многочлен »

корни многочлена

  • Теорема Безу.
    1. Выпишите строку коэффициентов многочлена:
    x^2+5x^4-7x^3-2x^5.
    2. Найдите значения многочлена непосредственной подстановкой и с помощью схемы Горнера:
    3x^2+2x-4 при x=+-1,+-2,+-4.
    3. Найдите целые корни многочлена:
    5x^3-19x^2+11x+3;
    4. Представьте в виде произведения многочленов:
    5x^3+9x^2-5x-9;


    Решение: 1) -2 5 -7 1 0 0
    2) С непосредственной подстановкой все ясно. А выполнить проверку с помощью схемы Горнера можно, найдя остаток от деления исходного многочлена на (x-x0) (ведь по теореме Безу и будет значением многочлена в точке x0). Схему Горнера тут неудобно оформлять, поэтому давайте самостоятельно.
    3) В соответствии с теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами, целые корни должны быть делителями свободного члена 3.
    Делители тройки: 1,1, 3,3. Убеждаемся что только числа 1 и 3 являются корнями. Ответ: x=1, x=3
    4) Сначала поищем целые корни. Проверим числа 1,1, 3,3, 9,9. 1 - корень, поэтому делим исходный многочлен на (x-1) и получаем
    5x^2+14x+9. Теперь решаем квадратное уравнение находим еще два корня x=-9/5 и x=-1
    Таким образом 5x^3+9x^2-5x-9=(x-1)(x+1)(5x+9)

  • Найти корни многочлена третьей степени 1) 4x^3-x=0 2) x^3-x^2-16x+16=0 3) x^3+2x^2-x-2=0 4) 2x^3-x^2-50x+25=0


    Решение: 4x^3-x=0,

    x(4x^2-1)=0,

    x1=0,

    4x^2-1=0,

    x^2=1/4,

    x2=-1/2, x3=1/2;

    x^3-x^2-16x+16=0,

    x^2(x-1)-16(x-1)=0,

    (x-1)(x^2-16)=0,

    (x-1)(x-4)(x+4)=0,

    x-1=0, x1=1,

    x-4=0, x2=4,

    x+4=0, x3=-4;

    x^3+2x^2-x-2=0,

    x^2(x+2)-(x+2)=0,

    (x+2)(x^2-1)=0,

    (x+2)(x-1)(x+1)=0,

    <.>;

    2x^3-x^2-50x+25=0,

    x^2(2x-1)-25(2x-1)=0,

    (2x-1)(x^2-25)=0,

    (2x-1)(x-5)(x+5)=0,

    <.>

  • Найти корни многочлена третьей степени:
    1) 4*x^3-x
    2)2*x^3-x^2-50*x+25


    Решение: $$ 4x^3-x=x*(4x^2-1)=x*(2x-1)*(2x+1) $$
    1) x1=0
    2) 2x-1=0
    2x=1
    x=1:2
    x2=0,5
    3) 2x+1=0
    2x= -1
    x= -1:2
    x3= -0,5
    Ответ: x1=0, x2=0,5, x3= -0,5
    Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного членаx -x x x - x x- x x x- x x x x x - x - x - Ответ x x x - Рациональные корни уравнения находятся среди делителей свободного члена...
  • Найдите корни многочлена.
    а) x (в квадрате) - 7х
    б) 2х-5
    в) у(в кубе) - 4у
    в) у(в четвертой степени) - 16


    Решение: Необходимо приравнять к 0 каждый многочлен.

    а) x в квадрате - 7х = 0

    х*(х - 7) = 0

    х = 0 х = 7

    Ответ: 0; 7.

    б) 2х - 5 = 0

    2х = 5

    х =2,5

    Ответ: 2,5.

    в) у в кубе - 4у = 0

    у * (у в квадрате - 4) = 0

    у = 0 у в квадрате - 4 = 0

      у = 2 у = -2

    Ответ: -2; 0; 2.

    г)y в 4й степени - 16 = 0

    у в 4 степени = 16

    у = 2 у = -2

    Ответ: -2; 2.

  • Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэфицентами но записанными в обратном порядке


    Решение: Здесь можно использовать симметрию корней уравнения. 
    Положим что наше уравнение имеет вид
     $$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0\\ $$ 
     пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням 

  • Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1


    Решение: Из условия:

    $$ x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1). $$

    где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.

    (2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:

    $$ x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4). $$

    Значит х = -1  и  х = 4    Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:

    $$ x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3. \\ x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57. $$

    Решив полученную систему, имеем:

    а = 12;  b = 9.

    Значит исходный многочлен имеет вид:  (сразу приравняем 0)

    $$ x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0 $$

    а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)

    И другой вид исходного многочлена:

    (х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0

    В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.

    Устанавливаем первый из интервалов:  (2; 3).  Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).

    Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).

    Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)

    -0,8; 2,3; 3,8.

  • Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всего его целый корней, если эти кратности больше 1:
    \( x^{4} +5 x^{2} -6 \)


    Решение: $$ x^4+5x^2-6=x^4+6x^2-x^2-6=x^2(x^2+6)-(x^2+6)= \\ =(x^2-1)(x^2+6)=(x-1)(x+1)(x^2+6) $$
    Из множества действительных чисел нулями многочлена являются -1 и 1

    Пусть x²=y
    y²+5y-6=0
    D=25+4*6=49=7²
    y₁=(-5-7)/2=-12/2=-6 
    y₂=(-5+7)/2=2/2=1
    y₁=-6
    x²=-6 нет решений
    y₂=1
    x²=1
    x₁=1
    x₂=-1
    Все корни кратны только 1
    ОТВЕТ-1; 1

  • Найдите корни многочлена:
    2х^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4


    Решение: Решение данного уравнения во вложениях:
    Ответ:-2;-1;-0.5;1;2. 

    $$ 2x^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4=\\ =x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=\\ =(2x+1)(x^4-5x^2+4)=(2x+1)(x^4-x^2-4x^2+4)=\\ =(2x-1)(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=(2x+1)(x^2-1)(x^2-4)=\\ =(2x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
    Чтоб найти корни нужно чтоб многочлен был равен чему то.

    Если он равен 0, то х1=-0,5; х2=1; х3=-1; x4=2; x5 = -2 

    Решение данного уравнения во вложениях Ответ - - - . .  x x - x - x x x x - x x x x x - x x x -x - x x- x x - - x - x x - x - x x- x x- x Чтоб найти корни нужно чтоб многочле...
  • При каких значениях а корни многочлена ax^2+(2a+1)x+a+1 относятся как 1:2?


    Решение: Приравняв этот многочлен к 0, получим квадратное уравнение. Сумма его корней x1+x2=-(2*a+1)/a, а их произведение x1*x2=(a+1)/a. Пусть x1/x2=1/2, тогда x2=2*x1. Отсюда получаем систему уравнений:
    3*x1=-(2*a+1)/a
    2*x1²=(a+1)/a
    Из первого уравнения находим x1=-(2*a+1)/(3*a), тогда
    x1²=(4*a²+4*a+1)/(9*a²), а 2*x1²=(8*a²+8*a+2)/(9*a²). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение
    (8*a²+8*a+2)/(9*a²)=(a+1)/a, или a*(8*a²+8*a+2)=9*a²*(a+1), или
    8*a³+8*a²+2*a=9*a³+9*a², или a³+a²-2*a=a*(a²+a-2)=0. Одним из решений является a=0, но это решение не годится, т. к. при a=0 исходное уравнение является линейным, а не квадратным и потому имеет лите 1 корень. Решая уравнение
    a²+a-2=0, находим a=-2 и a=1. Ответ: при a=-2 и при a=1. 

  • Докажите, что если L и B корни многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)


    Решение: Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т. к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).
    Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т. к. В - тоже корень многочлена P(x), то  P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т. е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.

1 2 > >>