задачи с многочленами - страница 4
Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x – 1, и остаток 1 при делении на x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен (x – 1)(x – 2)?
Решение: Найдем этот многочлен, положим что
$$ P(x)=A(x)(x-1)+2 $$
$$ P(x)=B(x)(x-2)+1 $$
$$ P(x)=C(x)(x-1)(x-2)+d $$
надо найти $$ d $$, положим что $$ A(x)=x-a $$ ; $$ B(x)=x-b $$; $$ P(x)=(x-a)(x-1)+2 $$
$$ P(x)=(x-b)(x-2)+1 $$
$$ (x-a)(x-1)+2=(x-b)(x-2)+1 $$
$$ (b-a+1)x-2b+a=-1 $$
$$ a-b=1 $$ $$ -2b+a=-1 $$
$$ a=1+b $$ $$ -b+1=-1 $$
$$ b=2 $$; $$ a=3 $$
$$ P(x)=(x-3)(x-1)+2 $$
$$ (x-3)(x-1)+2-(x-1)(x-2)=3-x $$
это и есть остаток $$ 3-x $$Дан многочлен P(X)=2x квадрат -4x+9. Докажите, что Р(Х) больше либо равно 0 для любых значений переменной х.
Решение: P(X)=2x^2-4x+9 = 2(x-1)^2+7 >=7, т. к квадрат неотрицательныйI СПОСОБ
P(X) = 2x² - 4x + 9 ≥ 0
Исследуем ф-цию P(X), сначала найдем нули ф-ции:
2x² - 4x + 9 = 0
D = (-4)² - 4*2*9 = 16 - 72 = - 56 < 0 ⇒ ф-ция P(X) ≠ 0 ∀ Х ∈ R.
Значит график нигде не пересекает ось ОХ.
Коэффициент при старшем члене равен 2, т. е. он > 0 ⇒ ветви параболы направлены вверх. Итак, график ф-ции выглядит так как показано на картинке ⇒ P(X) > 0 ∀ Х ∈ R
II СПОСОБ
P(X) = 2x² - 4x + 9 = 2x² - 4x + 2 + 7 = 2(x² - 2х + 1) + 7 = 2(x - 1)² + 7
в данном выражении (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)²≥ 0 и 7 > 0 ⇒
2(x - 1)² + 7 ≥ 0 ∀ Х ∈ R
Ділення многочленів 12х2-5х-7х3+3+3х4/3+х2-2х /-ділення
Решение: Выполнить деление многочленов$$ A=12x^{2}-5x-7x^{3}+3+3x^{4}:3+x^{2}-2x $$
1) Расположим слагаемые в многочленах в порядке убывания степеней переменной х:
делимое $$ 12x^{2}-5x-7x^{3}+3+3x^{4}=3x^{4}-7x^{3}+12x^{2}-5x+3 $$
делитель $$ 3+x^{2}-2x=x^{2}-2x+3 $$
2) Разделим первый член делимого $$ 3x^{4} $$ на первый член делителя $$ x^{2} $$. В результате находим первый член частного $$ 3x^{2} $$
3) Умножим $$ 3x^{2} $$ на делитель и полученный результат $$ 3x^{4}-6x^{3}+9x^{2} $$ вычтем из делимого. Имеем
$$ -x^{3}+3x^{2}-5x+3 $$.
4) Разделим первый член результата $$ -x^{3} $$ на первый член делителя $$ x^{2} $$, находим $$ -x $$ - второй член частного.
5) Умножим второй член частного на делитель и полученное произведение $$ -x^{3}+2x^{2}-3x $$ - вычтем из результата третьего пункта. Имеем
$$ x^{2}-2x+3 $$.
6) Разделим результат $$ x^{2}-2x+3 $$ на делитель $$ x^{2}-2x+3 $$. Получим 1 - третий член частного. Остаток от деления равен 0.
На письме деление выглядит так:
3х⁴-7х³+12х²-5х+3Iх²-2х+3
- 3х⁴-6х³+9х² I3х²-х+1
-х³+3х²-5х+3
- -х³+2х²-3х
х²-2х+3
- х²-2х+3
0
В многочлене 3а^3-1/2a^2+1/3a -1/6 вынесите за скобки указанный множитель
а)1/6 b)1/3 в)-1/2 г)-2
Решение: В многочлене 3а^3-1/2a^2+1/3a -1/6 вынесите за скобки указанный множитель
а)1/6
1/6(18a^3-3a^2+2a-1)
b)1/3
1/3(9a^3-3/2a^2+a-1/2)
в)-1/2
-1.2(-6a^3+a^2-2/3a+1/3)
г)-2
-2(-3/2a^3+1/4a^2-1/6a+1/12)
Составьте многочлен p(x) = p1(x) + p2(x) – 4p3(x) и запишите его в стандартном виде, если: p1(x) = - 2x^2 + 3x; p2(x) = 4x^2 – 3; p3(x) = 2x – 4.
Решение: p(x) = p1(x) + p2(x) – 4p3(x)p1(x) = - 2x^2 + 3x; p2(x) = 4x^2 – 3; p3(x) = 2x – 4.
р(х) = (- 2x^2 + 3x) + (4x^2 – 3) - 4(2x – 4)
р(х) = - 2x^2 + 3x + 4x^2 – 3 - 8х +16
р(х) = 2х^2 - 5х - 13
2х^2 - 5х - 13 = 0
p(x) = p1(x) + p2(x) – 4p3(x), если p1(x) = - 2x^2 + 3x; p2(x) = 4x^2 – 3; p3(x)=2x–4, то
p1(x) = 3x + -2x^2
p2 (x) = 4x^2-3
p3 (x) = 2x-4
p(x) = (4x^2-3) + (- 2x^2 + 3x) - 4(2x – 4)
p(x) = 2х^2 - 5х - 13
Ответ: 2x^2-5x -13 =0
Запишите A + B, A - B и B - A как многочлены в стандартном виде, если:
а) A = 4 - 2xy + 5x² - 3y²
B = 4x² - 3xy + 2y² - 2.
б) A = 3a² - 5ab - (b² - 2)
B = 5a² + 7ab + 1 - 3b².
___________________________________
Даны многочлены:
P = 3p³ - p²q + 4pq² - 5q³ + 1.
Q = -2p³ + 6p²q - 3pq² + 2q³ + 3.
R = -p³ + 2p²q + pq² - 4q³ - 5.
Вычислить: а) P + Q + R; б) P - Q - R.
____________________________________
Даны многочлены K, M и N. Запишите в стандартном виде многочлен K - M + 2N, если:
K = 6a - 3c - (2a + 3c), M = 3a - 4c + (2a - c), N = 3a + 4c - 3 - (2a + 3c - 3).
Решение: а) (2-2xy+5x² - 3y²)+(4x² - 3xy + 2y² - 2)=2-2xy+5x²-3y²+4x² - 3xy + 2y² - 2=-5xy+9x²-y²а 2-2- уничтожились.
(2-2xy+5x² - 3y²)-(4x² - 3xy + 2y² - 2)=2-2xy+5x²-3y²-4x²+3xy-2y²+2=-xy-x²-5y²+4
(4x² - 3xy + 2y² - 2)-(2-2xy+5x² - 3y²)=4x² - 3xy + 2y² - 2-2+2xy-5x²+3y²=-x²-xy+5y²-4.
б) 3a² - 5ab - (b² - 2)+5a² + 7ab + 1 - 3b²=8a²+2ab+1-3b²-b²+2=8a²+2ab+3-4b².
3a² - 5ab - (b² - 2)-(5a² + 7ab + 1 - 3b²)=3a² - 5ab -b²+2-5a²-7ab-1+3b²=-2a²+2b²-12ab+1.
5a² + 7ab + 1 - 3b²-(3a² - 5ab - (b² - 2))=5a² + 7ab + 1 - 3b²-3a²+5ab+b²-2=2a²-2b²+12ab-1.
Все остальное решаете по аналогии.
В каком варианте все многочлены приводятся к виду квадратного трёхчлена
а)
5х в квадрате-1,5х+2=0
5х-1,5х в кубе+18=0
7х-х в четвёртой степени+х в квадрате=0
б)14х в квадрате-23х=17
14 х в квадрате+2+ дробь в числителе 17 в знаменателе х=0
дробь в числителе 1 в знаменателе 14х в квадрате + дробь в числителе х в знаменателе 17 + 2=0
в)
дробь в числителе 1 в знаменателе 17 всю эту дробь умножить на х в квадрате и потом + 6=-5х
5=х в квадрате-4х
23-31х=дробь в числителе х в квадрате в знаменателе 5
Решение: Это третий вариант (т. е. вариант в): вот эти многочлены.1/17 х^2+5х+6 = 0
x^2-4x-5=0
1/5 x^2+31x-23 = 0
В первых двух вариантах:
а) например второй многочлен третьей степени
б) тоже второй многочлен не квадратный
Выполните деление многочлена на одночлен
№26.1
а)(12a+8):4
г)(-15-5y):(-5)
№26.2
а)(a-ab):a
г)(-c+cd):(-c)
№26.4
а)(4ab²+3ab):(ab)
г)(-1 ху+1х³y):(xy)
.2.3
Решение: (12а+8):4 = 4(3а+2):4 = 3а+2
(-15-5у):(-5) = -5(3+у):(-5) = 3+у
(а-ав): а = а(1-в): а = 1-в
(-с+сд):(-с) = -с(1-д):(-с) = 1-д
(4ав²+3ав):(ав) = ав(4в+3):(ав) = 4в+3
(-1ху+1х³у):(ху) = ху(-1+х²):(ху) = х²-1
1) Что такое использование формул сокращенного умножения?
2) Что такое выделение полного квадрата?
3) Что такое разложение многочлена на множители?
4) Что такое Алгебраическая дробь?
5) Что такое сокращение алгебраической дроби?
Решение: 1) Это когда (a-b)(a+b), где a и b - некоторые числа
2) не понял
3) К примеру 2x+4=2(х+2)
4) Эта дробь, в знаменателе которой есть неизвестное число, обозначенное буквой латинского алфавита
5) Это когда одинаковые значения уничтожаются при делении одинакового в числителе на знаменательА-это многочлен, полученный после сокращения дроби (х^2-mx+15)÷(x-3). Найдите корень уравнения.
Решение: X²-mx+15 |x-3
x²-3x x-5
-
(-m+3)x+15
-5x+15
-
0
-m+3=-5
-m=-8
m=8
x=3 U x=5
