многочлен »

задачи с многочленами

  • Докажите, что многочлен не имеет действительных корней: а) x^6-5x^3+7
    б) x^4-x+2


    Решение: То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
    а) $$ x^6-5x^3+7 $$
    Делаем замену: x^3=y;
    $$ y^2-5y+7=0; $$
    Находим дискриминант:
    $$ y^2-5y+7=0;\\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3; $$
    Т.к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
    б) $$ x^4-x+2=0; $$
    Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
    $$ x^4-x+2=0;\\ x^4-x=-2; $$
    Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.

  • Найдите свободный член a0a0 многочлена PP с целыми коэффициентами, если известно, что P(19)=P(94)=1994P(19)=P(94)=1994 и что a0a0 по модулю меньше 10001000.


    Решение: Если многочлен 1 степени, то у него не может значение повторяться в двух разных точках.
    Значит, этот многочлен - квадратный.
    P=a2*x^2+a1*x+a0
    Подставляем 19 и 94 вместо х.
    a2*361+a1*19+a0=1994
    a2*8836+a1*94+a0=1994
    Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
    8475*a2+75*a1=0
    Делим все на 75.
    113*a2+a1=0
    Например, a2=1; a1=-113.
    P=x^2-113x+a0
    Подставляем опять 19
    361-113*19+a0=1994
    a0=1994+113*19-361=3780

  • Поделить многочлен с помощью метода Горнера (6х^6-2х^4+3х^3-х^2+1)/(2х+3)
    ^-степень.


    Решение: запишем в таблицу коэффициенты делимого многочлена(по убыванию степени,3/2 прибавляется к x в делимом)

      |6|0|2|3|-1|0|1

    3/2|

    заполняем

      |6 |0 |2 | 3 | -1 |0 |1

    3/2|6 |

    1)3/2 *6 +0=9

    2)3/2*9+2=31/2

    3)3/2 * 31/2 +3 = 105/4

    4)105/4 * 3/2 -1= 307/8

    5)307/8 * 3/2 +0=921/16

    6)921/16 * 3/2 +1=2795/32

    это и сть каждый следующий столбец твоей таблицы

    и коэффициенты нового уравнения начиная с x^5

  • Используя схему Горнера, докажите, что число a является корнем многочлена p(x)
    p(x)=2x^4-3x^3+x-10 a=2


    Решение: P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + x - 10; a = 2
    Выписываем по столбцам коэффициенты уравнения,
    а в строку пишем корень а = 2.
    p | 2 | -3 | 0 | 1 | -10
    -
    2 | 2 |  1 | 2 |  5 | 0
    Старший член просто переписываем - 2.
    Дальше умножаем его на корень 2 и прибавляем следующий (-3).
    Получили 1, который пишем под -3.
    Опять умножаем эту 1 на корень 2 и прибавляем коэффициент 0.
    Получили 2, пишем его под 0.
    Умножаем эту 2 на корень 2 и прибавляем коэффициент 1.
    Получили 5, записываем под 1.
    И, наконец, умножаем эту 5 на корень 2 и прибавляем -10.
    В конце получился 0, значит, 2 - это корень.

  • X³ + 2/3*X² - 1/9 =0 ( 10 класс, многочлены) решить нужно либо по теореме Безу, либо по схеме Горнера.


    Решение: X³+(2/3)x²-1/9
    x₁=1/3
    x³+(2/3)x²-1/9   |_x-1/3_
    x²-1/3x²            | x²+x+1/3
    -
             x²-1/9
             x²-(1/3)x
            -
                    (1/3)x-1/9
                    (1/3)x-1/9
                    -
                                  0
    x²+x+1/3=0   D=-4¹/₃ ⇒ Уравнение не имеет действительных корней.
    Ответ: x=1/3.

1 2 3 > >>