многочлен »
задачи с многочленами - страница 2
Найдите многочлен М и вычислите его значение при х= -1, если М · (х + 2)= х^3 + 2х^2 + 2х + 4
Решение: М · (х + 2)= х^3 + 2х^2 + 2х + 4
чтобы получить M, нужно многочлен х^3 + 2х^2 + 2х + 4 разделить на x+2
х^3 + 2х^2 + 2х + 4 | x+2
x^3 + 2x^2 x^2 + 2
2x +4
2x+4
0
Значит M(x)=x^2+2
M(-1) = (-1)^2 +2 =3
Оууу тут так легко, просто подставляете в место "x" "-1"
и находите "M" как простое уравнение:
М(х + 2) = х³ + 2х² + 2х + 4
М(-1 + 2) = (-1)³ + 2*(-1)² + 2*(-1) + 4
M = -1 + 2 - 2 + 4
М = 1
Найти многочлен M(x) третьей степени такой, что M(-1)=-2, M(0)=1, M(1)=0, M(2)=1
Решение: $$ M(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\M(0)=1\\d=1\\M(-1)=-a+b-c=-2\\M(1)=a+b+c=0\\M(2)=8a+4b+2c=1 $$
Решаем получившуюся систему:
$$ -a+b-c=-2\\a+b+c=0\\8a+4b+2c=1 $$
Получаем:
$$ a=\cfrac{1}{2};\phantom{g} b=-1;\phantom{g} c = \cfrac{1}{2} $$
Получаем многочлен:
$$ M(x)=\cfrac{1}{2}\cdot x^3-x^2+\cfrac{1}{2}\cdot x+1 $$(2 фото), на одном не уместилось
Найти интерполяционный многочлен Лагранжа P3(x), для которого P3(-1)=-11, P3(1)=-3, P3(3)=13.
Решение: $$ P_3(x)=a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\\ P_3(-1)=-11=\ > \ a_o-a_1+a_2-a_3=-11\\ P_3(1)=-3=\ > \ a_o+a_1+a_2+a_3=-3\\ P_3(2)=1=\ > \ a_o+2a_1+4a_2+8a_3=1\\ P_3(3)=13=\ > \ a_o+3a_1+9a_2+27a_3=13 $$
Решается система:
$$ \begin{cases} a_o-a_1+a_2-a_3=-11 \\a_o+a_1+a_2+a_3=-3\\ a_o+2a_1+4a_2+8a_3=1 \\ a_o+3a_1+9a_2+27a_3=13 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} a_o =-5 \\ a_1=3\\ a_2=-2 \\ a_3=1 \end{cases} $$
Многочлен Лагранжа:
$$ P_3(x)=-5+3x-2x^2+x^3 $$
Решите уравнения:
а)2x+8x^2=0
б)x^2-x=2x-5
в)x^4-3x^2-4=0
Разложите если возможно, на множители многочлена
x^2-2x-15
Решение: $$ a) 2x+8x^2=0;\\x(2+8x)=0;\\ \left [ {{x_1=0;} \atop {2+8x=0;}} \right. \\\left [ {{x_1=0;} \atop {8x=-2;}} \right. \\\left [ {{x_1=0;} \atop {x_2=- \frac{1}{4}; }} \right. $$
Ответ: $$ -\frac{1}{4}; 0. \\ b)x^2-x=2x-5;\\x^2-x-2x+5=0;\\x^2-3x+5=0;\\D=9-4*1*5=9-20<0 => x \in \emptyset. $$
Ответ: $$ x \in \emptyset. \\ x^4-3x^2-4=0;\\(x^2)^2-3x^2-4=0;\\ t=x^2;\\t^2-3t-4=0;\\D=9+16=25;\\t_1= \frac{3+5}{2}=4;\\t_2= \frac{3-5}{2}=-1;\\ \left [ {{x^2=4;} \atop {x^2=-1; }} \right.\\ \left \{ {{x_1=2;x_2=-2;} \atop {x \in \emptyset;}} \right. $$
Ответ: -2;2.
$$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \\ x^2-2x-15=0; \\D=4+60=64;\\x_1= \frac{2+8}{2}=5;\\x_2= \frac{2-8}{2}=-3;\\ x^2-2x-15=1*(x-5)(x-(-3))=(x-5)(x+3);\\ x^2-2x-15=(x-5)(x-3). $$
$$ \mathsf{2x+8x^{2}=0}\\ \mathsf{x(8x+2)=0}\\ \mathsf{x=0}\\ \mathsf{8x+2=0 \longrightarrow 8x=-2 \longrightarrow x=- \frac{1}{4}} $$
Ответ: 0; $$ - \frac{1}{4} $$.
$$ \mathsf{x^{2}-x=2x-5}\\ \mathsf{x^{2}-3x+5=0}\\ \mathsf{D=9-4\times1\times5<0} \longrightarrow \varnothing $$
Ответ: нет корней.
$$ \mathsf{x^{4}-3x^{2}-4=0}\\ \mathsf{x^{2}=t}\\ \mathsf{t^{2}-3t-4=0}\\ \mathsf{t_{1}=4}\\ \mathsf{t_{2}=-1}\\ \mathsf{x^{2}=4 \longrightarrow x=\pm2}\\ \mathsf{x^{2}=-1 \longrightarrow \varnothing} $$
Ответ: $$ \pm 2 $$.
Определите многочлен А и найдите его степень, используя правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.
а) А+(12у^2+6y-1)=-10+9
б) (-6x^2+7x-11)-A=2x^2+2x-1
в) A-(6a^2_5ab+b^3)=4b^3-11ab
г) (25x^5-13x^3+7)+A=15x^5-13x^2
Решение: а) А + (12у² + 6y - 1) = -10 + 9
А = -10 + 9 - (12y²+6y-1)
A = -1 - 12y² - 6y + 1
A = -12y² - 6y
б) (-6x² + 7x - 11) - A = 2x² + 2x - 1
A = -6x² + 7x - 11 - 2x² - 2x + 1
A = -8x² + 5x - 10
в) A - (6a² - 5ab + b³) = 4b³ - 11ab
A - 6a² + 5ab - b³ = 4b³ - 11ab
A = 4b³ - 11ab + 6a² - 5ab + b³
A = 5b³ + 6a² -16ab
г) (25x⁵ - 13x³ + 7) + A = 15x⁵ - 13x²
A = 15x⁵ - 13x² - 25x⁵ + 13x³ - 7
A = -10x³ - 7
