корни многочлена
Числа 1 и -2 являются корнями многочлена 2x^3 +mx^2 + n x +12. Найдите его третий корень. 2_ задание Число -1 является корнем многочлена x^3 - 2x^2 +ax - 2. Найдите два других корня и коэффициент a
Решение: если х= 1, то2+m+n+12=0
если х=-2, то
-16+4m-2n+12=0
m+n=-14
4m-2n=4
m+n=-14
2m-n=2
3m=-12
m=-4
n=-14+4=-10
2x^3-4x^2-10x+12=(x+2)(x-1)(x-3)
Ответ 3
2) если х=-1, то
-1-2-а-2=0
-5-а=0
а=-5
x^3-2x^2-5x-2=(x+1)(x^2-3x-2)=(x+1)(x-(3-√17)/2)(x-(3+√17)/2)
x^2-3x-2=0
D=9+8=17
x=(3-√17)/2
1) по теореме Виета x1+x2+x3=-m/2
x1x2+x1x3+x2x3=n/2
x1x2x3=-12/2
из третьего уравнения имеем х3=-6/х1х2=-6/-2=3
2) х1+х2+х3=2 -1+x2+x3=2 x2=3-x3 2
х1х2х+х1х3+х2х3=a -x2-x3+x2x3=a 3x3-x3^2+2=0 x3^2-3x3-2=0 x3={
x1x2x3=2 -x2x3=2 1
3-2=1 -1-2+2=-1
x2={ a={
3-1=2 -2-1+2=-1
Докажите что 1 является корнем данных многочленов, разложите их на множители и найдите все корни:
а) х в квадрате +5х - 6
б) 3х в квадрате + 5х - 8
Решение: а) D = 25 + 4* 6 = 25 + 24 = 49- 5 + 7 2
х 1 = - = - = 1(доказано)
2 2
х 2 =- 5 - 7
- = - 6
2
а) х² +5х - 6
Решим уравнение
х² +5х - 6=0
D=25+24=49
$$ x_1=\frac{-5+7}{2}=1 \\ x_2=\frac{-5-7}{2}=-6 $$
х² +5х - 6=(x-1)(X+6)
б) 3х² + 5х - 8
Решим уравнение
3х² + 5х - 8=0
D=25+96=121
$$ x_1=\frac{-5+11}{6}=1 \\ x_2=\frac{-5-11}{2}=-8 $$
3х² + 5х - 8=3(x-1)(x+8)
Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0
Решение: 4x^3-x=0,x(4x^2-1)=0,
x1=0,
4x^2-1=0,
x^2=1/4,
x2=-1/2, x3=1/2;
x^3-x^2-16x+16=0,
x^2(x-1)-16(x-1)=0,
(x-1)(x^2-16)=0,
(x-1)(x-4)(x+4)=0,
x-1=0, x1=1,
x-4=0, x2=4,
x+4=0, x3=-4;
x^3+2x^2-x-2=0,
x^2(x+2)-(x+2)=0,
(x+2)(x^2-1)=0,
(x+2)(x-1)(x+1)=0,
<.>;
2x^3-x^2-50x+25=0,
x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,
(2x-1)(x^2-25)=0,
(2x-1)(x-5)(x+5)=0,
<.>
Найти корни многочлена третьей степени:
1) 4*x^3-x
2)2*x^3-x^2-50*x+25
Решение: $$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
1) x1=0
2) 2x-1=0
2x=1
x=1:2
x2=0,5
3) 2x+1=0
2x= -1
x= -1:2
x3= -0,5
Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного членаНайдите корни многочлена.
а) x (в квадрате) - 7х
б) 2х-5
в) у(в кубе) - 4у
в) у(в четвертой степени) - 16
Решение: Необходимо приравнять к 0 каждый многочлен.а) x в квадрате - 7х = 0
х*(х - 7) = 0
х = 0 х = 7
Ответ: 0; 7.
б) 2х - 5 = 0
2х = 5
х =2,5
Ответ: 2,5.
в) у в кубе - 4у = 0
у * (у в квадрате - 4) = 0
у = 0 у в квадрате - 4 = 0
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 0; 2.
г)y в 4й степени - 16 = 0
у в 4 степени = 16
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 2.