координаты »

найти координаты - страница 3

  • . Даны векторы а(1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c(7; -3; 5) и d(6; 10; 17) в некотором базисе. Показать, что векторы а, Ь, с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.


    Решение: Если векторы образуют базис, то это значит, Э что определитель(детерминант) остроенный на этих векторах не равняеться нулю, а знак укажет на ориентацию базиса "+"-правосторонняя троойка векторов; "-" - левосторонняя имеем | 1 2 3| det= |-1 3 2| | 7 -3 5| метод звёздочки det=1*3*5+2*2*7+3*(-3)*(-1)-7*3*3-2*5*(-1)-1*2*(-3)=15+28+9-63+6+10=5; теерь найдём координаті в новом бозисе: е1=(1 0 0) е2=(0 1 0) е3=(0 0 1) старый базис, а новый в условии det дает нам матрицу перехода тогда коорджинаты в старом базисе x=6; y=10; z=17; a b c= yjdsq,fpbc x’ y’ z’ новые координаты x’=1*6+2*10+3*17=77; y’=-1*6+3*10+3*17=75; z’=7*6-3*10+5*17=97 Ответ: D(77,75,97)

  • Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.


    Решение: a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.

      4 3 -1

    det( 5 0 4) = -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора 

      2 1 2

    a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.

    Вектор d представим в виде:

    d = p*a + q*b + r*c

    Так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:

    4p + 3q - r = 5

    5p + 4r = 7

    2p + q + 2r = 8

     q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19

      5p+4r=7

    Решив, получим: p = -1, r = 3 и тогда q = 4

    Значит разложение выглядит так:

    d = -a + 4b + 3c.

  • Даны четыре вектора а =(2; 3; 7), b =(3; -2; 4), c =(-1; 1; -1), d =(1; 1; 3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.


    Решение: A,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.  4 3 -1det( 5 0 4) = -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора   2 1 2a,b,c образуют базис, что и требовалось показать. Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19  5p+4r=7Решив, получим: p = -1, r = 3 и тогда q = 4Значит разложение выглядит так:d = -a + 4b + 3c 

  • 1. Вектор AB=a задан координатами своих концов : A(2;4;-3) и B(6;-3;1)
    Вычислите его длину и конусы углов, которые образует вектор с базисными векторами
    2. Доказать, что векторы a=5i-2j+7k и b=3i+4j-k взаимно перпендикулярны
    3. Найти координаты вектора m=AB-DC если даны координаты точек A(1;5;0), B(-3;2;-1), C(-2;0;3) и D(4;-5;-2)


    Решение: 1. $$ l=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\\=\sqrt{(6-2)^2+(-3-4)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9 $$

    2. Найдем скалярное произведение: $$ p=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=5*3-2*4+7*(-1)=15-8-7=0 $$

    Так как скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.

    3. $$ AB(-3-1; 2-5; -1-0)=AB(-4; -3; -1) \\ DC=(-2-4; 0-(-5); 3-(-2))=DC=(-6; 5; 5) \\ m=AB-DC=(-4-(-6); -3-5; -1-5)=(2; -8; -6) $$

  • Найти координаты вектора с=2а-3в а(4;2) в(-1;3)


    Решение: Координаты нам известны векторов. Здесь воспользуюсь лите двумя правилами:

    1) Каждая координата произведения вектора на некоторое число k равна произведению соответствующих координат вектора на это число.

    2) Каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

    Применяя одновременно два правила, получаю:

    c{i;j}

    i = 2*4 - 3*(-1) = 8+3 = 11

    j = 2*2 - 3*3 = 4-9 = -5

    Значит, вектор с имеет координаты 11 и -5

<< < 123 4 5 > >>