найти координаты - страница 5
Вектор m противоположно направлен вектору b {-2; 4} и имеет длину вектора a {2; 2}. Найдите координаты вектора m
Решение: Для вектора m справедливо, исходя из условия:
1. Вектор m коллинеарен с вектором b. Они направлены противоположно, т. е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Значит, их координаты пропорциональны. Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда m имеет координаты {2x; -4x}.
2. Длина вектора m равна √2² + 2² = √8 = √(2х)² + (-4х)², откуда х = √2/5.
Тогда вектор m имеет координаты {2√2/√5; -4√2/√5}Дано: А(-10;5), В(2;-1) - концы диаметра окружности.
а) найти координаты центра окружности.
б) запишите уравнение этой окружности.
в) принадлежит ли этой окружности точка М (5;2)?
Решение: Точки A(10; - 5) ; B(-2 ; 1) являются концами диаметра окружности.
1) Находим координаты точки O(xo;yo) - центра окружности
O(( 10 - 2)/2; ( - 5 + 1)/2)
O( 4; - 2)
2) Находим координаты вектора АВ:
AB={-2-10);1-(-5)) = ( - 12; 6)
3 ) Находим диаметр окружности. Это длина отрезка АВ:
d = |AB| = √((-12)² + 6²)) = √(144 +36 ) = √180 = 6√5
4) Находим радиус окружности:
R = d/2 =( 6√5) / 2 = 3√5
5) Составим уравнение окружности:
(x - xo)² + (y - yo)² = R²
(x - 4)² + (y - (-2))² = (3√5)²
(x - 4)² + (y + 2)² = 45Прямая 2х-у+2=0 пересекает окружность X^2+y^2+2(x-5y)+1=0 в точках А и В. Найти расстояние от середины отрезка АВ до центра окружности.
Решение: Приводим уравнение окружности к каноническому видуx^2+y^2+2(x-5y)+1=0
(x^2+2x+1)+(y^2-10y+25)-1-25+1=0
(x+1)^2+(y-5)^2=25
Это окружность с центром в точке (-1;5) и радиусом 5
Рассматриваем прямую
2x-y+2=0
-y=-2-2x
y=2+2x
Подставляем это значение игрека в уравнение окружности, откуда x1=-1, x2=3
Теперь находим f() от этих значений
y1=2-2=0; y2=2+6=8
Значит прямая пересекает окружность в точках А(-1;0) и В(3;8)
Середина отрезка в точке С(1;3), а прямая пересекает окружность как раз-таки в центре окружности
Нам нужно найти расстояние (а не длину отрезка), поэтому расстояние равно 2 (от -1 до 1)
2x-y+2 = 0 -> y = 2x + 2
x^2 + y^2 + 2(x - 5y) + 1 = 0 -> x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2*5y + 5^2 - 5^2 = 0
(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25 -> (-1; 5) координаты центра окружности.
Подставим у = 2х + 2 в уравнение окружности
x^2 + 2x + 1 + (2x + 2 - 5)^2 - 25 = 0
x^2 + 2x + 4x^2 - 12x + 9 - 24 = 0
5x^2 - 10x - 15 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
По теореме Виета х_1 = 3, х_2 = -1
у_1 = 2*3 + 2 = 8 у_2 = 2*(-1) + 2 = 0
Получили координаты точек А(3; 8), В(-1; 0)
(3 + (-1)) / 2 = 1, (8 + 0) / 2 = 4 (1; 4) - координаты середины отрезка АВ
V((1 - (-1))^2 + (4 - 5)^2) = V(4 + 1) = V5 Расстояние от центра окружности
до середины отрезка АВ
Ответ. V5
Найти координаты центра и радиус окружности
1) 9x^2+9y^2+36x-18y+20=0
2) x^2+y^2-8x+12y-29=0
Решение: x^2+y^2-8x+2y-8=0(x^2-8x+16)+(y^2+2y+1)-8=0
(x-4)^2+(y+1)^2=25
отсюда центр O(4;-1)
радиус R=5
поясняю в формуле окружности, 16 и 1 это взято чтобы дописать до формулы, поэтому затем это же вычитаем и 8 еще тоже (я сделал всё в уме, слева привел подобные и остаток перенесли вправа, т. е -16-1-8 это -25, и вправа с противоположным знаком, а 25 это радиус в квадрате, поэтому сам радиус 5
Найти координаты центра и радиус окружности заданной уравнением:
1) x^2 + y^2 - 4x + 12y + 4 = 0
2) x^2 + y^2 - 9x = 0
Решение: 1) Уравнение можно переписать в виде (x-2)²+(y+6)²-36=0, или
(x-2)²+(y+6)²=6². Значит, центр окружности находится в точке с координатами (2;-6), а её радиус равен 6.
2) Переписав уравнение в виде (x-9/2)²+y²-9/4=0, получаем
(x-9/2)²+y²=(3/2)². Центр окружности находится в точке (9/2;0), а её радиус равен 3/2.Касательная, проведенная к параболе y=x^2-5x+10, образует с осью абсцисс угол 45 градусов. Найти расстояние от точки касания до начала координат.
Решение: Область определения данной ф-и - все числа. Производная данной функции :
$$ 2x-5 $$. Однако, мы знаем, что значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона. Тангенс 45 = 1. Решаем уравнение, 2x-5=1 => x=3. Это так называемое "икс нулевое", т. е. абсцисса касания. Подставим её в функцию : 9 - 15 + 10 = 4. Если ткнете ручкой в точку, с координатой (3;4), то станет очевидно, что будет прямоугольный треугольник, причем египетский. Расстояние равно 5. Этот отрезок - радиус-вектор.Даны вершины треугольника А(-5;-2), B(3;3), C(0;5). Найти:
1. Уравнение прямой BD, параллельной стороне АС ;
2. Уравнение медианы CK ;
3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С ;
4. Угол С ;
5. Координаты центра тяжести треугольника АВС.
Решение: По возможности даю краткое решение - без лишних формул.
1. Построили треугольник АВС.
2. Уравнение прямой АС - Y= 7/5*X+5 - ОТВЕТ
3. Уравнение прямой BD - параллельной АС
k = k(AC) = 7/5 - коэффициенты равны.
Сдвиг b определяем по точке В. = Y(B) = k*X(B) + b.
b = 3 - 7/5*3 = -1 1/5
Уравнение AD- Y=1.4*X-1.2 - ОТВЕТ
4. Уравнение медианы СК.
а) Координаты точки К - середина отрезка АВ.
Кх =(3+ -5)/2 = -1, Ку = (3+ -2)/2 = 0,5, Точка К(-1;-0,5).
Наклон - к = 4,5: 1= 4,5. Сдвиг b = 5 по точке С.
Уравнение СК- Y=4.5*X+5 - ОТВЕТ.
5. Уравнение высоты СН - перпендикуляр к АВ.
Наклон прямой АВ kA= (3-2)/(3-5) = 5/8.
Наклон СН kH= - 1/kA = - 8/5. перпендикуляр.
Сдвиг b =5 по точке С.
Уравнение высоты СН - Y=- 1.6*X+5 - ОТВЕТ
Справочно.
Центр тяжести - точка пересечения медиан.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-5; 13), В(3; 5), С(-3; -1) найти координаты середин сторон треугольника
Решение: по формуле нахождения координат середины отрезка через координаты его вершинсередина отрезка АВ:
x=(-5+3)/2=-1; y=(13+5)/2=9
(-1;9)
середина отрезка ВС:
x=(-3+3)/2=0; y=(-1+5)/2=2
(0;2)
середина отрезка АС:
x=(-5+(-3))/2=-4; y=(13+(-1))/2=6
(-4;6)
Найти площадь четырехугольника изображенного на рисунке вершины которого имеют координаты(4;0),(0;6),(7;2),(3;8)
Решение: Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольника. То есть, посмотрите на картинке, там есть помимо четырехугольника 4 прямоугольных треугольника. И чтобы найти площадь этого четырехугольника надо найти площадь всей фигуры (включая 4 треугольника) и вычесть площади этих 4 треугольников, понимаете ? или 2 способ. Можно найти стороны этого четырехугольника по теореме Пифагора т. е. 1 катет треугольника (слева снизу) равен 4 (по рисунку видно), а 2 катет этого же треугольника равен 6 (тоже по рисунку видно по оси Y) и чтобы найти 3 сторону этого треугольника то есть его гипотенузу(это же сторона и будет стороной четырехугольника) надо A=Корень (под корнем x в квадрате + y в квадрате) ну тут не очень хорошие числа по 2 способу получаются поэтому лучше первым-
Вообщем находим всю фигуру это по рисунку видно (одна сторона 8 а вторая 6)
8*6=56
затем находим площади каждого треугольника по формуле S=1/2 *A*H, где A- это сторона треугольника (это видно по рисунку) а Н- это высота треугольника
т. е. 1) сторона = 4 а высота 6 следовательно S=1/2* 4*6 =12
2) сторона = 2 а высота 3 следовательно S=1/2* 2*3 =3
3) сторона = 2 а высота 3 следовательно S=1/2* 2*3 =3 (7-4 нашли сторону 3)
теперь из всей фигуры вычитаем площади этих треугольничков и останется там фигура которую искали т. е. S=56-12-3-3=38
Площадь равна 38
Найти координаты вршины параболы у=(х-3) в квадрате и построить её график
Решение: Вершина параболы в точке (3,0). График - парабола, имеющая одну общую точку с осью ОХ при х=3.
$$ y=(x-3)^2\\y=0,\;(x-3)^2=0\;,\;\;x-3=0,x=3 \\ x=0,\; y=(0-3)^2=9 $$
Декартова система координат
Пусть в пространстве заданы две различные произвольные точки О и М, и пусть одна из них, например точка О, выбрана в качестве начальной. Тогда вектор \(\vec{OM}\) называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис.).
Пусть в пространстве задана точка О и некоторый базис e1, e2 , e3. Совокупность этого базиса и точки О называется декартовой системой координат О,...
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится...