определите координаты точек пересечения графиков - страница 3
Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=8/x и y=6-x. Изобразите графики этих функций и отметьте найденные точки.
Решение: Y=8/x гипербола в 1 и 3 ч
х -8 -4 -2 -1 1 2 4 8
у -1 -2 -4 -8 8 4 2 1
у=6-х прямая во 2 и 6 ч
х 2 4
у 4 2
(2;4) и (4;2)
Найдите координаты точек пересечения графиков функции:
3) у= 2-х и у=-5х +6
4) у=2+3х и у=8х+7
5) у=1-3х и у=-х-1
6) у= 1+7х и у=6х
Решение: 3)1;1 4)-1;-1 5)1;-2 6)-1;-63) 2-x= -5x +6
4x=4
x=1
y=2-1
(1;1)
4) 2+3x = 8x+7
-5x=5
x=-1
y=-1
(-1;-1)
5)1-3x=-x-1
-4x=-2
x=0,5
y=-1,5
(0,5;-1,5)
6) 1+7x=6x
x=-1
y=-6
(-1;-6)
Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=47x-9 и y=-13x+231
Решение: Выражения функций нужно приравнять друг к другу:
47х-9=-13х+231
47х+13х=231+9
60х=240
х=4
y=47*4-9=179
точка пересечения: (4;179)Y=47x-9 и y=-13x+231
1. приравняем значения функций
47x-9=-13x+231
47x+13x=231+9
60x=240
x=240/60
x=4
2. найдем y точки пересечения
y=47x-9 или y=-13x+231
y=47*4-9=179 или y=-13*4+231=179
(4;179)
Ответ: (4;179)
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) y= -4x-10 u y=-1,5x+5
b) y=6+x u y=x ²-4x
c) y=x ²-12x+5 u y=5x-67
d) y= -9/x u y= -x
Решение: a) y= -4x -10 и y = -1,5x +5 (две прямые линии).
-4x -10 = -1,5x +5 ;
- 4x +1,5x = 5 +10 ;
-2,5x =15;
x =15: (-2,5), * * * 15/(-2,5) = - 15/2,5 = - (15*4)/(2,5*4) = - (60/10) = - 6 * * *
x= -6 ⇒ y = - 4x -10 =(-4)*(-6) -10=24 -10 =14.
ответ: координаты точки пересечения P( -6 ; 14) x(P)= -6, y(P) =14.
-
б) y =6+x и y =x² -4x; прямая линия и парабола).
6+x =x² -4x⇔x² -5x -6=0 ⇒ x₁ = -1 и x₂ =6.
y =6+x ⇒ y₁= 5 ; y₂ =12.
Две точки пересечения P₁(-1; 5) и P₂(6;12).
ответ: координаты точек пересечения x₁ = -1, y₁= 5 и x₂ =6, y₂ =12.
в) y =x² -12x+5 и y =5x -67. (парабола и прямая линия)
x² -12x+5 =5x - 67;
x² -17x+72 =0 ;
x₁ = 8 и x₂ =9;
y =5x -67 ⇒ y₁= 5*8 -67= -27 ; y₂ =5*9 -67 = -13.
Две точки пересечения P₁(8; -27) и P₂(9; -13).
ответ: координаты точек пересечения x₁ = 8, y₁= -27 и x₂ =9, y₂ =-13.
г) y =-9/x и y =-x (гипербола и прямая линия).
-9/x = -x ;
x² =9 ;
x₁ = -3 и x₂ =3.
y =- x ⇒ y₁= 3 ;y₂ = -3.
Две точки пересечения P₁(-3; 3) и P₂(3;-3) _симметричные точки относительно начало координат.
ответ: координаты точек пересечения x₁ = -3, y₁= 3 и x₂ =3, y₂ = - 3.Не выполняя построения найдите координаты точек пересечения графиков функций у=х2+4х-4 и у=5-4х
Решение: $$ y= x^{2}+4x-4 \\ y=5-4x \\ \left \{ {{y= x^{2} +4x-4} \atop {y=5-4x}} \right. $$
т. к левые части равны, то и правые соответственно равны
$$ x^{2}+4x-4=5-4x \\ x^{2}+4x-4-5x+4x=0 \\ x^{2}+8x-9=0 \\ x_{1}=-9 \\ x_{2}=1 \\ y_{1}=41 \\ y_{2}=1 $$ значит точки пересечения: (-9;41) ; (1;1)Не выполняя построения найдите координаты точек пересечения графиков функции y=25/x и y=x квадрат+x-25
Решение: $$ \left \{ {{y= \frac{25}{x} } \atop {y=x^2+x-25}} \right. \\ \\ \frac{25}{x}= x^2+x-25 \\ \\ 25=x^3+x^2-25x \\ \\ x^3+x^2-25x-25=0 \\ \\ x^2(x+1)-25(x+1)=0 \\ \\ (x+1)(x^2-25)=0 $$
x + 1 = 0 x² - 25 = 0
x₁ = -1 x² = 25
x₂ = -5
x₃ = 5
y₁ = 25/(-1) = -25
y₂ = 25/(-5) = -5
y₃ = 25/5 = 5
Ответ: координаты точек пересечения графиков:
(-1; -25)
(-5; -5)
(5; 5)Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций: 1)y=одна третья х2 и y=3.
Решение: y=1/3 x^2y=3
приравнивая левые и правые части уравнений соотвественно, получим
1/3x^2=3
x^2=9
x=3 или х=-3
значит
координаты точек пересечения (-3;3), (3;3)
Ордината точек пересечения нам известна. Это 3.
Приравняв правые части, находим абсциссы.
1/3 х²=3
х²=3·3
х²=9
х=±3
Ответ. (3;3) и (-3;3)
Не выполняя построений найдите координаты точек пересечения графиков функций y=x^2-4 и y=2-x
Решение: нужно составить систему$$ \left \{ {{y=x^2-4} \atop {y=2-x}} \right. $$
после этого попросту каждое значение приравниваете к нулю, тоесть:
x^2-4=0
2-x=0
Получаете значения и находите нули функции, таким образом у нас выходит следующее:
(x-2)(x+2)=0 и x=2
Получаете точку 2 это x
а y будет равен нулю
следует точка пересечения графиков будет лежать в (2;0)
x^2-4=2-x
x^2+х-6=0
x1,2=(-1+-(1+24)^1/2)/2
x1=2
y1=0
x2=-3
y2=5
Не выполняя построений найдите координаты точек пересечения графиков функций у=-14х-2 и у=7х-5
Решение: В точке пересечения значения функций будут равны. Следовательно, 10x-14 = -3x+1210х+3х = 14+1213х=26х = 26/13 = 2у = 10·2-14 = 6Можно убедиться, что в точке х=2 вторая функция принимает такое же значение:у = -3·2+12 = 6 Графики функций пересекаются в точке (2; 6).- 14х - 2 = 7х - 5
7х + 14х = - 2 + 5
21х = 3
Х = 3/21 = 1/7
Y = 7 * ( 1/7 ) - 5 = 1 - 5 = - 4
Ответ ( 1/7 ; - 4 )Не выполняя построение, найдите координаты точек пересечения графиков функций:
1) y=1/3x^2 и y=3
2) y=1/2x^2 и y=x+4
Решение: 1.
Решаем систему уравнений
{у =1/3 х²
{у =3
подставим в первое уравнение вместо у=3, получим
1/3 х² = 3
х² = 9
х₁ = √9 = 3
х₂ = √9 = -3
При х₁ = 3; у₁ = 3
При х₂ = - 3; у₂ = 3
Ответ: {3; 3} и {-3; 9} две точки пересечения
2.
Решаем систему уравнений
{у =1/2 х²
{у =х + 4
подставим в первое уравнение вместо у=х + 4, получим
1/2 х² = х + 4
1/2х² - х - 4 = 0
х² - 2х - 8 = 0
D = 4 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36
√D = √36 = 6
х₁ = (1 - 6)/2 = - 2,5
х₂ = (1 + 6)/2 = 3,5
При х₁ = -2,5; у₁ = 1,5
При х₂ = 3,5; у₂ = 7,5
Декартова система координат
Пусть в пространстве заданы две различные произвольные точки О и М, и пусть одна из них, например точка О, выбрана в качестве начальной. Тогда вектор \(\vec{OM}\) называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис.).
Пусть в пространстве задана точка О и некоторый базис e1, e2 , e3. Совокупность этого базиса и точки О называется декартовой системой координат О,...
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится...