построить график. Смотри приложение.
Исследовать функцию на экстремум:
y=x^4-5x^2+4
Общая схема построения графика функции:
1) найти D(y)
2) четная/нечетная/периодическая функция
3) точки пересечения графика с осями координат
4) найти асимптоты
5) найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы
6) найти промежутки выпуклости графика функции точки перегиба
7) построить график

Решение: Y=x^4-5x^2+41)
от -бесконечности до +бесконечности
2)f(-x)=(-x)^4-5(-x)^2+4; f(-x)=f(x) - чётная
3) на графике видно
4)x - любое число, значит вертикальных асимптот нет.
5) монотонность - y’=4x^3-10x; 4x^3-10x=0; x=0 и x=sqrt(2,5); x=sqrt(2,5)-экстремум y’(2,5)=0
6) на промежутке (-беск;-sqrt(2,5)) - выпукла вниз, на (-sqrt(2,5);(sqrt(2,5) -в верх и (sqrt(2,5);+беск); - вниз.
$ f(x)=2x+\frac{8}{x} $ Найти чётность, переодичность, точки пересечения с осями координат, Монотонность, ограниченность, экстремумы и их точки, промежутки знака постоянства. Уже 2 час немогу сделать
PS $ f `(x)=2-\frac{8}{x^{2}} $

Решение: 1. Функция нечетная, непериодическая, точки пересечения с осью ординат не имеет (ось ординат является вертикальной асимптотой), с осью абсцисс пересекается в точке (2;0).

2. Производная равна нулю при х = 2 и х = -2, на промежутке от минус бесконечности до - 2 положительна (функция монотонно возрастает), на промежутке от - 2 до 0 отрицательна (функция монотонно убывает), на промежутке от 0 до 2 отрицательна (функция монотонно убывает) и от 2 до плюс бесконечности положительна (функция монотонно возрастает).

3. Точка х = -2 является первым экстремумом (точка максимума), точка х = 2 - вторым экстремумом (точка минимума). Точка х = 0 является точкой разрыва второго рода (бесконечного).

4. Функция ограничена по вертикали прямой х = 0.

<< < 12 3 > >>

промежутки возрастания и убывания функции - страница 2

Исследовать функцию y=1/3x^3-2x^2+4x+1 найти промежутки монотонности и координаты точек экстремма