найти координаты - страница 2
. Даны векторы а(1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c(7; -3; 5) и d(6; 10; 17) в некотором базисе. Показать, что векторы а, Ь, с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение: Если векторы образуют базис, то это значит, Э что определитель(детерминант) остроенный на этих векторах не равняеться нулю, а знак укажет на ориентацию базиса "+"-правосторонняя троойка векторов; "-" - левосторонняя имеем | 1 2 3| det= |-1 3 2| | 7 -3 5| метод звёздочки det=1*3*5+2*2*7+3*(-3)*(-1)-7*3*3-2*5*(-1)-1*2*(-3)=15+28+9-63+6+10=5; теерь найдём координаті в новом бозисе: е1=(1 0 0) е2=(0 1 0) е3=(0 0 1) старый базис, а новый в условии det дает нам матрицу перехода тогда коорджинаты в старом базисе x=6; y=10; z=17; a b c= yjdsq,fpbc x’ y’ z’ новые координаты x’=1*6+2*10+3*17=77; y’=-1*6+3*10+3*17=75; z’=7*6-3*10+5*17=97 Ответ: D(77,75,97)Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение: a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.4 3 -1
det( 5 0 4) = -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора
2 1 2
a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.
Вектор d представим в виде:
d = p*a + q*b + r*c
Так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:
4p + 3q - r = 5
5p + 4r = 7
2p + q + 2r = 8
q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19
5p+4r=7
Решив, получим: p = -1, r = 3 и тогда q = 4
Значит разложение выглядит так:
d = -a + 4b + 3c.
Даны четыре вектора а =(2; 3; 7), b =(3; -2; 4), c =(-1; 1; -1), d =(1; 1; 3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение: A,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0. 4 3 -1det( 5 0 4) = -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора 2 1 2a,b,c образуют базис, что и требовалось показать. Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19 5p+4r=7Решив, получим: p = -1, r = 3 и тогда q = 4Значит разложение выглядит так:d = -a + 4b + 3c1. Вектор AB=a задан координатами своих концов : A(2;4;-3) и B(6;-3;1)
Вычислите его длину и конусы углов, которые образует вектор с базисными векторами
2. Доказать, что векторы a=5i-2j+7k и b=3i+4j-k взаимно перпендикулярны
3. Найти координаты вектора m=AB-DC если даны координаты точек A(1;5;0), B(-3;2;-1), C(-2;0;3) и D(4;-5;-2)
Решение: 1. $$ l=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\\=\sqrt{(6-2)^2+(-3-4)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9 $$2. Найдем скалярное произведение: $$ p=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=5*3-2*4+7*(-1)=15-8-7=0 $$
Так как скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.
3. $$ AB(-3-1; 2-5; -1-0)=AB(-4; -3; -1) \\ DC=(-2-4; 0-(-5); 3-(-2))=DC=(-6; 5; 5) \\ m=AB-DC=(-4-(-6); -3-5; -1-5)=(2; -8; -6) $$
Найти координаты вектора с=2а-3в а(4;2) в(-1;3)
Решение: Координаты нам известны векторов. Здесь воспользуюсь лите двумя правилами:1) Каждая координата произведения вектора на некоторое число k равна произведению соответствующих координат вектора на это число.
2) Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Применяя одновременно два правила, получаю:
c{i;j}
i = 2*4 - 3*(-1) = 8+3 = 11
j = 2*2 - 3*3 = 4-9 = -5
Значит, вектор с имеет координаты 11 и -5
Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору b(9 9 7) и удовлетворяющего условию (x,b)=17
Решение: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, поэтому можно записать координаты вектора х ={ 9k; 9k; 7k}.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат:
9k·9+9k·9+7k·7=17
211k=17
k=17/211
Вектор х имеет координаты
х ={ 9k; 9k; 7k}={153/211;153/211;119/211}
Вектор длины 10 приложен в точке (-5;1). Найти координаты вектора, если он состовляет угол в 30 градусов с положительным направлением оси х.
Решение: y=y0+10*sin30=y0+5=1+5=6x=x0+10cos30=-5+5sqrt(3)
координаты вектора (5;5sqrt(3))
$$ \vec V = [10, \alpha=30°] = 10 [ cos \alpha, sin\alpha] = 10[\frac {\sqrt3}{2}, \frac 12] = [ {5 \sqrt3}, 5] \approx [8.66, 5 ] $$
координаты конца вектора = координаты приложения плюс вектор :
$$ (-5, 1 ) + [{5 \sqrt3}, 5] =(({5 \sqrt3} - 5), (6)) \approx (3.660, 6) $$
В прямоугольной системе координат Охуz построить точки A (5,1,3), B (2,2,4).
Найти координаты вектора AB.
Решение: Использовано определение координат точки в прямоугольной системе координат XOYZ, определение координат вектора, применена формула координат вектора через координаты его начала и конца
Найти координаты неизвестного вектора а (x; x-2; x-1) еще дан вектор в(1: 3; 4)
Как найти неизвестный вектор?
Решение: Предположим векторы a и b - противоположные стороны. Тогда необходимо достаточно чтобы их длины были равны, а сами они были коллинеарны. Но даже условие коллинеарности для этих векторов не может быть выполнено, так как система
{x=k
{x-2=3k
{x-1=4k
Не имеет решений.
Остается второй вариант, прямоугольник построен на а и b как на соседних сторонах, тогда необходимо и достаточно, чтобы они были перпендикулярны, а это условие в свою очередь эквивалентно условию равенства нулю скалярного произведения, то есть x+3(x-2)+4(x-1)=0, то есть 8x=10, x=5/4.Дано: вектор m{-6;2), вектор n{-1;-2}, c = одна вторая(1/2) вектора m + вектор n.
Найти: а) координаты вектора с; б) длину вектора с
Решение: $$ \vec c = \frac{1}{2}\vec m+\vec n=( \frac{1}{2}*(-6)+(-1); \frac{1}{2}*2+(-2))=(-4;-1) \\ \vec c(-4;-1) \\ \\ |\vec c|= \sqrt{x^2+y^2}= \sqrt{x} \sqrt{(-4)^2+(-1)^2}= \sqrt{16+1}= \sqrt{17} \\ |\vec c|=\sqrt{17} $$
Декартова система координат
Пусть в пространстве заданы две различные произвольные точки О и М, и пусть одна из них, например точка О, выбрана в качестве начальной. Тогда вектор \(\vec{OM}\) называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис.).
Пусть в пространстве задана точка О и некоторый базис e1, e2 , e3. Совокупность этого базиса и точки О называется декартовой системой координат О,...
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится...