многочлен »

корни многочлена - страница 2

  • Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэфицентами но записанными в обратном порядке


    Решение: Здесь можно использовать симметрию корней уравнения. 
    Положим что наше уравнение имеет вид
     $$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0\\ $$ 
     пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням 

  • Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1


    Решение: Из условия:

    $$ x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1). $$

    где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.

    (2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:

    $$ x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4). $$

    Значит х = -1  и  х = 4    Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:

    $$ x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3. \\ x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57. $$

    Решив полученную систему, имеем:

    а = 12;  b = 9.

    Значит исходный многочлен имеет вид:  (сразу приравняем 0)

    $$ x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0 $$

    а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)

    И другой вид исходного многочлена:

    (х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0

    В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.

    Устанавливаем первый из интервалов:  (2; 3).  Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).

    Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).

    Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)

    -0,8; 2,3; 3,8.

  • Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всего его целый корней, если эти кратности больше 1:
    \( x^{4} +5 x^{2} -6 \)


    Решение: $$ x^4+5x^2-6=x^4+6x^2-x^2-6=x^2(x^2+6)-(x^2+6)= \\ =(x^2-1)(x^2+6)=(x-1)(x+1)(x^2+6) $$
    Из множества действительных чисел нулями многочлена являются -1 и 1

    Пусть x²=y
    y²+5y-6=0
    D=25+4*6=49=7²
    y₁=(-5-7)/2=-12/2=-6 
    y₂=(-5+7)/2=2/2=1
    y₁=-6
    x²=-6 нет решений
    y₂=1
    x²=1
    x₁=1
    x₂=-1
    Все корни кратны только 1
    ОТВЕТ-1; 1

  • Имеет ли корни многочлен:
    а) х^2+1
    b)x^3-27
    c)-2y^6-1
    d)y^4+3y^2+7


    Решение: $$ a) x^2+1=0\\ x^2=-1 $$
    не имеет, поскольку \(x^2\) всегда \(\geq\) 0 $$ b) x^3-27=0\\ x^3=27\\ x=3 $$
    Корнем многочлена является число 3.
    $$ c)-2y^6-1=0\\ -2y^6=1\\ y^6=-\frac12 $$
    Многочлен не имеет корней, поскольку переменная в парной степени 6, что всегда дает положительное число, а у нас получилось отрицательное.
    $$ d)y^4+3y^2+7=0\\ y^2=a\\ a^2+3a+7=0\\ D=3^2-4*7=9-28-19\\ D<0 $$
    При отрицательному дискриминанту многочлен корней не имеет.

  • Найдите корни многочлена:
    2х^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4


    Решение: Решение данного уравнения во вложениях:
    Ответ:-2;-1;-0.5;1;2. 

    $$ 2x^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4=\\ =x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=\\ =(2x+1)(x^4-5x^2+4)=(2x+1)(x^4-x^2-4x^2+4)=\\ =(2x-1)(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=(2x+1)(x^2-1)(x^2-4)=\\ =(2x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
    Чтоб найти корни нужно чтоб многочлен был равен чему то.

    Если он равен 0, то х1=-0,5; х2=1; х3=-1; x4=2; x5 = -2 

    Решение данного уравнения во вложениях Ответ - - - . .  x x - x - x x x x - x x x x x - x x x -x - x x- x x - - x - x x - x - x x- x x- x Чтоб найти корни нужно чтоб многочле...
<< < 12 3 4 > >>