координаты »

найти координаты - страница 6

  • Вектор x, перпендикулярный векторам a (-3; 9; -1) и b (5; -3; -1), образует с осью OY острый угол. Найти его координаты, если известно, что x =2.


    Решение: Пусть искомый вектор имеет координаты (x;y;z). Так как он перпендикулярен векторам (-3;9;-1) и (5;-3;-1), то их скалярные произведения равны 0.
    -3x+9y-z=0
    5x-3y-z=0
    Также известно, что x=2.
    Получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными
    -3x+9y-z=0
    5x-3y-z=0
    x=2
    Сразу подставим x=2 в первые два уравнения и получим:
    9y-z=6
    3y+z=10
    Сложим эти уравнения и получим 12y=16, y=4/3
    Из первого уравнения выразим z=9y-6 и подставим y=4/3:
    z=9*4/3-6=6
    Таким образом, искомый вектор равен (2;4/3;6)

  • 1. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку A(8;-4) и имеет направляющий вектор a(4;1).
    2. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку N(-2;6) и имеет угловой коэффициент k=2.
    3. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точки K(4;3) и B(5;2).
    4. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку M(-2;4) и имеет нормальный вектор n(6;2).
    5. Определить координаты направляющего вектора прямой x-1/12=y+2/-4.
    6. Найти угловой коэффициент прямой 6x+3y-13=0.


    Решение: 1. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку A(8;-4) и имеет направляющий вектор a(4;1).

    Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор  этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле:

    $$ \frac{x-8}{4} = \frac{y+4}{1} $$

    x-8 = 4y+16,

    Получаем общее уравнение прямой: х-4у-24 = 0.

    2. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку N(-2;6) и имеет угловой коэффициент k=2.

    Уравнение с коэффициентом: у = ах+в.
    Подставим координаты точки N: 6 = 2*(-2) + в, отсюда находим значение в: в = 6+4 = 10.
    у = 2х + 10.
    Уравнение общего вида: 2х-у+10 = 0.
    3. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точки K(4;3) и B(5;2).
    $$ \frac{x-4}{5-4}= \frac{y-3}{2-3} $$
    -1(x-4) = 1(y-3),
    -x+4 = y-3,
    x+y-7 = 0.
    4. Написать общее уравнение прямой, если прямая проходит через точку M(-2;4) и имеет нормальный вектор n(6;2).
    В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
    Составим при А = 6 и В = 2 уравнение прямой: 6х + 2у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки М.
    6*(-2)+2*4+С = 0. Отсюда С = 12-8 = 4.
    Получаем уравнение: 6х + 2у + 4 = 0.
    5. Определить координаты направляющего вектора прямой x-1/12=y+2/-4.
    Это числа в знаменателях канонического уравнения прямой:
    р(12;-4).
    6. Найти угловой коэффициент прямой 6x+3y-13=0.
    Для этого заданное общее уравнение преобразовать в уравнение с коэффициентом:  6x+3y-13 = 0.
      3y = -6x + 13.
      у = -2х +(13/3).
    Угловой коэффициент прямой равен -2.
     

  • с заданием:
    Условие:
    Треугольник ABC задан с вершиной A (2:1) и с векторами AB = (2;3), BC=(-5;0)
    1. Посчитайте координаты вершин B и С и нарисуйте треугольник ABC
    2. Посчитайте длину стороны AC
    3. Написать уравнение прямой линии проходящий через точки A и С, так-же найти на оси Х координаты этой прямой.


    Решение: А(2;1)  АВ(2;3)   ВС(-5;0)
    В(х; у) $$ \left \{ {{2=x-2} \atop {3=y-1}} \right. $$
    откуда следует
    $$ \left \{ {{x=4} \atop {y=4}} \right. $$     В(4;4)
     С(х; у) $$ \left \{ {{-5=x-4} \atop {0=y-4}} \right. $$
    откуда следует
    $$ \left \{ {{x=-1} \atop {y=4}} \right. $$ С(-1;4)
    АС=(-1-2;4-1)=(-3;3)
    $$ |AC|= \sqrt{(-3)^2+3^2}= \sqrt{9+9} \sqrt{18} \sqrt{9*2} =3 \sqrt{2} $$

  • 1) Даны точки М (-4;7;0) и К (0;-1;2). Найти расстояние между точкой О (0;0;0) и серединой отрезка МК.
    2) Дан треугольник АВС с координатами вершин А (1/2; -2;-3), В(-1;2;3), С (2;0;-1). Определить периметр треугольника, длины медиан.
    3) Определить вид угла между векторами, если они имеют следующие координаты:
    а (4;-2;0), в (0;-4;2).
    4) Даны три точки с координатами F (8;1;0), Е (0;0;4), К (0;5;1). Определить вид треугольника FКЕ, найти площадь треугольника с точностью до целых.


    Решение: P(x;y) - середина отрезка МК
    xP=(xM+xK)/2
    xP=(-4+0)/2=-2
    yP=(7+(-1))/2=3
    zP=(0+2)/2=1
    P(-2;3;1)
    |OP|=√((-2-0)²+(3-0)²+(1-0)²)
    |OP|=√14
    ответ: расстояние от середины отрезка МК до начала координат =√14
    2. PΔABC=AB+BC+CA.
    |AB|√((-1-1/2)²+(2-(-2))²+(3-(-3))²), |AB|=√54,25
    |BC|=√((2-(-1))²+(0-2)²+(-1-3)²), |BC|=√29
    |CA|=√((1/2-2)²+(-2-0)²+(-3-(-1))²), |CA|=√22,25
    PΔABC=√54,25+√29+√22,25
    AM=MB. M(x;y;z)
    x=(1/2+(-1))/2, x=-1/4, xM=-0,25
    y=(-2+2)/2, yM=0
    z=(-3+3)/2, zM=0
    M(-0,25;0;0)
    медиана |CM|=√((-0,25-2)²+(0-0)²+(-1-0)²), |CM|=√7,25
    3. cosα=(a*b)/(|a|*|b|)
    a*b=4*0+(-2)*(-4)+0*2, a*b=8
    |a|=√(4²+(-2)²+0²), |a|=√20
    |b|=√(0²+(-4)²+2²), b|=√20
    cosα=8/(√20*√20), cosα=2/5. α=arccos(2/5). α≈66,42°
    ответ: α острый угол
    4. ΔFEK.
    |FK|=√((0-8)²+(0-1)²+(4-0)²). |FE|=√81. |FE|=9
    |EK|=√34
    |KF|=9
    |FE|=|KF|=9
    ответ: равнобедренный

  • Даны координаты точек А(1,1,1) В(-1,4,1) С(-1,1,7) D(1,4,9). Требуется: 1) записать векторы (АВ,) ⃗ (АС) ⃗ и (AD) ⃗ в системе орт i, j, k и найти модули этих векторов. 2) найти угол между векторами (АВ ) ⃗ и (АС) ⃗; 3) найти проекцию вектора (АD) ⃗ на вектор (АВ) ⃗


    Решение: 1) Координаты вектора определяюnся разностью одноименных координат его точек.
      Вектор АВ (-2i:3j; 0k), АВ = 3,6056
    Вектор АС (-2i;0j;6k), АС = 6,3246
    Вектор АД (0i;3j;8k). АД = 8,544
      Модуль вектора  d = √ ((х2 - х1 )^2 + (у2 - у1 )^2 + (z2 – z1 )^2).
    2) Угол между векторами (АВ ) ⃗ и (АС) ⃗; 
      АВ-АС 4 4 13 3,606 40 6,325 22,8  cos α = 0,175412
    акос α = 1,394472 радиан = 79,89739 градус.
    3) Проекция вектора (АD) ⃗ на вектор (АВ) ⃗
      Решение:
    Пр ba = a · b|b|
    Найдем скалярное произведение векторов:
    a · b = ax · bx + ay · by + az · bza · b = 0 · (-2) + 3 · 3 + 8 · 0 = 0 + 9 + 0 = 9
    Найдем модуль векторов:
    |b| = √bx² + by² + bz² = √(-2)² + 3² + 0² =
    = √4 + 9 + 0 = √13
    Пр ba =9/√13 = 9√13/13 ≈ 2.4961508830135313.
    Расчет векторов в программе Excel приведен .

<< < 456 7 8 > >>