многочлен » многочлен
  • Докажите, что многочлен не имеет действительных корней: а) x^6-5x^3+7
    б) x^4-x+2


    Решение: То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
    а) $$ x^6-5x^3+7 $$
    Делаем замену: x^3=y;
    $$ y^2-5y+7=0; $$
    Находим дискриминант:
    $$ y^2-5y+7=0;\\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3; $$
    Т.к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
    б) $$ x^4-x+2=0; $$
    Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
    $$ x^4-x+2=0;\\ x^4-x=-2; $$
    Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.

  • Разложение многочлена на множители. Не понимаю. ))
    1)ab^3+2a^2b^2+a^3b
    2)5a-b+5a^2-ab
    3)7a-7b+2b^2-2ab
    4)b^4-b^2+4b+4
    5) x^2-4-3ax+6a
    6)x^3+27


    Решение: 1)ab^3+2a^2b^2+a^3b 
    Надо вынести общий множитель за скобки:
    ab(b²+2ab+a²) = ab(b+a)².
    2)5a-b+5a^2-ab
      5a-b+a(5a-b) = (5a-b)(1+a)
    3)7a-7b+2b^2-2ab
      7(a-b)+2b(b-a) = 7(a-b)-2b(a-b) = (a-b)(7-2b)
    4)b^4-b^2+4b+4
      b²(b²-1)+4(b+1) = b²(b-1)(b+1)+4(b+1) = (b+1) (b²(b-1)+4) =
      = (b+1)(b³-b²+4)
    5) x^2-4-3ax+6a
      (x-2)(x+2)-3a(x-2) = (x-2)(x+2-3a)
    6)x^3+27 = (x+3)(x²-3x+9)
      Сумма кубов формула:

    a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)



    Ab×(b^2+2ab+a^2)=ab×(a+b)^2
     5a×(1+a)-b×(1+a)=(1+a)(5a-b)
    7×(a-b) +2b×(b-a)=7×(a-b)-2b×(a-b)=(a-b)(7-2b)
    b^2×(b^2-1)+4 (b+1)=b^2 (b-1)(b+1)+4×(b+1)=(b+1)(b^2 (b-1)+4)=(b+1)(b^3-b^2+4)
     (x-2)×(x+2)-3a×(x-2)=(x-2)((x+2)-3a))=(x-2)(x+2-3a)
    (X+3)(x^2-3x+9)

  • Найдите свободный член a0a0 многочлена PP с целыми коэффициентами, если известно, что P(19)=P(94)=1994P(19)=P(94)=1994 и что a0a0 по модулю меньше 10001000.


    Решение: Если многочлен 1 степени, то у него не может значение повторяться в двух разных точках.
    Значит, этот многочлен - квадратный.
    P=a2*x^2+a1*x+a0
    Подставляем 19 и 94 вместо х.
    a2*361+a1*19+a0=1994
    a2*8836+a1*94+a0=1994
    Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
    8475*a2+75*a1=0
    Делим все на 75.
    113*a2+a1=0
    Например, a2=1; a1=-113.
    P=x^2-113x+a0
    Подставляем опять 19
    361-113*19+a0=1994
    a0=1994+113*19-361=3780