многочлен »
задачи с многочленами - страница 3
1. выполните на одз действия \( ( \frac{1}{X^2-3X} + \frac{1}{X} + \frac{1}{X-3} ) ^{-3} \)
ЗАПИШИТЕ В стандартном виде многочлен Q(X), корни которого равны обратным значениям корней многочленов P(X) = 3X^2+X-15
Решение: Если $$ P(x)=3x^2+x-15\\ 3x^2+x-15=0\\ D=1+4*3*15=\sqrt{181}^2\\ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{181}}{6}\\ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{181}}{6} $$
тогда обратным к этим же корня будет корни
$$ y_{1}=\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}}\\ y_{2}=\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}}\\ $$
тогда многочлен Q(x) представится
$$ Q(x)=(y-\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}})(y-\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}})\\ y=x\\ Q(x)=(x-\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}})(x-\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}})\\ Q(x)=(x+\frac{6}{1-\sqrt{181}})(x+\frac{6}{1+\sqrt{181}})=\frac{15x^2-x-3}{3}\\ Q(x)=5x^2-\frac{x}{3}-1 \\ ОДЗ: х = 0, х = 3 \\ 1) (1/х(х-3)+1/х+1/х-3)^-3=((1+х_3+х)/х(х-3))^-3=\\=((2х-2)/х(х-3))^-3=x^3(x-3)^3/8(x-1)^3 \\ 2) 3x^2+х-15=0 \\ D=181 \\ x1=(\sqrt{181}-1)/6 \\ 1/x_1=6/(\sqrt{181}-1) -X1 \\ x2=-(\sqrt{181} +1)/6 1/x2=-6/(\sqrt{181}+1)-X_2 $$ X_1 и X_2 корни многочлена $$ Q(X) p=X_1+X_2=6/(\sqrt{181}-1-6/(\sqrt{181}+1)=\\=(6\sqrt{181}+6-6\sqrt{181} +6)/181-1=12/180=1/15 \\ q=X_1 \cdot X_2=6/(\sqrt{181}-1\cdot -6/(\sqrt{181}+1)=-36/180=-1/5 \\ Q(X)=X^2-pX+q=X^2-1/15X-1/5 $$ или 15Х^2-X-3Найдите все многочлены вида f(x)=x^3+ax^2+(a+b)x+b+1, имеющие целые корни и удовлетворяющие условию 2a+ b=-2.
Решение: $$ b=-2-2a $$
$$ f(x) = x^3+ax^2+(-2-a)x-2a-1 $$
Подставим x=-1 , получим 0, значит корень будет в любом случае равен x= -1
$$ (x-1)( x^2+x(a-1)-2a-1) = 0 \\ x^2+x(a-1)-2a-1 = 0 \\ D=a^2+6a+5 = (a+1)(a+5) $$
то есть при $$ a= -5 $$
Ответ существуют при $$ a= -1;-5 \\ b=0 ; 8 $$
Найдите значения параметра a, при котором многочлен имеет ровно три корня 3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a) Поподробнее объяснение если можно.
Решение: 3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a)= 0Если решать это уравнение, то получится 4 корня:
х = -5,
х = 7,
х = -1
х = а
Чтобы корней было три, нужно, чтобы параметр а был бы равен одному из числовых корней, т. е. а = -5; -1; 7
Пусть, например, а = -5, тогда
3(x+5)(x-7)(x+1)(x+5) = 3(x+5)²(x-7)(x+1)
очевидно, что корней 3:
х = -5,
х = 7,
х = -1
Ответ: а = -5; -1; 7
Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:
а) x^6-5x^3+7
б) x^4-x+2
Решение: То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
а) $$ x^6-5x^3+7 $$
Делаем замену: x^3=y;
$$ y^2-5y+7=0; $$
Находим дискриминант:
$$ y^2-5y+7=0;\\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3; $$
Т. к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
б) $$ x^4-x+2=0; $$
Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
$$ x^4-x+2=0;\\ x^4-x=-2; $$
Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.
Решить. Составить многочлен с дейстьвительными коэффициентамти, корнями которого являются числа -2+i, 1+3i
Решение: Если уравнение имеет корень
$$ x=-2+i $$ то он имеет сопряженный корень, так как при нем он имеет многочлен с целыми коэффициентами
$$ x=-i-2 $$
и того многочлен
$$ (x-(i-2))(x-(-i-2))=x^2+4x+5 $$
но теперь второй корень
$$ x=1+3i\\ $$ сопряженный корень
$$ x=-3i+1\\\\ (x-3i-1)(x+3i-1)=x^2-2x+10 $$
и того уравнение
$$ (x^2+4x+5)(x^2-2x+10)=0\\ x^4+2x^3+7x^2+30x+50=0 $$
Доказать теорему о том, что многочлен в степени n не может иметь более n корней
Решение: Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем k — это элемент (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия: Данный многочлен делится на многочлен ; подстановка элемента c вместо x обращает уравнение в тождество. Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы. Говорят, что корень имеет кратность, если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.Многочлен 24у в квадрате, +10у - 25 разложили на множители. Какие многочлены являются этими множителями?
4у-5
4у+5
6у-5
6у+5
Решение: Есть формула разложения квадратного уравнения на множители: а(х-х1)(х-х2).
Находим корни уравнения у1=-5/4 и у2=5/6. Применяем формулу:
24(у+5/4)(у-5/6). Расписывает 24, как произведение: 6*4 и вносим по множителю в скобку( 6 вносим во вторую, чтобы сократилась дробь, 4 в первую): (4у+5)(6у-5)
Многочлен P(x) степени не выше 2 таков, что
Р(1)=6, Р(2)=15, Р(3)=28
Найдите Р(х). В ответе укажите Р(-2)
Решение: Пусть P(x) = ах² + bх + c
Тогда
Р(1) = а + b + c = 6
Р(2)= 4а + 2b + c = 15
Р(3)= 9а + 3b + c = 28
Получили систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
а + b + c = 6 => c = 6 - а - b
4а + 2b + c = 15 4а + 2b + 6 - а - b = 15
9а + 3b + c = 28 9а + 3b + 6 - а - b = 28
3а + b = 9 | * -2
8а + 2b = 22
-6а + -2b = - 18
8а + 2b = 22 (складываем уравнения почленно)
_____________________
2а = 4
a = 2
3а + b = 9
3*2 + b = 9
b = 9 - 6
b = 3
c = 6 - а - b = c = 6 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1
c = 1
Итак P(x) = 2х² + 3х + 1
Р(-2) = 2*(-2)² + 3(-2) + 1 = 2*4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
Ответ: 3
Многочлены. Сложение и вычитание миогочленов 1. Найдите значение выражения 1,5 * 6^2 - 2^3
2. Представьте в виде степени выражение:
\(x^8\cdot x^2 \\ \frac{x^8}{x^2} \\ (x^8)^2 \\ \frac{(x^4)^5\cdot x^2}{x^{12}}\) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
1) -За^2 Ь^4 * -Зa^2 Ь^5; 2) (-4a^2b^6)^3
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение (5х^2 + 6х - 3)-(2х^2 - Зх - 4).
....
Решение: Задание 1.
1,5 * 6² - 2³ = 1,5 * 36 - 8 = 54 - 8 = 46.
Задание 2.
1) х⁸ * х² = х¹⁰
2) х⁸ : х² = х⁶
3) (х⁸)² = х¹⁶
4) (х⁴)⁵ * х² / х¹² = х²⁰ * х² / х¹² = х²² / х¹² = х¹⁰.
Задание 3.
1) - 3а²b⁴ * 3a² * b⁵ = - 9a⁴b⁹
2) (- 4a²b⁶)³ = - 64a⁶b¹⁸
Задание 4.
(5x² + 6x - 3) - (2x² - 3x - 4) = 5x² + 6x - 3 - 2x² + 3x + 4 = 3x² + 9x + 1
Задание 5.
1) 4⁶ * 2⁹ / 32⁴ = (2²)⁶ * 2⁹ / (2⁵)⁴ = 2¹² * 2⁹ / 2²⁰ = 2²¹ / 2²⁰ = 2
2) (2 2/3)⁵ * (3/8)⁶ = (8/3)⁵ * (3/8)⁶ = 1⁵ * 3/8 = 3/8
Задание 6.
125a⁶b³ * (- 0,2a³b⁴)³ = 125a⁶b³ * (- 0,008a⁹b¹²) = - a¹⁵b¹⁵
Задание 7.
Обозначим требуемый многочлен за х.
(5a³ - 2ab + 6b) - x = 4a³ + 8b
x = (5a³ - 2ab + 6b) - (4a³ + 8b)
x = 5a³ - 2ab + 6b - 4a³ - 8b
x = a³ - 2ab - 2b
Задание 8.
(3n + 16) - (6 - 2n) = 3n + 16 - 6 + 2n = 5n + 10 = 5 (n + 2), а это выражение кратно 5.Многочлены
Докажите что при всех целых m значения выражения
(m+7)(m+5)-m(m-2)
делится на 7
Решение: (m+7)(m+5)-m(m-2)= преобразуем выражение выполнив умножение = m^2+5m+7m+35-m^2+2m= приводим подобные члены = 14m+35= выносим общий множитель и получаем выражение тождественное данному = 7(2m+5) - один из множителей произведения (7) делится на 7, значит и все произведение делится на 7. Так как выражения тождественны, то и первое выражение делится на 7.
