график функции »

область определения функции

  • 1) Решите уравнения:

    |9+x|=0 |x-7|=0 |4x+3|=3

    2)Задана функция f(x)=4/9-x

    1.Найдите значения функции f(5);f(3);f(1).

    2.Найдите значения x,при которых f(x)=-4;f(x)=2.

    3.Запишите область определения функции в виде числового промежутка.

    3)Известно,что f(x)=7x+1.Сравните:

    1.f(1/7) и f(-1/7) 3.f(0,5) и f(-0,5)

    2. f(0) и f(1) 4.f(-2) и f(2)


    Решение: 1) Модуль -это расстояние от начала отсчета (точки 0) до указаноого числа, т. е. модуль -это неотрицательное число. Модули противоположных чисел равны:|9|=|-9|=9.

     |9+x|=0, т. е. 9+х=0, откуда х=-9;

     |x-7|=0 , т. е. х-7=0, откуда х=7;

    |4x+3|=3, т.е. 4х+3=3 или 4х+3=-3

      4х=0 или 4х=-6

      х=0 или х=-3/2=-1,5 

    2)Значения функции: f(5)=  4/(9-5)=4/4=1; f(3)=  4/(9-3)=4/6=2/3; f(1)=  4/(9-1)=4/8=1/2;

      Значения х, при котторых значения функции f(x)=-4, т.е. 4/(9-х)=-4, откуда 9-х=-1, т. е. х=10;

      f(x)=2, т.е.  4/(9-х)=2, откуда 9-х=2, т. е. х=7. 

      Запишите область определения функции в виде числового промежутка:9-х=0, т. е. х=9, тогда промежуток будет такой: (-∞; 9)U(9; +∞).

    3) Известно,что f(x)=7x+1.Сравните:
    1.f(1/7) и f(-1/7) 2. f(0) и f(1) 3.f(0,5) и f(-0,5) 4.f(-2) и f(2)

      f(x)=7x+1 - это линейная функция, графиком которой является прямая, причем эта функция возрастает , т. к. коэффициент при х (7) >0. Поэтому 

    1. f(1/7) > f(-1/7), 2. f(0) < f(1), 3. f(0,5) > f(-0,5), 4.f(-2) <  f(2) /

  • 1)решите неравенство используя метод интервалов: а) (x+9)(x-5)>0 б) x-3/x+6<02)решите уравнение: а)x^3-49x=0 б)x^2+3/4-17-3x/8=2 в) x^4-17x^2+16=0
    3)при каких значениях t уравнение 25x^2+tx+1=0 не имеет корней?
    4) найти область определения функции y=корень5x-2x^2


    Решение: 1.а)х=-9 х=5
       +  _  +
    _________________________
       -9  5
    х∈(-≈;-9)U (5;≈)
    б)x=3 x=-6
       +  _  +
    _________________________
       -6  3
    x∈(-6;3)
    2.a) x(x-7)(x+7)=0⇒x=0,x=7,x=-7
    б)2x²+6-17+3x-16=0
    2x²+3x-27=0
    D=9+216=225 √D=15 x1=(-3-15)/4=-4,5  x2=(-3+15)/4=3
    в) х²=а
    а²-17а+16=0  а1+а2=17 и а1*а2=16
    а1=16⇒х²=16⇒х=4 и х=-4
    а2=1⇒х²=1⇒х=1 и х=-1
    3)D=t²-100<0
    (t-10)(t+10)<0
    t=10  t=-10
       +  _  +
    _______________________
       -10  10
    t∈(-10;10)
    4)5x-2x²≥0
    x(5-2x)≥0
    x=0  x=2,5
       _  +  -
    __________________________
       0  2,5
    x∈[0;2,5]


  • Найдите область определения функции y=log3 (3x-2):(x2-1) Найдите значение выражения (log5 36 - log5 12) : log5 9 Решите неравенство 3в степени x-2 > 1 разделить на 9 Решить уравнение log2 (3x-1)=2


    Решение: 1)О.О.Ф.= система первая строка 3х-2>0

      вторая хв квадрате-1>0 знак следования

    1= 3х>2

    2= х в квадрате >1 знак следования

    1= х>2/3

    2=х > 1

    3=х>-1

    Ответ: х принадлежит промежутку от 1 до плюс бесконечности, скобки круглые

    2) (лог по осн 5 числа 36/12)/ (лог по основанию 5 числа 9)= (лог по основанию 5 числа 3)/ (лог по основанию 5 числа 9)=лог по основанию 9 числа 3=-2

    3) 3 в степени х-2> 1/9

    3 в степени х-2> 3 в степени -2

    так как 3>1, то функция y=a в степени х-возрастающая

    х-2>-2

    x>0

    х принадлежит промежутку от 0 до полюс бесконечности скобки круглые

    4) 

    О.Д.З.: 3х-1>0

      3x>1

      x>1/3

    решение лог по основанию 2 числа (3х-1)=2

     лог по основанию 2 числа (3х-1)= лог по основанию 2 числа 4

    3х-1=4

    3х=5

    х=5/3=1 2/3

    Ответ: 1 2/3

  • 1) найдите область определения функции:
    А)y=√3x²+10x-8 (все выражение под корнем)
    Б)y=-1/√6x²-15x (знаменатель весь под корнем)
    2)решить неравенство методом интервала
    А)(x²+8)(x-4)(x-2)<0
    Б)x+3,5/x+4 >0
    3)решить неравенство
    А)x²-3x-4/x²+5x+6>0
    Б)x²-16/x²-11x+30 <0


    Решение: Что такое область определения? Это множество значений х, при которых данная функция существует. 
    Что значит : существует? Это значит, что её значение можно вычислить
     ( посчитать)
    А что иногда и нельзя вычислить?!
    Тут надо помнить, что некоторые действия у нас не всегда выполняются: а) на 0 делить нельзя
    б) кв. корень извлекается только из неотрицательных чисел
    в) и т.д.
    1) Теперь наши функции.
    а)Ищем область определения у = √(3х² + 10 х -8)
    (3х² + 10 х -8) ≥ 0
    Ищем корни: 3 и - 4
    Ответ: х∈(-∞; -4] ∨[3; +∞)
    б) 6х² - 15 х ≠0
      х( 6х - 15)≠0
      х≠ 0 и 6х - 15 ≠0
      6х ≠ 15
      х ≠5/2
    Ответ: х≠0 и х ≠2,5
    2)(х² + 8) (х - 4)( х - 2) < 0
    первый множитель х² + 8 > 0
    разбираемся с остальными. ищем корни: х = 4 и х = 2
    -∞ + 2 - 4 + + ∞
       IIIIIIIIIIIIIII
    Ответ х∈( 2; 4)
    б) ищем корни числителя и знаменателя х = -3,5 и х = -4
    -∞ + -4 - -3,5 + +∞
    IIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
    Ответ : х∈( -∞ ; -4) ∨ ( -3,5; + ∞)
    3) ищем корни числителя и знаменателя  4 и -1; 5 и 6
    -∞ + -1 - 4 + 5 + 6 + +∞
     + + + - +
    Ищем промежуток, где общий -
    Ответ: х∈(-1 ; 4)∨(5; 6)

  • Решите неравенство: 1) x^2/2 ≤(6x-2)/9
    2)14/(10x+5)(1-x) <0
    Решите систему неравенств:
    1)1-числитель(1- x)/знаменатель2<4-числитель(5+5x)/ знаменатель3
    Найдите область определения выражения:
    y= корень из x^2+2(весь числитель под корнем)/x^2-4


    Решение: 1 задание. 
    $$ \frac{x^2}{2}\leq\frac{6x-2}{9}|*18\\9x^2\leq12x-4\\9x^2-12x+4\leq0\\(3x-2)^2\leq0\to3x-2\leq0\\3x\leq2\\x\leq\frac{2}{3} $$
     $$ x∈(–∞; \frac{2}{3}] $$

    2 задание. 
    $$ \frac{14}{(10x+5)(1-x)} < 0\\\left\{{{10x+5 > 0}\atop{1-x > 0}}\right.\left\{{{10x > -5}\atop{-x > -1}}\right.\left\{{{x > -\frac{1}{2}}\atop{x < 1}}\right. $$
    $$ x∈(-\frac{1}{2} ; 1)$$

    3 задание. 
    $$ 1-\frac{1-x}{2} < 4-\frac{5+5x}{3}|*6\\6-(3-3x) < 24-(10+10x)\\6-3+3x < 24-10-10x\\3+3x < 14-10x\\3x+10x < 14-3\\13x < 11\\x < \frac{11}{13} $$
    $$ x∈(–∞; \frac{11}{13}) $$

    4 задание. 
    $$ y=\frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2-4}\\x^2-4=0\\x^2=4\to x=б\sqrt{4} $$
    D(f) = (–∞; –2)∪(–2; 2)∪(2; +∞)

  • 1.Решите неравенство: х²+7х-8≥0
    2.Решите уравнение: а) 3х-2√х -8=0
    б) √2х+15=х(под корнем всё вместе,т.е 2х+15)
    3. Найдите область определения: 1/√4х+3 (под корнем весь знаменатель)


    Решение: 1.Решите неравенство: х²+7х-8≥0
    D=49+32=81
    x12=(-7+-9)/2=-8 1
    (x+8)(x-1)>=0
    ===========-8========1=========
    ++++++++++ ------------- ++++++++
    x=(-oo -8]U[1 +oo)
    2.Решите уравнение: а) 3х-2√х -8=0
    x>=0
    √x=t t>=0
    3t²-2t-8=0
    D=4+96=100
    t12=(2+-10)/6=-4/3 2
    -4/3 не подходит
    √x=2
    x=4
    б)√2х+15=х под корнем всё вместе, т.е 2х+15)
    ОДЗ x>=0
    возводим в квадрат
    2x+15=x²
    ч²-2x-15=0
    D=4+60=64
    x12=(2+-8)/2=-3 5
    x1=-3 не подходит
    х=5
    3.Найдите область определения:1/√4х+3 (под корнем весь знаменатель)
    4x+3>=0
    x>=-3/4

  • Решите неравенство:
    1.2x+4<0
    x-7
    2.x-1
    x+5 ≤3 (меньше или равно)
    Найдите область определения функции:
    Y=    √5x-4x^2 (выражение под корнем)


    Решение: 1)x=-2  x=7
       +  -  +
    ________________________________
       -2  7
    x∈(-2;7)
    2)(x-1-3x-15)/(x+5)≤0⇒(-2x-16)/(x+5)≤0⇒2(x+8)/(x+5)≥0
    x=-8 x=-5
      + - +
    ______________________________________
      -8 -5
    x∈(-≈;-8] U (-5;≈)

  • 1.Решите неравенство.

    а)-3<5x-2<4

    б)(x+2)(x-1)(3x-7)≤0

    2.Найдите область определения выражения. √-x²+5x+14 (все выражение под корнем)

    3.Решите систему неравенств

    7-5x/2≤-4

    x²-4x<0

    4.При каких значениях параметра P неравенство px²+(2p+1)x-(2-p)<0 верно при всех значениях x?


    Решение: 1.Решите неравенство.

    а)-3<5x-2<4

    -5х-2 > -3 ------- система

      5х-2 < 4 -------

      х<⅕

      х<1⅕

    дальше на прямой эти точки покажете ответ: х∈ (-∞;⅕)

    б)(x+2)(x-1)(3x-7)≤0

    решаете неравенство в каждой скобке:

    х ≤ -2

    х ≤ 1

    х ≤ 2⅓

    на прямой покажете точки ответ: х∈ (-∞;-2]υ[1;2½]

    2.Найдите область определения выражения. √-x²+5x+14 (все выражение под корнем)

    √-х²+5х+14

    -х²+5х+14≥0

    -х²+5х+14=0

    решаете квадратное, корни отмечаете на прямой. ответ: х∈[-2;7] 

  • -1 ≤ 4-5x < 1 6 Решите двойное неравенство и укажите , если возможно , наибольшее и наименьшее целое решение неравенства

    найти область определения выражения f(x)=\/_4-5x_ <1

    6


    Решение: 1)-5 <=-5Х<12

      -12/5< X <=1

      -2,4

    Ответ: (-2,4; 1] 

    2)Корень квадратный  извлекается с неотрицателных чисел ,тогда подкоренное выражение будет больше или равно нулю.

    Имеем неравенство: 4-5Х>=0,

      -5X >=-4,

      X<=0.8

    Ответ: (-бескк.;0,8]. 

     

  • (5) Найдите область определения выражения:
    Корень из 5х^2+2х-3

    (9) найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства

    -3< = 5+3х/4 <= -1


    Решение: $$ 1)\; y=\sqrt{5x^2+2x-3}\\\\OOF:\; 5x^2+2x-3 \geq 0\\\\5x^2+2x-3=0,\; D=64,\; x_1=\frac{-2-8}{10}=-1,\; x_2=\frac{-2+8}{10}=\frac{3}{5}\\\\5x^2+2x-3=5(x+1)(x-\frac{3}{5}) \geq 0\\\\+++[-1]---[\frac{3}{5}]+++\\\\x\in (-\infty,1]U[\frac{3}{5},+\infty) $$

    $$ 2)\; -3 \leq \frac {5+3x}{4} \leq -1\\\\-12 \leq 5+3x \leq -4\\\\-17 \leq 3x \leq -9\\\\-\frac{17}{3} \leq x \leq -3\\\\-5\frac{2}{3} \leq x \leq -3 $$

    Длина отрезка равна разности 

    $$ d=-3-(-5\frac{2}{3})=-3+5\frac{2}{3}=2\frac{2}{3} $$

1 2 3 > >>