многочлен »

корни многочлена - страница 3

  • При каких значениях а корни многочлена ax^2+(2a+1)x+a+1 относятся как 1:2?


    Решение: Приравняв этот многочлен к 0, получим квадратное уравнение. Сумма его корней x1+x2=-(2*a+1)/a, а их произведение x1*x2=(a+1)/a. Пусть x1/x2=1/2, тогда x2=2*x1. Отсюда получаем систему уравнений:
    3*x1=-(2*a+1)/a
    2*x1²=(a+1)/a
    Из первого уравнения находим x1=-(2*a+1)/(3*a), тогда
    x1²=(4*a²+4*a+1)/(9*a²), а 2*x1²=(8*a²+8*a+2)/(9*a²). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение
    (8*a²+8*a+2)/(9*a²)=(a+1)/a, или a*(8*a²+8*a+2)=9*a²*(a+1), или
    8*a³+8*a²+2*a=9*a³+9*a², или a³+a²-2*a=a*(a²+a-2)=0. Одним из решений является a=0, но это решение не годится, т. к. при a=0 исходное уравнение является линейным, а не квадратным и потому имеет лите 1 корень. Решая уравнение
    a²+a-2=0, находим a=-2 и a=1. Ответ: при a=-2 и при a=1. 

  • Докажите, что если L и B корни многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)


    Решение: Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т. к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).
    Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т. к. В - тоже корень многочлена P(x), то  P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т. е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.

  • 2х5+х4-10х3-5х2+8х+4 найти корни многочлена


    Решение: 2х⁵+х⁴-10х³-5х²+8х+4=0

    (2х⁵+х⁴)-(10х³+5х²)+(8х+4)=0

    х⁴(2х+1)-5х²(2х+1)+4(2х+1)=0

    (2х+1)(х⁴-5х²+4)=0

    (2х+1)*х²(х²-5+4)=0

    х²(2х+1)(х²-1)=0

    х²(2х+1)(х-1)(х+1)=0

    х²=0 или 2х+1=0 или х-1=0 или х+1=0

    х=0 или х=-0,5 или х=1 или х=-1

    Ответ: 0; -0,5; 1; -1.

    2х5+х4-10х3-5х2+8х+4=0

    10х + 4х - 30х -10х +8х +4=0

    -18х+4 = 0

    х= 4/18

    х= 2/9

  • P(x)=x^3 - 5x^2+6x нужно найти корни многочлена


    Решение: по схеме горнера находим первый корень

    1x^3 - 5x^2+6x+0=0

     выписываем множители

      ! 1 !-5 ! 6 ! 0 !

    2! 1 !-3 ! 0 ! 0

     

      1x^2-3x=0 

      x(x-3)=0

      x=0

      x=3

    ответ: x=0, x=2, x=3 

    Р(х)=0

    x^3-5x^2+6x=0

    x(x^2-5x+6)=0

    x(x^2-5x+6)=0

    x1=0

    x^2-5x+6=0

    по теореме Виета:

    х2=2; х3=3

    Ответ: 0; 2; 3.

  • При каких значениях а корни многочлена
    \( 2 x^{2}-2(2a+1)x+a(a-1) \)
    удовлетворяют неравенствам
    \( x_{1} \ \ a \leq x_{2} \)


    Решение: Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
    $$ 2x^2 -2(2a+1)x+a(a-1)=0\\D=(2(2a+1))^2-4*4*a(a-1)=4(4a^2+4a+1)-16a^2+16a=\\=16a^2+16a+4-16a^2+16a=32a+4=4(8a+1)\\x_1=\frac{2(2a+1)+2\sqrt{8a+1}}{4}=\frac{2a+1+\sqrt{8a+1}}{2}\\x_2=\frac{2(2a+1)-2\sqrt{8a+1}}{4}=\frac{2a+1-\sqrt{8a+1}}{2} $$
    Теперь решим неравенство:
    $$ x_1\ < \ a \leq x_2\\\frac{2a+1+\sqrt{8a+1}}{2}\ < \ a\leq\frac{2a+1-\sqrt{8a+1}}{2}\\2a+1+\sqrt{8a+1}\ < \ 2a\leq 2a+1-\sqrt{8a+1}\\ \sqrt{8a+1}\ < \ -1\leq-\sqrt{8a+1}\\ \left \{ {{\sqrt{8a+1}\ < \ -1} \atop {-\sqrt{8a+1}\geq -1}} \right. \\ \left \{ {{NoSolutions} \atop {\sqrt{8a+1}\leq 1}} \right. $$
    Решим второе неравенство:
    $$ \sqrt{8a+1}\leq 1\\ \left \{ {{8a+1\leq 1} \atop {8a+1\geq 0}} \right. 0\leq 8a+1 \leq 1\\-1\leq 8a\leq 0\\-\frac{1}{8}\leq a\leq 0 $$

<< < 123 4 > >>