многочлен »
корни многочлена - страница 2
При каких значениях а корни многочлена ax^2+(2a+1)x+a+1 относятся как 1:2?
Решение: Приравняв этот многочлен к 0, получим квадратное уравнение. Сумма его корней x1+x2=-(2*a+1)/a, а их произведение x1*x2=(a+1)/a. Пусть x1/x2=1/2, тогда x2=2*x1. Отсюда получаем систему уравнений:
3*x1=-(2*a+1)/a
2*x1²=(a+1)/a
Из первого уравнения находим x1=-(2*a+1)/(3*a), тогда
x1²=(4*a²+4*a+1)/(9*a²), а 2*x1²=(8*a²+8*a+2)/(9*a²). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение
(8*a²+8*a+2)/(9*a²)=(a+1)/a, или a*(8*a²+8*a+2)=9*a²*(a+1), или
8*a³+8*a²+2*a=9*a³+9*a², или a³+a²-2*a=a*(a²+a-2)=0. Одним из решений является a=0, но это решение не годится, т. к. при a=0 исходное уравнение является линейным, а не квадратным и потому имеет лите 1 корень. Решая уравнение
a²+a-2=0, находим a=-2 и a=1. Ответ: при a=-2 и при a=1.Докажите, что если L и B корни многочлена P(x), то P(x) делится на (x-L)(x-B)
Решение: Будем считать, что L≠B. Иначе утверждение не верно (или тогда в условии должно быть что-то сказано про кратность корня. Но в этом случае не будет задачи, т. к. если кратность, допустим корня В больше или равна 2, то по определению кратности корня это и значит делимость многочлена на (x-B)²).
Итак, если L - корень многочлена P(x), то по т. Безу P(x)=(x-L)P₁(x), где P₁(x) - некоторый многочлен. Т. к. В - тоже корень многочлена P(x), то P(B)=(B-L)P₁(B)=0, откуда P₁(B)=0, т. е. B - корень многочлена P₁(x). Значит, опять по т. Безу P₁(х)=(х-В)P₂(x). Таким образом, P(x)=(x-L)P₁(x)=(x-L)(х-В)P₂(x), что и требовалось.
2х5+х4-10х3-5х2+8х+4 найти корни многочлена
Решение: 2х⁵+х⁴-10х³-5х²+8х+4=0(2х⁵+х⁴)-(10х³+5х²)+(8х+4)=0
х⁴(2х+1)-5х²(2х+1)+4(2х+1)=0
(2х+1)(х⁴-5х²+4)=0
(2х+1)*х²(х²-5+4)=0
х²(2х+1)(х²-1)=0
х²(2х+1)(х-1)(х+1)=0
х²=0 или 2х+1=0 или х-1=0 или х+1=0
х=0 или х=-0,5 или х=1 или х=-1
Ответ: 0; -0,5; 1; -1.
2х5+х4-10х3-5х2+8х+4=0
10х + 4х - 30х -10х +8х +4=0
-18х+4 = 0
х= 4/18
х= 2/9
P(x)=x^3 - 5x^2+6x нужно найти корни многочлена
Решение: по схеме горнера находим первый корень1x^3 - 5x^2+6x+0=0
выписываем множители
! 1 !-5 ! 6 ! 0 !
2! 1 !-3 ! 0 ! 0
1x^2-3x=0
x(x-3)=0
x=0
x=3
ответ: x=0, x=2, x=3
Р(х)=0
x^3-5x^2+6x=0
x(x^2-5x+6)=0
x(x^2-5x+6)=0
x1=0
x^2-5x+6=0
по теореме Виета:
х2=2; х3=3
Ответ: 0; 2; 3.
При каких значениях а корни многочлена
\( 2 x^{2}-2(2a+1)x+a(a-1) \)
удовлетворяют неравенствам
\( x_{1} \ \ a \leq x_{2} \)
Решение: Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$$ 2x^2 -2(2a+1)x+a(a-1)=0\\D=(2(2a+1))^2-4*4*a(a-1)=4(4a^2+4a+1)-16a^2+16a=\\=16a^2+16a+4-16a^2+16a=32a+4=4(8a+1)\\x_1=\frac{2(2a+1)+2\sqrt{8a+1}}{4}=\frac{2a+1+\sqrt{8a+1}}{2}\\x_2=\frac{2(2a+1)-2\sqrt{8a+1}}{4}=\frac{2a+1-\sqrt{8a+1}}{2} $$
Теперь решим неравенство:
$$ x_1\ < \ a \leq x_2\\\frac{2a+1+\sqrt{8a+1}}{2}\ < \ a\leq\frac{2a+1-\sqrt{8a+1}}{2}\\2a+1+\sqrt{8a+1}\ < \ 2a\leq 2a+1-\sqrt{8a+1}\\ \sqrt{8a+1}\ < \ -1\leq-\sqrt{8a+1}\\ \left \{ {{\sqrt{8a+1}\ < \ -1} \atop {-\sqrt{8a+1}\geq -1}} \right. \\ \left \{ {{NoSolutions} \atop {\sqrt{8a+1}\leq 1}} \right. $$
Решим второе неравенство:
$$ \sqrt{8a+1}\leq 1\\ \left \{ {{8a+1\leq 1} \atop {8a+1\geq 0}} \right. 0\leq 8a+1 \leq 1\\-1\leq 8a\leq 0\\-\frac{1}{8}\leq a\leq 0 $$
Сумма коэффициентов произвольного многочлена c целыми коэффициентами равна заданному простому числу p.
Известно что многочлен имеет более 1 натурального корня. Найдите натуральные корни многочлена.
Решение: Многочлен имеет вид (х-х1)(х-х2).(х-хn)(x^2k+f)=0
тогда (1-х1)(1-х2).(1-хn)(1+f)=p - простому числу
это возможно если
(1-хi)=1- (a корней);
(1-хj)=-1-(b корней);
(1-хn)=p*(-1)^b - единственный корень
(1+f)=1;f=0;x=0
среди корней могут быть целые числа 0;2;1-p или 1+p
так как корень не единственный и корни натуральные (положительные), то остается 2-нечетное число корней и 1+p - один корень
Указать кратность всех корней многочлена А(х)=4х³-5x²-2x+3
Решение: 4*1³-5*1²-2*1+3=04-5-2+3=0
0=0 ⇒ 1 является корнем многочлена
схема Хорнера
4x²-x-3=0
4x²-4x+3x-3=
4x(x-1)+3(x-1)=0
(4x+3)(x-1)=0
x=-3/4 ∨ x=1
1 - двукратный корень
-3/4 - однократный корень
Найти сумму и произведение корней многочлена Р(х)=-2х3 + 3х2-6х + 1
Решение: A = -2, b = 3, c = -6, d = 1
Делаем замену переменных по формуле x = y - b/3a
Получаем новое уравнение:
y^3 +py + q
где p = -b^2/3a^2 + c/a = 9/4 = 2.25
a q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d/a = 3/4 = 0.75
Q = (p/3)^3 + (q/2)^2 > 0 - значит есть один действительный корень и 2 комплексно-сопряженных (которые в данном случае не нужны)
По формулам Кардано находим корень:
х = (примерно) 0.181Найти многочлен наименьшей степени, среди корней которого есть числа 1, 2, 3 и коэффициент при старшей степени равен 1
Выберите один ответ:
1)x^3-4x^2+9x-6
2)x^3+6x^2-13x-3
3)x^3-6x^2-11x-4
4)x^3-6x^2+11x-6
Решение: Корни многочлена - числа, обращающие его при подстановке в ноль, значит составим произведение (х-1)*(х-2)*(х-3), очевидно, если подставлять числа 1, 2, 3 в это выражение, его значение будет равно нулю. Осталось лите раскрыть скобки, умножая их по очереди: (х-1)*(х-2)*(х-3)= (х^2-2х-х+2)*(х-3)= (х^2-3х+2)*(х-3)=x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6=x^3-6x^2+11x-6 Ваш ответ под номером 4Сумма корней 1+2+3=6 произведение корней равно 6
воспользуемся обобщенной теоремой Виета
для 3-й степени x1+x2+x3=-b x1*x2*x3=-c
b=-6 c=-6 таким свойством обладает многочен 4)
ответ 4)
