корни многочлена
Теорема Безу.
1. Выпишите строку коэффициентов многочлена:
x^2+5x^4-7x^3-2x^5.
2. Найдите значения многочлена непосредственной подстановкой и с помощью схемы Горнера:
3x^2+2x-4 при x=+-1,+-2,+-4.
3. Найдите целые корни многочлена:
5x^3-19x^2+11x+3;
4. Представьте в виде произведения многочленов:
5x^3+9x^2-5x-9;
Решение: 1) -2 5 -7 1 0 0
2) С непосредственной подстановкой все ясно. А выполнить проверку с помощью схемы Горнера можно, найдя остаток от деления исходного многочлена на (x-x0) (ведь по теореме Безу и будет значением многочлена в точке x0). Схему Горнера тут неудобно оформлять, поэтому давайте самостоятельно.
3) В соответствии с теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами, целые корни должны быть делителями свободного члена 3.
Делители тройки: 1,1, 3,3. Убеждаемся что только числа 1 и 3 являются корнями. Ответ: x=1, x=3
4) Сначала поищем целые корни. Проверим числа 1,1, 3,3, 9,9. 1 - корень, поэтому делим исходный многочлен на (x-1) и получаем
5x^2+14x+9. Теперь решаем квадратное уравнение находим еще два корня x=-9/5 и x=-1
Таким образом 5x^3+9x^2-5x-9=(x-1)(x+1)(5x+9)Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0
Решение: 4x^3-x=0,x(4x^2-1)=0,
x1=0,
4x^2-1=0,
x^2=1/4,
x2=-1/2, x3=1/2;
x^3-x^2-16x+16=0,
x^2(x-1)-16(x-1)=0,
(x-1)(x^2-16)=0,
(x-1)(x-4)(x+4)=0,
x-1=0, x1=1,
x-4=0, x2=4,
x+4=0, x3=-4;
x^3+2x^2-x-2=0,
x^2(x+2)-(x+2)=0,
(x+2)(x^2-1)=0,
(x+2)(x-1)(x+1)=0,
<.>;
2x^3-x^2-50x+25=0,
x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,
(2x-1)(x^2-25)=0,
(2x-1)(x-5)(x+5)=0,
<.>
Найти корни многочлена третьей степени:
1) 4*x^3-x
2)2*x^3-x^2-50*x+25
Решение: $$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
1) x1=0
2) 2x-1=0
2x=1
x=1:2
x2=0,5
3) 2x+1=0
2x= -1
x= -1:2
x3= -0,5
Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного члена
Найдите корни многочлена.
а) x (в квадрате) - 7х
б) 2х-5
в) у(в кубе) - 4у
в) у(в четвертой степени) - 16
Решение: Необходимо приравнять к 0 каждый многочлен.а) x в квадрате - 7х = 0
х*(х - 7) = 0
х = 0 х = 7
Ответ: 0; 7.
б) 2х - 5 = 0
2х = 5
х =2,5
Ответ: 2,5.
в) у в кубе - 4у = 0
у * (у в квадрате - 4) = 0
у = 0 у в квадрате - 4 = 0
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 0; 2.
г)y в 4й степени - 16 = 0
у в 4 степени = 16
у = 2 у = -2
Ответ: -2; 2.
Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэфицентами но записанными в обратном порядке
Решение: Здесь можно использовать симметрию корней уравнения.
Положим что наше уравнение имеет вид
$$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0\\ $$
пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням
Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1
Решение: Из условия:$$ x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1). $$
где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.
(2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:
$$ x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4). $$
Значит х = -1 и х = 4 Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:
$$ x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3. \\ x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57. $$
Решив полученную систему, имеем:
а = 12; b = 9.
Значит исходный многочлен имеет вид: (сразу приравняем 0)
$$ x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0 $$
а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
И другой вид исходного многочлена:
(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0
В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.
Устанавливаем первый из интервалов: (2; 3). Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).
Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).
Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)
-0,8; 2,3; 3,8.
Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всего его целый корней, если эти кратности больше 1:
\( x^{4} +5 x^{2} -6 \)
Решение: $$ x^4+5x^2-6=x^4+6x^2-x^2-6=x^2(x^2+6)-(x^2+6)= \\ =(x^2-1)(x^2+6)=(x-1)(x+1)(x^2+6) $$
Из множества действительных чисел нулями многочлена являются -1 и 1Пусть x²=y
y²+5y-6=0
D=25+4*6=49=7²
y₁=(-5-7)/2=-12/2=-6
y₂=(-5+7)/2=2/2=1
y₁=-6
x²=-6 нет решений
y₂=1
x²=1
x₁=1
x₂=-1
Все корни кратны только 1
ОТВЕТ-1; 1Найдите корни многочлена:
2х^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4
Решение: Решение данного уравнения во вложениях:
Ответ:-2;-1;-0.5;1;2.$$ 2x^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4=\\ =x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=\\ =(2x+1)(x^4-5x^2+4)=(2x+1)(x^4-x^2-4x^2+4)=\\ =(2x-1)(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=(2x+1)(x^2-1)(x^2-4)=\\ =(2x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
Чтоб найти корни нужно чтоб многочлен был равен чему то.Если он равен 0, то х1=-0,5; х2=1; х3=-1; x4=2; x5 = -2
При каких значениях а корни многочлена ax^2+(2a+1)x+a+1 относятся как 1:2?
Решение: Приравняв этот многочлен к 0, получим квадратное уравнение. Сумма его корней x1+x2=-(2*a+1)/a, а их произведение x1*x2=(a+1)/a. Пусть x1/x2=1/2, тогда x2=2*x1. Отсюда получаем систему уравнений:
3*x1=-(2*a+1)/a
2*x1²=(a+1)/a
Из первого уравнения находим x1=-(2*a+1)/(3*a), тогда
x1²=(4*a²+4*a+1)/(9*a²), а 2*x1²=(8*a²+8*a+2)/(9*a²). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение
(8*a²+8*a+2)/(9*a²)=(a+1)/a, или a*(8*a²+8*a+2)=9*a²*(a+1), или
8*a³+8*a²+2*a=9*a³+9*a², или a³+a²-2*a=a*(a²+a-2)=0. Одним из решений является a=0, но это решение не годится, т. к. при a=0 исходное уравнение является линейным, а не квадратным и потому имеет лите 1 корень. Решая уравнение
a²+a-2=0, находим a=-2 и a=1. Ответ: при a=-2 и при a=1.Докажите, что если L и B корни многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)
Решение: Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т. к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).
Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т. к. В - тоже корень многочлена P(x), то P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т. е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.
