корни многочлена - страница 2
Корни многочлена равны x1,x2,x3,x4 найдите корни многочлена той же степени и с теми же коэфицентами но записанными в обратном порядке
Решение: Здесь можно использовать симметрию корней уравнения.
Положим что наше уравнение имеет вид
$$ ax^4+bx^3+cx^2+d=0\\ $$
пусть корень этого уравнения равен $$ x_{1} $$, то корень уравнение той же степени только записанные в обратном порядке равен $$ \frac{1}{x_{1}} $$, то есть они равны обратным к соответственным корням
Найдите корни многочлена P(x)=x^4-4x^3-3x^2+ax+b, если известно, что при делении P(x) на x^2-3x-4 остаток 2x+1
Решение: Из условия:$$ x^4-4x^3-3x^2+ax+b=Q(x)(x+1)(x-4)\ +\ (2x+1). $$
где Q(x) - неизвестный многочлен второй степени с целыми коэффициентами.
(2х+1) - остаток. Перенесем остаток влево:
$$ x^4-4x^3-3x^2+(a-2)x+(b-1)=Q(x)(x+1)(x-4). $$
Значит х = -1 и х = 4 Являются корнями многочлена в левой части. Подставим эти корни поочередно в многочлен и из равенства полученных выражений 0 получим систему для нахождения a и b:
$$ x_{1}=-1,\ \ \ \ 1+4-3-(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ -a+b=-3. \\ x_{2}=4,\ \ \ \ 256-256-48+4(a-2)+(b-1)=0,\ \ \ \ 4a+b=57. $$
Решив полученную систему, имеем:
а = 12; b = 9.
Значит исходный многочлен имеет вид: (сразу приравняем 0)
$$ x^4-4x^3-3x^2+12x+9=0 $$
а многочлен Q(x) = x^2-x-2 = (x-2)(x+1)
И другой вид исходного многочлена:
(х-2)(x-4)(x+1)^2 + (2x+1) = 0
В этом виде удобнее считать многочлен при подборе корней.
Устанавливаем первый из интервалов: (2; 3). Методом последовательных приближений находим первый корень: х1 = 2,3 (примерно, с точностью до сотых).
Устанавливаем второй из интервалов: (3; 4). Методом последовательных приближений находим второй корень х2= 3,8 (примерно, с точностью до десятых).
Устанавливаем третий интервал: (-1; 0). Методом последовательных приближений находим: х3 = -0,8 ( с точностью до десятой)
-0,8; 2,3; 3,8.
Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всего его целый корней, если эти кратности больше 1:
\( x^{4} +5 x^{2} -6 \)
Решение: $$ x^4+5x^2-6=x^4+6x^2-x^2-6=x^2(x^2+6)-(x^2+6)= \\ =(x^2-1)(x^2+6)=(x-1)(x+1)(x^2+6) $$
Из множества действительных чисел нулями многочлена являются -1 и 1Пусть x²=y
y²+5y-6=0
D=25+4*6=49=7²
y₁=(-5-7)/2=-12/2=-6
y₂=(-5+7)/2=2/2=1
y₁=-6
x²=-6 нет решений
y₂=1
x²=1
x₁=1
x₂=-1
Все корни кратны только 1
ОТВЕТ-1; 1Имеет ли корни многочлен:
а) х^2+1
b)x^3-27
c)-2y^6-1
d)y^4+3y^2+7
Решение: $$ a) x^2+1=0\\ x^2=-1 $$
не имеет, поскольку \(x^2\) всегда \(\geq\) 0 $$ b) x^3-27=0\\ x^3=27\\ x=3 $$
Корнем многочлена является число 3.
$$ c)-2y^6-1=0\\ -2y^6=1\\ y^6=-\frac12 $$
Многочлен не имеет корней, поскольку переменная в парной степени 6, что всегда дает положительное число, а у нас получилось отрицательное.
$$ d)y^4+3y^2+7=0\\ y^2=a\\ a^2+3a+7=0\\ D=3^2-4*7=9-28-19\\ D<0 $$
При отрицательному дискриминанту многочлен корней не имеет.Найдите корни многочлена:
2х^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4
Решение: Решение данного уравнения во вложениях:
Ответ:-2;-1;-0.5;1;2.$$ 2x^5 + x^4 - 10x^3 -5x^2+8x+4=\\ =x^4(2x+1)-5x^2(2x+1)+4(2x+1)=\\ =(2x+1)(x^4-5x^2+4)=(2x+1)(x^4-x^2-4x^2+4)=\\ =(2x-1)(x^2(x^2-1)-4(x^2-1))=(2x+1)(x^2-1)(x^2-4)=\\ =(2x+1)(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) $$
Чтоб найти корни нужно чтоб многочлен был равен чему то.Если он равен 0, то х1=-0,5; х2=1; х3=-1; x4=2; x5 = -2