корни многочлена
Числа 1 и -2 являются корнями многочлена 2x^3 +mx^2 + n x +12. Найдите его третий корень. 2_ задание Число -1 является корнем многочлена x^3 - 2x^2 +ax - 2. Найдите два других корня и коэффициент a
Решение: если х= 1, то2+m+n+12=0
если х=-2, то
-16+4m-2n+12=0
m+n=-14
4m-2n=4
m+n=-14
2m-n=2
3m=-12
m=-4
n=-14+4=-10
2x^3-4x^2-10x+12=(x+2)(x-1)(x-3)
Ответ 3
2) если х=-1, то
-1-2-а-2=0
-5-а=0
а=-5
x^3-2x^2-5x-2=(x+1)(x^2-3x-2)=(x+1)(x-(3-√17)/2)(x-(3+√17)/2)
x^2-3x-2=0
D=9+8=17
x=(3-√17)/2
1) по теореме Виета x1+x2+x3=-m/2
x1x2+x1x3+x2x3=n/2
x1x2x3=-12/2
из третьего уравнения имеем х3=-6/х1х2=-6/-2=3
2) х1+х2+х3=2 -1+x2+x3=2 x2=3-x3 2
х1х2х+х1х3+х2х3=a -x2-x3+x2x3=a 3x3-x3^2+2=0 x3^2-3x3-2=0 x3={
x1x2x3=2 -x2x3=2 1
3-2=1 -1-2+2=-1
x2={ a={
3-1=2 -2-1+2=-1
Докажите что 1 является корнем данных многочленов, разложите их на множители и найдите все корни:
а) х в квадрате +5х - 6
б) 3х в квадрате + 5х - 8
Решение: а) D = 25 + 4* 6 = 25 + 24 = 49- 5 + 7 2
х 1 = - = - = 1(доказано)
2 2
х 2 =- 5 - 7
- = - 6
2
а) х² +5х - 6
Решим уравнение
х² +5х - 6=0
D=25+24=49
$$ x_1=\frac{-5+7}{2}=1 \\ x_2=\frac{-5-7}{2}=-6 $$
х² +5х - 6=(x-1)(X+6)
б) 3х² + 5х - 8
Решим уравнение
3х² + 5х - 8=0
D=25+96=121
$$ x_1=\frac{-5+11}{6}=1 \\ x_2=\frac{-5-11}{2}=-8 $$
3х² + 5х - 8=3(x-1)(x+8)
Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0
Решение: 4x^3-x=0,x(4x^2-1)=0,
x1=0,
4x^2-1=0,
x^2=1/4,
x2=-1/2, x3=1/2;
x^3-x^2-16x+16=0,
x^2(x-1)-16(x-1)=0,
(x-1)(x^2-16)=0,
(x-1)(x-4)(x+4)=0,
x-1=0, x1=1,
x-4=0, x2=4,
x+4=0, x3=-4;
x^3+2x^2-x-2=0,
x^2(x+2)-(x+2)=0,
(x+2)(x^2-1)=0,
(x+2)(x-1)(x+1)=0,
<.>;
2x^3-x^2-50x+25=0,
x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,
(2x-1)(x^2-25)=0,
(2x-1)(x-5)(x+5)=0,
<.>
Найти корни многочлена третьей степени:
1) 4*x^3-x
2)2*x^3-x^2-50*x+25
Решение: $$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
1) x1=0
2) 2x-1=0
2x=1
x=1:2
x2=0,5
3) 2x+1=0
2x= -1
x= -1:2
x3= -0,5
Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного члена
Найдите корни многочлена.
а) x (в квадрате) - 7х
б) 2х-5
в) у(в кубе) - 4у
в) у(в четвертой степени) - 16
Решение: Необходимо приравнять к 0 каждый многочлен.а) x в квадрате - 7х = 0
х*(х - 7) = 0
х = 0 х = 7
Ответ: 0; 7.
б) 2х - 5 = 0
2х = 5
х =2,5
Ответ: 2,5.
в) у в кубе - 4у = 0
у * (у в квадрате - 4) = 0
у = 0 у в квадрате - 4 = 0
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 0; 2.
г)y в 4й степени - 16 = 0
у в 4 степени = 16
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 2.
Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэфицентами но записанными в обратном порядке
Решение: Здесь можно использовать симметрию корней уравнения.
Положим что наше уравнение имеет вид
$$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0\\ $$
пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням
Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1
Решение: Из условия:$$ x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1). $$
где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.
(2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:
$$ x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4). $$
Значит х = -1 и х = 4 Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:
$$ x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3. \\ x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57. $$
Решив полученную систему, имеем:
а = 12; b = 9.
Значит исходный многочлен имеет вид: (сразу приравняем 0)
$$ x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0 $$
а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
И другой вид исходного многочлена:
(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0
В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.
Устанавливаем первый из интервалов: (2; 3). Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).
Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).
Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)
-0,8; 2,3; 3,8.
Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всего его целый корней, если эти кратности больше 1:
\( x^{4} +5 x^{2} -6 \)
Решение: $$ x^4+5x^2-6=x^4+6x^2-x^2-6=x^2(x^2+6)-(x^2+6)= \\ =(x^2-1)(x^2+6)=(x-1)(x+1)(x^2+6) $$
Из множества действительных чисел нулями многочлена являются -1 и 1Пусть x²=y
y²+5y-6=0
D=25+4*6=49=7²
y₁=(-5-7)/2=-12/2=-6
y₂=(-5+7)/2=2/2=1
y₁=-6
x²=-6 нет решений
y₂=1
x²=1
x₁=1
x₂=-1
Все корни кратны только 1
ОТВЕТ-1; 1Имеет ли корни многочлен:
а) х^2+1
b)x^3-27
c)-2y^6-1
d)y^4+3y^2+7
Решение: $$ a) x^2+1=0\\ x^2=-1 $$
не имеет, поскольку \(x^2\) всегда \(\geq\) 0 $$ b) x^3-27=0\\ x^3=27\\ x=3 $$
Корнем многочлена является число 3.
$$ c)-2y^6-1=0\\ -2y^6=1\\ y^6=-\frac12 $$
Многочлен не имеет корней, поскольку переменная в парной степени 6, что всегда дает положительное число, а у нас получилось отрицательное.
$$ d)y^4+3y^2+7=0\\ y^2=a\\ a^2+3a+7=0\\ D=3^2-4*7=9-28-19\\ D<0 $$
При отрицательному дискриминанту многочлен корней не имеет.Найдите корни многочлена:
2х^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4
Решение: Решение данного уравнения во вложениях:
Ответ:-2;-1;-0.5;1;2.$$ 2x^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4=\\ =x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=\\ =(2x+1)(x^4-5x^2+4)=(2x+1)(x^4-x^2-4x^2+4)=\\ =(2x-1)(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=(2x+1)(x^2-1)(x^2-4)=\\ =(2x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
Чтоб найти корни нужно чтоб многочлен был равен чему то.Если он равен 0, то х1=-0,5; х2=1; х3=-1; x4=2; x5 = -2
