задачи с многочленами - страница 2
Как называют многочлен, состоящий из двух членов; трёх членов?
Как называют многочлен, состоящий из одного члена?
Перечислить все члены многочлена 3ху^-2х^2у-1/2
Что называют степенью многочлена?
Решение: Многочлен, состоящий из двух членов называют двучленом, из трёх членов - трёхчленом.
Многочлен, состоящий из одного члена называют одночленом.
Членами многочлена 3xy²-2x²y-1/2, будут одночлены:
3xy²; -2x²y; -1/2
Степень многочлена - наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
В нашем случае, степень многочлена равна 31) Даны три многочлена:
P1(a)=2а3 степени+3а 2 степени-а+1
P2(a)=4а4 степени+6а3 степени-2а2 степени+2а
P3(a)=2а5 степени+3а4 степени-а 3 степени+а 2 степени.
Найдите:
A)P(a)= P1(a)-P2(a)+P3(a)
Б)P(a)=P1(a)+P2(a)-P3(a)
Решение: P₁(a)=2а³+3а²-а+1
P₂(a)=4а⁴+6а³-2а²+2а
P₃(a)=2а⁵+3а⁴-а³+а²
A) P ( a ) = P₁( a )-P₂( a )+P₃( a ) =
= (2а³ + 3а² - а + 1) - (4а⁴ + 6а³ - 2а² + 2а) + (2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²)=
= 2а³ + 3а² - а + 1 - 4а ⁴- 6а³ + 2а² - 2а + 2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²=
= 2а⁵ - а⁴ - 5а³ + 6а² - 3а +1
Б) P( a ) = P₁( a ) + P₂( a ) - P₃( a ) =
= (2а³ + 3а² - а + 1) + (4а⁴ + 6а³ - 2а² + 2а) - (2а⁵ + 3а⁴ - а³ + а²)=
= 2а³ + 3а² - а + 1 + 4а ⁴+ 6а³ - 2а² + 2а - 2а⁵ - 3а⁴ + а³ - а²=
= - 2а⁵ + а⁴ + 9а³ + а + 1
Найдите значение многочлена: а) 6а3(в третьей степени) -а10(в десятой степени)+4а3(в третьей степени) +а10(в десятой степени)+8а3(в третьей степени)+а при а=-3
Решение: Если 6а^3-a^10+4a^3+a^10+8a^3+a, при а=-3
18a^3+a=18*(-3)^3+(-3)=18*(-27)+(-3)=489
а если 6a^3-a^10+4a^3+a^10-8a^3+a, при а=-3
2a^3+a=2*(-3)^3+(-3)=-54-3=-57
6а^3-а^10+4а^3+а10+8а^3+а. выходит -а^з і + а^3 сокращаются. Остается 18а^3 +а=18*(-3)^2+(-3)=18*9-3=162-3=159
Найдите значение многочлена
6a3-a10+4a3+a10-8a3+a при а=-3
Решение: 6a^3-a^10+4a^3+a^10-8a^3+a
-для удобства подстановки сократим многочлен (ищем подобные)
сокращаем а^3:
6а^3+4a^3-8a^3=10a^3-8a^3=2a^3
теперь сокращаем а^10:
-a^10+a^10=0
тогда получается:
2a^3+a
теперь подставляем значение и решаем:
2*(-3)^3+(-3)=2*(-27)+(-3)=-54-3=-57
1) какие из данных многочленов можно представить как квадрат двучлена
а) х в квадрате+25
б)25х в квадрате-10х+1
в) х в квадрате-2х+4
г)9х в квадрате-24х+16
2) вычислите
а)347 в квадрате+2*347*653+653 в квадрате
б)243 в квадрате-486*153+153 в квадрате
в) 728 в квадрате+1456+1
-
730 в квадрате-1460+1
Решение: 1-б2-а 347^2+2*347*653+653^2=120409+453182+426409=1000000
2-б 243^2-486*153+153^2=59049-74358+23409=8100
2-в 728^2+1456+1=529984+1456+1=531441
а) х в квадрате+25=(х^+25)=(х+5)(х-5)
б)25х в квадрате-10х+1= (5х-1) все это в кв.
в) х в квадрате-2х+4=(х-2)все это в кв.
г)9х в квадрате-24х+16= (3х+4) все это в кв.
Если многочлен 2x^3+9x^2-9x+2 можно представить в виде (2x-1)(ax^2+bx+c), то сумма a+b+c равна?
Решение: $$ 2x^3+9x^2-9x+2=2x^3-x^2+10x^2-5x-4x+2=\\\\x^2(2x-1)+5x(2x-1)-2(2x-1)=\\\\(2x-1)(x^2+5x-2) $$
-
$$ a+b+c=1+5+(-2)=4 $$
-
ответ: 4
-
второй способ: из условия ясно что один из корней равен 2х-1=0; 2х=1; х=0.5
используем теорему Виета для кубического уравнения
$$ x_1+x_2+x_3=-\frac{9}{2} \\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{-9}{2} \\ x_1x_2x_3=-\frac{2}{2}=-1 $$
учитывая что $$ x_3=0.5 $$
легко увидеть что
$$ x_1+x_2=-5 \\ x_1x_2=-2 $$
дальше
учитывая что
$$ a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=a_1(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=\\\\a_1(x-0.5)(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)) \\ 2x^2+9x-9x+2=2(x-0.5)(x^2+5x-2)=\\\\(2x-1)(x^2+5x-2)=(2x-1)(ax^2+bx+c) $$
то $$ a+b+c=1+5+(-2)=4 $$
ответ: 4
$$ (2x-1)(a x^{2} +bx+c)=2x ^{3} +9 x^{2} -9x+2 $$
Раскроем скобки в левой части:
$$ 2ax ^{3} -a x^{2}+2b x^{2} -bx+2cx-c=2 x^{3} +9 x^{2} -9x+2 \\ 2a x^{3} +(2b-a) x^{2} +(2c-b)x-c=2 x^{3} +9 x^{2} -9x+2 $$
Два многочлена равны тогда и только тогда когда их степени равны и равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной:
$$ 2a=2, a=1, \\ (2b-a)=9,2b-1=9,2b=10,b=5, \\ 2c-b=-9,2c-5=-9,2c=-4, c=-2, \\ -c=2, c=-2 $$
Ответ a+b+c=1+5-2=4
Если многочлен 2х(в кубе)-х(в квадрате)-19х-10 можно представить в виде (2х+5)(ах[в квадрате]+вх+с), то сумма а+в+с равна?
Решение: (2x^3-x^2-19x-10)/(2x+5)=x^2-3x-2 с методом разделение многочлена на многочленаa=1,b=-3,c=-2
a+b+c=-4
проверка
(2х^3-x^2-19x-10)=(2x+5)(x^2-3x-2)
ax^2+bx+c=x^2-3x-2. Отсюда: a=1, b=-3, c=-2. Значит, a+b+c=1-3-2=-4
Если многочлен 2x^3+9x^2+11x+6 можно представить в виде (x+3)(ax^2+bx+c), то сумма a+b+c =?
Решение: Делим в столбик на (x+3)получаем 2x^2+3x+2
многочлен принял вид (x+3)(2x^2+3x+2)
a+b+c=2+3+2=7
Если многочлен
2х^3+9х^2-9х+2 можно представить в виде (2х-1)(aх^2+вх+с), то сумма а+в+с равна?
Решение: Чтобы узнать значение а, в и с, можно поделить многочлен на (2х-1) столбиком.2х³+9х²-9х+2I2х-1
2х³-х² |х²+5х-2
10х²-9х
10х²-5х
-4х+2
-4х+2
0
Получили многочлен х²+5х-2, значит, а=1, в=5, с=-2
Их сумма равна 1+5-2=4
Ответ:4
1) Используя ф-лы сокр. умн. (3x-2)^3-(2x+1)^3=0 2) Методом выделения полного квадрата x^4-7x^2+12=0 3) Способом группировки 2x^4+3x^3-8x^2-12x=0 4) Путем подбора корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам x^3-6x^2+5x+12=0 5) Методом введения параметра x^3-(/2/+1)x^2+2=0 /2/ - в смысле корень из двух
Решение: (3x-2)^3-(2x+1)^3=0(3x-2-2x-1)((3x-2)^2+(3x-2)(2x+1)+(2x+1)^2)=0
(x-3)(9x^2-12x+4+6x^2-x-2+4x^2+4x+1)=0
(x-3)(19x^2-9x+3)=0
x=3 второе ур через дискриминант’
2) Методом выделения полного квадрата x^4-7x^2+12=0
(x^2)^2-2*x^2*3.5+3.5^2-3.5^2+12=0
(x^2-3.5)^2=12.25-12=0.25
x^2-3.5=-0.5 x^2=3 x1=-V3 x2=V3
x^2-3.5=0.5 x^2=4 x3=-2 x4=2
3) Способом группировки 2x^4+3x^3-8x^2-12x=0
2x^2(x^2-4)+3x(x^2-4)=0
(x^2-4)(2x^2+3x)=0
(x-2)(x+2)x(2x+3)=0
x=2 x=-2 x=0 x=-1.5
