многочлен »
многочлен
Докажите, что многочлен не имеет действительных корней: а) x^6-5x^3+7
б) x^4-x+2
Решение: То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
а) $$ x^6-5x^3+7 $$
Делаем замену: x^3=y;
$$ y^2-5y+7=0; $$
Находим дискриминант:
$$ y^2-5y+7=0;\\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3; $$
Т.к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
б) $$ x^4-x+2=0; $$
Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
$$ x^4-x+2=0;\\ x^4-x=-2; $$
Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.
Разложение многочлена на множители. Не понимаю. ))
1)ab^3+2a^2b^2+a^3b
2)5a-b+5a^2-ab
3)7a-7b+2b^2-2ab
4)b^4-b^2+4b+4
5) x^2-4-3ax+6a
6)x^3+27
Решение: 1)ab^3+2a^2b^2+a^3b
Надо вынести общий множитель за скобки:
ab(b²+2ab+a²) = ab(b+a)².
2)5a-b+5a^2-ab
5a-b+a(5a-b) = (5a-b)(1+a)
3)7a-7b+2b^2-2ab
7(a-b)+2b(b-a) = 7(a-b)-2b(a-b) = (a-b)(7-2b)
4)b^4-b^2+4b+4
b²(b²-1)+4(b+1) = b²(b-1)(b+1)+4(b+1) = (b+1) (b²(b-1)+4) =
= (b+1)(b³-b²+4)
5) x^2-4-3ax+6a
(x-2)(x+2)-3a(x-2) = (x-2)(x+2-3a)
6)x^3+27 = (x+3)(x²-3x+9)
Сумма кубов формула:a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Ab×(b^2+2ab+a^2)=ab×(a+b)^2
5a×(1+a)-b×(1+a)=(1+a)(5a-b)
7×(a-b) +2b×(b-a)=7×(a-b)-2b×(a-b)=(a-b)(7-2b)
b^2×(b^2-1)+4 (b+1)=b^2 (b-1)(b+1)+4×(b+1)=(b+1)(b^2 (b-1)+4)=(b+1)(b^3-b^2+4)
(x-2)×(x+2)-3a×(x-2)=(x-2)((x+2)-3a))=(x-2)(x+2-3a)
(X+3)(x^2-3x+9)Найдите свободный член a0a0 многочлена PP с целыми коэффициентами, если известно, что P(19)=P(94)=1994P(19)=P(94)=1994 и что a0a0 по модулю меньше 10001000.
Решение: Если многочлен 1 степени, то у него не может значение повторяться в двух разных точках.
Значит, этот многочлен - квадратный.
P=a2*x^2+a1*x+a0
Подставляем 19 и 94 вместо х.
a2*361+a1*19+a0=1994
a2*8836+a1*94+a0=1994
Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
8475*a2+75*a1=0
Делим все на 75.
113*a2+a1=0
Например, a2=1; a1=-113.
P=x^2-113x+a0
Подставляем опять 19
361-113*19+a0=1994
a0=1994+113*19-361=37801. Вычислите наиболее рациональным способом значение выражения(637+635) ^{2 } - 4 *635*637
894 ^{2} - 893*895
2. Покажите, что значение выражения (4+3а)^{2} + 2(4-3a)(3a+1)+(3a+1)^{2} не зависит от переменной. Укажите это значение.
3. Разложите трёхчлен x^{n+2} - 5^{n+1} + 6^{n} на произведение одночлена и двух двучленов (n - натуральное число).
4. Найдите числа х и у, для которых выполнено равенство 5x^{2}+ y^{2} - 4x + 4x = 0.
5. Известно, что х и у - целые числа, разность которых кратна 5. Будет ли значение многочлена 3x^{2} +9x - 3xy - 9y кратно 15? Ответ обоснуйте.
Решение: 1. Упростим числитель.
(637+635) ² - 4 *635*637= (636-1+636+1)² - 4*(636-1)(636+1)=
4*636²-4*(636²-1)=4*636²-4*636²+4=4
Упростим знаменатель.
894 ² - 893*895= 894²- (894-1)*(894+1)=894²-894²+1=1
Поделим числитель на знаменатель. 4:1=4.
2.(4+3а)² + 2(4-3a)(3a+1)+(3a+1)²
Очень подозреваю, что в условии задачи допущена ошибка, и речь идет об упрощении выражения (4+3а)² - 2(4+3a)(3a+1)+(3a+1)²
Здесь все просто. Мы видим квадрат разности двух выражений ((4+3а)-(3а
+1))²=(4+3а-3а-1)²=3²=9.
3. Способов разложения на множители не вижу.
4. Проверьте, правильно ли Вы переписали задание. В том виде, в каком сейчас записано задание, решение очень простое.
5x²+ y² - 4x + 4x = 0.
5x²+ y² = 0.
Сумма квадратов двух числе равна нулю только тогда, когда каждое их них равно нулю. Отсюда х=0, у=0.5.
5.3x² +9x - 3xy - 9y=3х²-3ху+9х-9у= 3х*(х-у)+9*(х-у)=(х-у)*(3х+9)=3*(х-у)*(х+3)
Наше выражение произведением двух множителей, один из которых равен 3, второй кратен 5. Значит, наше выражение кратно 3*5=15.
Поделить многочлен с помощью метода Горнера (6х^6-2х^4+3х^3-х^2+1)/(2х+3)
^-степень.
Решение: запишем в таблицу коэффициенты делимого многочлена(по убыванию степени,3/2 прибавляется к x в делимом)|6|0|2|3|-1|0|1
3/2|
заполняем
|6 |0 |2 | 3 | -1 |0 |1
3/2|6 |
1)3/2 *6 +0=9
2)3/2*9+2=31/2
3)3/2 * 31/2 +3 = 105/4
4)105/4 * 3/2 -1= 307/8
5)307/8 * 3/2 +0=921/16
6)921/16 * 3/2 +1=2795/32
это и сть каждый следующий столбец твоей таблицы
и коэффициенты нового уравнения начиная с x^5
Используя схему Горнера, докажите, что число a является корнем многочлена p(x)
p(x)=2x^4-3x^3+x-10 a=2
Решение: P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + x - 10; a = 2
Выписываем по столбцам коэффициенты уравнения,
а в строку пишем корень а = 2.
p | 2 | -3 | 0 | 1 | -10
-
2 | 2 | 1 | 2 | 5 | 0
Старший член просто переписываем - 2.
Дальше умножаем его на корень 2 и прибавляем следующий (-3).
Получили 1, который пишем под -3.
Опять умножаем эту 1 на корень 2 и прибавляем коэффициент 0.
Получили 2, пишем его под 0.
Умножаем эту 2 на корень 2 и прибавляем коэффициент 1.
Получили 5, записываем под 1.
И, наконец, умножаем эту 5 на корень 2 и прибавляем -10.
В конце получился 0, значит, 2 - это корень.
Числа 1 и 2 яв-ся корнями многочлена х3-4х2+ах+b. Найдите числа а,b и третий корень. Здесь нужно использовать т. Виета и табл. Горнера.
Решение: Раз 1 и 2 являются корнями многочлена, то при подстановке этих значений вместо переменной х, будем получать ноль.
х=1, 1-4+а+в=0, а+в=3
ч=2, 8-16+2а+в=0, 2а+в=8
Вычтем из 2-го уравнения 1-ое, получим а=5 и 5+b=3 ->b=-2$$ (1)^3-4*(1)^2+a+b=0\\ (2)^3-4*(2)^2+2a+b=0\\ \\ a+b=3\\ 2a+b=8\\ \\ a=3-b\\ 2(3-b)+b=8\\ 6-b=8\\ b=-2\\ a=5\\ $$
X³ + 2/3*X² - 1/9 =0 ( 10 класс, многочлены) решить нужно либо по теореме Безу, либо по схеме Горнера.
Решение: X³+(2/3)x²-1/9
x₁=1/3
x³+(2/3)x²-1/9 |_x-1/3_
x²-1/3x² | x²+x+1/3
-
x²-1/9
x²-(1/3)x
-
(1/3)x-1/9
(1/3)x-1/9
-
0
x²+x+1/3=0 D=-4¹/₃ ⇒ Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: x=1/3.Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:
1) (x-1)^5
2) (x+1)^7
Решение: 1) (x-1)^5
Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=5, k(3)=10, k(4)=10, k(5)=5, k(6)=1
C0/5=C5/5=1
C1/5=C4/5=5!/1!4!=5
C2/5=C3/5=5!/3!2!=1*2*3*4*5/1*2*3*1*2=120/12=10
(x-1)^5 = x^5-5x^4+10x³-10x²+5x-1
(x+1)^7
Треугольник Паскаля k(1)=1, k(2)=7, k(3)=21, k(4)=35, k(5)=35, k(6)=21, k(7)=7, k(8)=1
C0/7=C7/7=1
C1/7=C6/7=7!/1!6!=7
C2/7=C5/7=7!(5!2!)=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*5*1*2=5040/240=21
C3/7=C4/7=7!/3!2!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3*4*1*2*3=5040/144=35
x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1
Представьте выражение в виде многочлена.
1) (1\2a-1\3b^2)^3 (Одна вторая a минус одна третья б во второй степени, скобка закрывается все в третьей степени)
2) (1\6х^2+1\2y^3)^3
Решите уравнение.
1)6(х+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=39
Решение: $$ 1)\;\left(\frac12a-\frac13b^2\right)^3=\left(\frac12a\right)^3-3\cdot\left(\frac12a\right)^2\cdot\left(\frac12b^2\right)+3\left(\frac12a\right)\cdot\left(\frac13b^2\right)^2-\left(\frac13b^2\right)^3=\\=\frac18a^3-\frac38a^2b^2+\frac3{18}ab^4-\frac1{27}b^6 \\ 2)\;\left(\frac16x^2+\frac12y^3\right)^3=\left(\frac16x^2\right)^3+3\cdot\left(\frac16x^2\right)^2\cdot\left(\frac12y^3\right)+3\cdot\left(\frac16x^2\right)\cdot\left(\frac12y^3\right)^2+\\+\left(\frac12y^3\right)^3=\frac1{216}x^6+\frac1{24}x^4y^3+\frac18x^2y^6+\frac18y^9 \\ 3)\;6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3=32\\6(x^2+2x+1)+2(x^3-1)-2(x^3+3x^2+3x+1)=32\\6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2=32\\6x+2=32\\6x=30\\x=5 $$
